2024-2025学年沪科版九年级数学上册期末冲刺复习：反比例函数与六类特殊图形（解析版）

专题n反比例函数与六类特殊图形

目录

解题知识必备.....................................................................1

压轴题型讲练....................................................................4

类型一反比例函数与等腰三角形结合..............................................4

类型二反比例函数与直角三角形结合..............................................10

类型三反比例函数与平行四边形结合.............................................18

类型四反比例函数与矩形结合....................................................23

类型五反比例函数与菱形结合....................................................28

类型六反比例函数与正方形结合.................................................32

压轴能力测评...................................................................37

X解题知识必备8

1反比例函数与三角形综合的方法

1,涉及到面积问题时，往往利用割补法求三角形的面积；

2,比较函数大小时，通过图像即可比较得出；

3,利用待定系数法求解析式，解决不等式时也通过图形即可得出。

4,涉及到等腰三角形的存在和直角三角形的存在时，一般要分类讨论，根据各类情况情况进行分析，涉

及到的知识点涵盖：两点间的距离公式，勾股定理等。

5,直角三角形时，如下图：

原理：根据直角三角形的定义,以直角顶点分三种情况进行讨论.

作图：口诀：两线一HH举例如下：若乂(3.0)、B(0.4),在宜线上求点C使得△4放?

为直角三角形.以下分三种情况讨论：

(i)当/为直角顶点时，过点/为作的垂线/交宜线x=l于点C则交点即为所求点C如

图1：有a一个点.

(U)当8为直角顶点时，过点8为作48的垂线/交直线尸I于点C,则交点即为所求点C.如

图2：有J一个点.

(汨)当C为直角顶点时，以回为直径作例，则该圆与直线尸1的交点即为所求点C.如图3：

有C；、C两个点.

•▲产1v4x=\F=1

二j.F:

/C心

!图।图2图

3：

:方法：

几何法：构造大型”或“一线三垂直”相似：

代数法：两点间的距离公式.列方程，解方程，检验根(除■、叠雷:h

解析法：求垂线解析式,联立方程组求交点.

6,等腰三角形时，如下图：

画弧法：以等腰三角形确定边两端点分别为圆心，确定边长度为半径画弧与动点所在直线的交点即为所

求点，另外确定边的垂直平分线与动点所在直线的交点即为所求点。

原理：根据等腰三角形的定义,以两腰的三种情况进行分类讨论.

作图：口诀：两圆一线！举例如下：若4(3,0)、B(0.4),在坐标轴上求点C使得为

等腰三角形.以下分三种情况讨论：

(i)当.4B=/C时，以X为圆心，X8长为半径作圆X,则圆X与坐标轴的交点即为所求点C.如

图1：有Ci、Cz、C,三个点.

(ii)当切=比:时，以8为圆心，XB长为半径作圆B,则圆8与坐标轴的交点即为所求点C.如

图2：有C,、Cs、C6三个点.

(in)当O=CB时，作线段.48的中垂线/,则直线/与坐标轴的交点即为所求点C.如图3：

有Ci、G两个点.

方法：

几何法：两腰相等、两底角相等、三线合一性；

代数法：两点间的距离公式.列方程，解方程，检验根(除■、查漏)：

解析法：求中垂线解析式，联立方程组求交点.

2反比例函数与四边形综合

1,三角形面积，平行四边形性质等，解题关键是运用分类讨论思想解决问题。

2,待定系数法求函数解析式、函数图象与不等式的关系、菱形的性质以及利用三角形三边关系解决最值问

题，同时也会用到等腰三角形的性质、中位线和直角三角形的性质。

3,平行四边形的存在性问题

利用线段长解析式=定值长(平行四边形对边平行且相等)列方程求值

，策略：①中点坐标公式：②三平三交定三点：③两对角线端点的横、纵坐标之和分别

；相等(秒杀必备)：④横平里直做辅助.

I

I

I

I

r三定一动：用②③即可秒杀(本质还是中点坐标公式)

;分类[c两定点之间线段是一条边]

!I两定两动｛一利用①④综合解决

I两定点之间线段是一条对角线,

x压轴题型讲练2

类型一反比例函数与等腰三角形结合

k

例.如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数X=-x的图象与反比例函数%=—的图象交于A、8两点.

X

(1)根据图象求上的值；

(2)根据图象M2%时，写出自变量的取值范围；

⑶点尸在y轴上，且满足以点A、。、尸为顶点的三角形是等腰三角形，直接写出点尸所有可能的坐标.

【答案】⑴发=一1

(2)x<-M0<x<l

(3)(0,闾或⑹或(0,2)或(0,1)

【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合、求函数解析式、运用图像求不等式的解集，等腰

三角形的性质等知识点，掌握两函数图像的交点坐标必满足两函数解析式成为解题的关键.

(1)先利用正比例函数求出A(-M),然后代入反比例函数解析式即可解答；

(2)先求出反比例函数与正比例函数的另外一个交点，直接根据函数图像即可解答；

(3)设P(0,。)，则OP=|"|,分OA=ORQ4=AP,AP=OP,三种情况讨论即可.

【详解】(1)解：-1)=1,

A(-1」))

：.1=—,

-1

/.k——1；

%=一%

(2)解：联立1,

%=一一

令％=%，贝

X

解得：X=1或%=—1,

根据题意5（1,-1）,

根据函数图象得：时，尤KT或0<x〈l;

（3）解：设P（O,a）,则0P=同，

•1-0A=712+12=y[i,AP=^12+（0-1）2,

当。4=0尸时，

则0=时,

解得:a=或a=，

，点P的坐标为（0,0）或应）；

当。4=AP时，

则GjF+g-i）,

解得：a=2或a=0（舍去），

点尸的坐标为（0,2）；

当AP=OP时，

则同=#+,_1）2,

解得：a=l,

二•点尸的坐标为（。,1）;

综上，点尸的坐标为（0,0）或（0,-⑹或（0,2）或（0,1）.

k

【变式训练1].如图，一次函数丫="+4的图象与反比例函数y=勺的图象交于A（46）,3（-3,-2）两点,

⑴求一次函数和反比例函数的表达式;

(2)求VA08的面积；

k

⑶根据函数图象，写出不等式办+4>々的解集：

x

⑷点C是x轴上的一个动点，连结AC、BC,当AACB是等腰三角形时，直接写出点C坐标.

【答案】⑴一次函数解析式为：y=2x+4,反比例函数解析式为：y=--,

X

(2)SJOB=8

⑶x>l或—3<x<0

⑷点C坐标为(1一2而,0)或(1+2而,0)或(一3+2屈,0)或(一3-2屈,0)或(3,0).

【分析】本题考查了反比例函数的综合应用，分类讨论是解答本题的关键.

(1)将A(”,6),3(-3,-2)坐标代入两个函数解析式即可得到两个解析式；

(2)设直线与x轴交于点C,利用14盘=5“4℃+5小”代入数据计算即可；

(3)根据函数图象直接写出不等式的解集即可；

(4)分三种情况①当AB=AC时，②当AB=3C时，③当AC=BC时，利用勾股定理建立方程求出C点

横坐标即可.

【详解】(1)解：；一次函数'=公+4的图象与反比例函数〉=与的图象交于4〃,6),8(-3,-2)两点，

X

.,.一2=—3々+4,k=-3x(-2)=6,6M=-3X(-2)=6,

..a=2,k=6,z2—1,

...一次函数解析式为：y=2x+4,反比例函数解析式为：

(2)解：设直线AB与x轴交于点C,令y=0,则x=-2,

C(-2,0),

=SAAOC+SABOC=)X2X6+；X2X2=8A

k

(3)解：根据函数图象，不等式依+4>—的解集为：x>l或-3<x<0.

x

故答案为：x>l或—3<x<0；

(4)解：•••41,6),3(-3,-2),

AB=7(l+3)2+(6+2)2=^/80=4^/5，

分三种情况讨论，

①当AB=AC时，设C(r,0)则有：

62+(?-1)2=(4＞/5)2

整理得：「一2"43=0,解得r=l±2而，即;=1+2而，芍=1-2而，

.•((1-2而,0)或(1+2而,0)；

②当AB=3C时，AB=BC=4出,设C("?,0),则有：

BC="(相+3)2+4=4后，

m2+6m—67=0,

解得叫=-3+2A/19,饵=一3—2加，

••.C(-3+2M,0)或(-3-2719,0)；

③当AC=3C时，设C(%0),则有AC2=BC"则有：

(1-H)2+62=(M+3)2+4,

整理得：-8九=—24,

.二〃=3

.*.C(3,0).

综上分析，点C坐标为(1-2而,0)或(1+2而,0)或卜3+2晒,。)或卜3-2屈,0)或(3,0).

【变式训练2】.如图，己知反比例函数y=4和一次函数＞=2尤-1,其中一次函数的图象经过(。,6),

(1)求反比例函数的解析式；

(2)如下图，已知点A在第一象限，且同时在上述两个函数的图象上，求点A的坐标；

⑶利用(2)的结果为条件，请问：在x轴上是否存在点P,使AAOP是以AO为腰的等腰三角形？若存在,

直接写出点尸的坐标.

【答案】(1)＞」

X

⑵(1,1)

⑶卜仓o）或（0，。）或（2,0）

【分析】（1）把过一次函数的两个点代入一次函数，即可求得上进而求得反比例函数的解析式.

（2）同时在这两个函数解析式上，让这两个函数组成方程组求解即可.

（3）先求出的距离，然后根据：OA=OP,OA=AP,分情况讨论解决.

【详解】（1）将（a,6）,（a+l,6+%）代入y=2x-l得，

fb=2a-1

[b+k=2（a+I）-l

解得左=2

团反比例函数的解析式为y=工；

X

（2）由1=21

X

解得芯=1,

国点A在第一象限

0X=1

将x=l代入y=Ll

X

回点A的坐标为（1,1）；

（3）设P（利,0）,

回点A的坐标为（1」）

0OA=V12+12=V2，与x轴所夹锐角为45。，

回Q4为腰

团当04=0尸时，

IU-s/2=帆

0m=土收

回尸点坐标为（-^,0）或（①。）；

当。4=AP时，

072=^（//1-1）2+12

回〃2=2或0（舍去）

回尸点坐标为（2,0）

综上所述，P点坐标为（-衣0）或（亚,。）或（2,0）.

【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数综合，勾股定理，等腰三角形的定义等知识，解题的关键是利

用待定系数法求出反比例函数的解析式.

【变式训练3].如图，在坐标平面xQy中，一次函数>=尤+2的图象与反比例函数y=2(kw0,x>0)的图

X

象交于点A(a,3),与x轴交于点人

⑴求这个反比例函数的解析式；

(2)当x>0时，结合函数图象，请直接写出不等式尤+2<幺的解集；

X

⑶点C为X轴上一个点，连接AC,当VABC为以AB为腰的等腰三角形时，请直接写出点C的坐标，不必

写出理由.

【答案】⑴产工

X

(2)0<x<l；

⑶C(4,0)或(-2-372,0)或(-2+3A/2,0)

【分析】(1)先求出点A的坐标，再代入y='计算即可;

(2)根据函数图象写出结果即可；

(3)分钻=AC和胡=3C两种情况求解.

【详解】(1)把人(。,3)代入y=x+2得，3=〃+2,

团Q=1,

回4(1,3),

把4(1,3)代入y得，k=lx3=3,

X

「3

回二一；

yX

(2)由函数图象可知，当0<x<l时，，x+2<X成立；

X

(3)当钻=AC时，作ADLx轴于点。,

00(1,3).

当y=0时，0=x+2,

回x=-2,

0B(-2,O).

SAB=AC,AD_Lx轴

^CD=BD=\-(-2)=3,

0(9C=l+3=4,

0C(4,O).

当BA=3C时，

BAB=J(-2-1)2+(0—3)2=372，

0BC=3A/2,

0OC=-2-3>/2^OC=-2+3V2，

综上可知，C（4,0）或「2-30,0）或卜2+30,0）.

【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，求反比例函数解析式，利用函数图象解不等式，等

腰三角形的性质，分类讨论是解（3）的关键.

类型二反比例函数与直角三角形结合

1k

例.如图’在平面直角坐标系中，直线4：y=-寸与反比例函数的图象交于点48（点A在点8的

左侧），已知点A的纵坐标是L

⑵如图，将直线4：y=x向上平移2个单位长度后得到新的直线3点M在直线"上，设点M的横坐标

为《0</<4).连接A",BM.

①求AABM的面积；

②当AABM是直角三角形时，求点M的坐标.

2

【答案】⑴y=—

X

⑵①4;②

【分析】本题主要考查一次函数和反比例函数的图像和性质，一次函数和反比例函数的交点问题，熟练掌

握一次函数和反比例函数的图像和性质是解题的关键.

(1)根据题意求出4(-2,1),代入反比例函数即可求出答案；

(2)①过点M作四〃丁轴交直线《于点N,则欣V=2,根据对称性质得至！|*2,-1),分情况计算出面积

即可；

②分当NMR4=90。时，当=90。时两种情况分类讨论即可.

【详解】⑴解：把>=1代入y=得x=-2

A(-2,l)

14

又回直线4：y=-彳X与反比例函数y=—的图象交于点A,B

2x

:上=1

-2

k=—2

2

故反比例函数的表达式为y=--

X

(2)解：①如图，

过点M作MN〃丁轴交直线/］于点N,则MN=2,由对称性可知，3(2,-1)

盅

当°W2时，S4ABM=SAAM7V+SMN~5M(%N-%4)+/脑”(％8-)

二;71^x(4_%A)=(X2X4=4

当2<%<4时，S^M=s；N-SABMN=gMNx(%N7A)-；MNX(%N-%B)

二;71^x(4_%A)=：X2X4=4

综上所述，△ABM的面积为4

②由题意可知，直线，2的函数表达式为y=-gx+2,令x=0,则y=2；令y=0,贝Ux=4

•••直线A与龙轴的交点为(4,0)，与y轴的交点为(0,2)

,/0<r<4,

・..点M在直线，2的第一象限图象上，当是直角三角形时，存在以下两种情况.

(i)当NM&!=90。时，设M(x,-;x+2),过点8作一条直线4平行x轴，过点A、M作垂线交直线4于点

C、D,使AC_L/3，Affl_L/3.

卞艮据坐标系可知，AC=2,BC=4,BD=%—2,MD=—x+2+l=—尤+3,

22

根据勾股定理可得，AB2=22+42=20,BM2=(X-2)2+(--X+3)2=-X2-7%+13,

24

由①得：S,ABM=gxABxBM=4

:.AB2BM2=64

20*(9/-7尤+13)=64,

4

14

解得x=可，

,连接。M

,・・△M4B是直角三角形，且点。是线段A3的中点,

MO=-AB.

2

"2+1_?+2)=1X[(-2-2)2+(1+1)2]

2

整理，得5/一8f-4=0,解得％=2,t2=--(舍去)

M(2,l)

综上所述，当AABM是直角三角形时，点M的坐标为[与,|]或(2,1).

k

【变式训练11如图，一次函数y=f+4与反比例函数y=；(x>0)的图象交于A、8两点，与无轴交于点

C,其中点A的坐标为(l,a)

(1)求反比例函数的解析式；

⑵若点尸在无轴上，且是直角三角形，求点P的坐标.

【答案】⑴13

X

⑵(1,0)或(-2,0)

【分析】(1)把A(l,a)代入y=-x+4求出4=3,再把4(1,3)代入y=[求出发的值即可；

(2)当NAPC=90。时，得到P。,。)；当/上4c=90。时，过点A作AD_Lx轴于点。，得至UNADC=90。,

根据直线AB的表达式为V=T+4和4(1,3),推出AD=OC=3,推出NAPC=NACP,得至i]AP=AC,

推出尸£>=Z>C=3,得到OP=2,得到尸(一2,0).

【详解】(1)解：将A。,。)代入y=-x+4,

得，々=—1+4,

回。=3,

回A(l,3),

将4(1,3)代入y=1,得，3=1,

回左=3,

回反比例函数表达式为尸士；

X

(2)解：①当NAPC=90。时，4P〃y轴，

回尸(1,0)；

②当NB4c=90°时，

如图，过点A作轴于点。，

则ZWC="4C=90°,

0AD=3,OD=1,

回直线AB的表达式为y=-％+4,

回当y=0时，％=4,

0C（4,O）,

团OC=4,

©DC=OC—OD=3,

团AD=DC=3,

0ZDAC=ZACD=1(90°-ZADC)=45°,

EZAPC=90°-ZACZ)=45°,

SZAPC=ZACP,

fflAP=AC,

0PD=DC=3,

0OP=2,

0P(-2,O),

回P(l,0)或尸(-2,0).

【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合.熟练掌握待定系数法求函数解析式，等腰直角三

角形性质，分类讨论，是解题的关键.

【变式训练2】.如图，正比例函数>=-2尤与反比例函数的图象交于A,8两点，点8的横坐标为2.

(1)求反比例函数的表达式及点A的坐标；

(2)根据图象直接写出不等式^+2尤W0的解集；

X

⑶点P是X轴上一点，连接R4,PB,当A/MB是直角三角形且以力B为直角边时，直接写出点P的坐标.

Q

【答案】⑴y=-。，A(-2,4)

X

⑵x<—2或0vx<2

⑶尸(10,0)或P(-10,0)

【分析】本题是一次函数与反比例函数的综合题.

(1)根据正比例函数的表达式求出8点的坐标，再将B点坐标代入反比例函数表达式求出左的值，即可得

出反比例函数的表达式；根据A与8关于原点对称，A点横坐标与纵坐标分别与B点横坐标与纵坐标互为相

反数；

(2)根据图象分析，不等式X+2xV0即-2x2七的解集即为一次函数图象位于反比例函数图象上方所对应

XX

的X的取值范围;

(3)设P(，%0),根据勾股定理表示出％2/笈，.2,进而根据勾股定理列出方程，解方程即可求解.

【详解】(1)解：回点8的横坐标为2,代入正比例函数＞=-2尤，

得y=2x(-2)7,

团B(2,T),

k

a-4=-,解得：k=T

Q

团反比例函数y=——，

x

回正比例函数＞=-2尤与反比例函数y=&的图象交于A,8两点，

X

回A与B关于原点对称，则4(-2,4)；

kk

(2)解：根据函数图象可知，不等式f+2xW0,即-2x2+的解集为：xV—2或0＜xW2；

XX

(3)解：设尸(山,0),

回A(-2,4),3(2,T),

0AB2=(2+2)2+(4+4)2=80,PA2=(m+2)2+42,PB2=(m-2)2+42,

当AR钻是直角三角形且以A3为直角边时，则

PA2=AB2+PB2PB2=PA2+AB2

即(%+2)2+4?=80+(加一2)2+42或(加一2)2+4?=80+("2+2)2,

解得：根=10或根=一10,

团尸(10,0)或尸(—10,0).

k

【变式训练31.一次函数，=T+4与反比例函数y无＞0)的图象交于两点，与x轴交于点C,其

中4(1,。).

⑴求反比例函数表达式；

⑵己知5(3,1),请结合图象，直接写出-尤+42：时，x的取值范围;

⑶若点尸在x轴上，且△APC是直角三角形，求点尸的坐标.

【答案】⑴产士3

X

(2)l<x<3

⑶尸(1,0)或尸(一2,0)

【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合.熟练掌握待定系数法求函数解析式，函数与方程

与不等式，等腰直角三角形性质，分类讨论，是解题的关键.

(1)把代入尸-尤+4求出。=3,再把A。,3)代入y求出左的值即可；

k

(2)结合图象即可得-X+42—时，尤的取值范围；

尤

(3)当NAPC=90。时，得到P(l,0)；当/上4c=90。时，过点A作A£>_Lx轴于点。，得到NADC=90。，

根据直线AB的表达式为y=-x+4和A(l,3),推出AD=OC=3,推出NAPC=NACP,得到AP=AC,

推出尸D=OC=3,得到OP=2,得到尸(一2,0).

【详解】(1)将4(1,。)代入y=-x+4,

得，a=-1+4,

团。=3,

日4(1,3),

将4(1,3)代入y=1,得，3=1,

回左=3,

团反比例函数表达式为>=士；

X

(2)0A(1,3),8(3,1),

团观察图象可得：

当一x+42：时，1W尤W3；

(3)①当NAPC=90。时，AP〃y轴，

回尸(1,0)；

②当NR4c=90。时，

如图，过点A作ADLx轴于点O,

则/ADC=44C=90。，

0A（1,3）,

团AD=3,OD=1,

回直线AB的表达式为y=-%+4,

回当y=0时，％=4,

0C（4,O）,

团OC=4,

aDC=OC—OD=3,

团A£）=OC=3,

团ADAC=ZACD=1（90°-ZADC）=45°,

ZAPC=900-ZACD=45°,

^\ZAPC=ZACPf

0AP=AC,

国PD=DC=3,

BOP=2,

团P（-2,0）,

团P（l,0）或尸（-2,0）.

类型三反比例函数与平行四边形结合

0

k

例.如图，在平行四边形。钻。中，点。在y轴正半轴上，点。是3。的中点，若反比例函数y=—(%>o)的

X

图象经过A,。两点，且AACD的面积为2,则后=.

【答案】y

【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质、平行四边形的性质，数形结合是解题的关键.

延长54交点x轴于E,由AACD的面积，可求=8,设点A坐标为（“,）），可得OC.a=8,进而求解8、

坐标，由中点坐标公式得到。坐标，由4。都在反比例函数图象上列等式，即可求解人.

【详解】解：如图，

延长54交点x轴于E,

•.•△ACD的面积为2,点。是3c的中点,

SoOABC=4S&ACD=4x2=8,

设点A坐标为（。力），

Q

OC=AB=~,

a

...B"+3，C（0,斗

根据中点坐标公式可得。

[22a）

•.•A、D都在反比例函数图象上，

解得岫若

故答案为：—.

Q

【变式训练1】.如图，平行四边形Q4BC的顶点A,B在函数＞=-。＞0)的图象上，边与y轴交于点。,

X

AELx轴于点E.若VAOB的面积为8,则空的值为.

【分析】本题主要考查平行四边形的性质以及反比例函数比例系数上的几何意义；根据题意得，

SABOC=S/XAOB=8，4-X。=,则由=8,化」得到-，结合反比例

Q

函数的比例系数女的几何意义得4-%=z，即可求得答案.

【详解】解：,・,四边形Q4BC是平行四边形，VAO5的面积为8,

%十%

S/^BOC=^/\AOB=&

22

S^BOC=S/^ODC+S^ODB=8,

.0.—OD•(XR—%c)=8,

/.OD-(xB-xc)=16,

16

即=~^

Q

・・・A点在函数丁=-(％＞0)的图象上,

x

:.OEAE=8,

8

艮pn一%

AE

.168

'~OD~~^E'

，变』=2;

AE8

故答案为：2.

【变式训练2].已知点4（1,2）、8^,2]分别在反比例函数y='和y=K的图像上，四边形ABC。为平行

12Jxx

四边形.将口ABCO沿y轴向上平移，使点C落在反比例函数>="的图像上的。点，则两个平行四边形重

X

叠部分的面积为.

【答案】I

【分析】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，平行四边形的性质，直线与双曲线的交点的

求法.先将点A（1,2）,2,21代入y=生和了,，求出反比例函数解析式，利用平行四边形性质求出,0）,

<27xx2

设C点往上平移后为。4/）,。（=，。代入>='，求出。4；），根据平移的性质求出点E坐标，由此可

22x23

求出两个平行四边形重叠部分的平行四边形的面积.

【详解】解：把点4。,2）代入>=?,得m=2,

>=竺即为y=2,

XX

把《|，2］代入y=（得〃=5,

〃5

「•y=—即为y=―,

XX

•.•点A（l,2）、d|，2）,

AB=--1=~,

22

3

OC=AB=~,

设。点往上平移后为。（；3/）,

32

•・,。（不，）在>=一上，

2x

24

t=-=-

「•33.

2

回明），

4

•••平行四边形ABCO沿y轴向上平移1个单位,

设直线。4的解析式为'=依，代入4（1,2）,

得k=2,即直线Q4的解析式为y=2x,

42

A到DE距禺为d=2—=—,

33

3225

重叠的阴影部分的面积为

故答案为：焉.

【变式训练3].如图，在平面直角坐标系中，平行四边形O48C的顶点。是坐标原点，点A在x轴的正半

7k

轴上，点C在函数>=\">0）的图象上，点8在函数y=：（尤>0）的图象上.若OC=AC,贝必的值为.

【答案】6

【分析】本题考查了等腰三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质，表示出点B

的坐标是解题的关键.

作C。，于。，由等腰三角形三线合一的性质得出0。=ZM,利用平行四边形的性质可知3C==2OD,

22k

故设C（a,—）,则2（3。,一），代入y=£（x>0）即可求得上的值.

aax

【详解】解：作CDLQ4于D,

:.BC=OA=2ODf

设C(a,2),则B(3a,2),

aa

k

,点8在函数y=—(x>0)的图象上.

X

:.k=3a—=6,

a

故答案为：6.

类型四反比例函数与矩形结合

0

例.如图，点尸在函数y=V(左＞0，尤＞0)的图像上，过尸作2轴于点A,交直线y=-x+8于点。，作

X

尸产,丫轴于点尸，交直线＞=-尤+8于点C,分别在矩形APFO的外侧构造矩形APCB,PDEF.若尸是CF

的中点，图中阴影部分的面积为7,则上的值为.

【分析】设「(〃?,”)，则。(〃?,-〃?+8),〃=-2〃?+8,根据阴影部分的面积为7,列出方程求出加值，从而

计算出〃值，即可得上值.

【详解】解:设尸(根,〃)，则加,T〃+8),n=-2m+8,

V阴影部分的面积为7,

m(—m+8)=7,

解得根=7(舍去)或加=1,

当机=1时，“=-2+8=6,

•.尸(1,6),

••,点P在反比例函数图象上，

:.k-6.

故答案为：6.

【点睛】本题是反比例函数与几何的综合、反比例函数与一次函数的综合，考查了反比例函数图象上点的

坐标特征、反比例函数々的几何意义、一次函数图象上点的坐标特征、矩形的性质，熟练掌握反比例函数左

的几何意义是解题的关键.

k

【变式训练1】.如图，A、3是反比例函数y=—(左wO)的图象上两点，点C、D、E、尸分别在坐标

x

轴上，若正方形OC4Z)的面积为6,则矩形尸的面积为.

【答案】6

【分析】本题主要考查反比例函数中比例系数上的几何意义和函数图象的对称性，难易程度适中，是中考较

常见的考查点.根据双曲线的图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的四边形的

面积S的关系即5=附，进行解答即可.

【详解】解：；S正方形c0=ODOC=\xA-y^=\k\=6,

•1'S长方形COAD=OEOF=|xB-%|=网=6.

故答案为：6.

【变式训练2].如图，四边形Q4BC为矩形，点A在第二象限，点A关于05的对称点为点。，点3,。都

在函数y="(x>0)的图象上，BELx轴于点E.若DC的延长线交x轴于点孔当矩形。4BC的面积为9后

时，装的值为，点F的坐标为.

【分析】连接8,作。轴，设点手J,V根据矩形的面积得出三角形5OD的面积，

将三角形30。的面积转化为梯形班G。的面积，从而得出〃，b的等式，将其分解因式，从而得出〃，。的

关系，进而在直角三角形3OD中，根据勾股定理列出方程，进而求得5,。的坐标，进一步可求得结果.

【详解】解:如图，

由对称性可得：ABOD^BOA"QBC,

国NOBC=NBOD,BC=OD,

团OI—BI,

国DI=CI,

DICI

团—=—，

OIBI

田NCID=NBIO,

团△CO/SABO/,

回NCDI=NBOI,

田CD〃OB,

同q-q一八一逋

U口MD--^矩形A0C8一'

回SME=S&DOG=5阂=3y/2,S四边形BOGD=S&BOD+DOG~梯形BEG。+^BOE，

90

田S梯形BEG=S^BOD

。2

1(6^6近、

ra(2------+-------

ab

7

^2a2-3ab-2b2=0,

团(a—2/?)(2a+Z?)=0,

在RS5OD中，由勾股定理得,

OD2+BD2=OB2,

回(对+里1+里一逑1="逑［

0b=6，

0B(6,2利,D(2区㈣,

团直线08的解析式为：y=2缶，

团直线的解析式为：y=2缶-3",

当y=0时，0=2缶-35

舐=地,

2

E0£=V3.OF=*,

^EF=OF-OE=—,

EF1

团----=—

OF3

故答案为:

【点睛】本题考查了矩形性质，轴对称性质，反比例函数的的几何含义，勾股定理，一次函数及其图象

性质，分解因式等知识，解决问题的关键是变形等式，进行分解因式.

【变式训练31.如图，矩形A3CZ)的顶点A,8分别为反比例函数yA(尤>0)与y=-』(x<0),点C,D

XX

在X轴上，BA,3D分别交y轴于点E,F,则阴影部分的面积为.

【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，反比例函数的图象上点的坐标特征，矩形的性质，相似三角

形的判定与性质，熟练掌握性质定理是解题的关键.设点4a,g),求出OR防的长，根据相似三角形的

a

判定和性质以及三角形的面积公式即可得到答案.

【详解】解：设点A(a,3a>0,

a

则OD=a,OE=AD=BC=0,

a

.•.3的纵坐标为9,

a

.6__3

••一二,

ax

a

/.x=—,

2

B的横坐标为-£,

•：AB//CD,

.△BEFSADOF,

a

EFBE21,

OFODa2

1224

:.EF=-OE=-,OF=-OE=~,

3a3a

12a145

..5阴=S&BEF+Sa)F=-X——X------1-----X——XQ=一,

2a22a2

故答案为：I

类型五反比例函数与菱形结合

0

k

例.如图，在菱形A3OC中，AB=4,ZA=60°,菱形的一个顶点C在反比例函数y=,七H0）的图象上,

则反比例函数的解析式为—.

【分析】此题是反比例函数和几何综合题，过C作CELO3于E,利用菱形的性质和含30。角的直角三角形

的性质求出点C的坐标卜2,2力），再根据顶点C在反比例函数y=:的图象上求出左的值，即可得到答案.

【详解】解：过C作CELO3于E,

BCE±OB,

SZCEO=90°,

0ZOCE=30°,

^\0E=-0C=2,CE=y]C02-OE2=273

2

回点C的坐标为卜2,2力），

k

回顶点c在反比例函数y=X的图象上，

X

团2^3=w,得左=—4^3，

即y=_Wl,

X

故答案为：y=-拽.

【变式训练1】.如图，在平面直角坐标系中，菱形Q4BC的顶点A在，轴正半轴上，点8在一个反比例函

数的图象上，若Z4BC=60。，且菱形O4BC的面积为12,则该反比例函数的表达式为.

【答案】y=--

X

【分析】本题考查反比例函数上的几何意义，延长BC交x轴于点过2点作于E点，先求出

LBE=%c»=；S菱形3BC，然后根据I4=%c»+%菱形皿c+S”求出网，然后再根据图象的位置解题即可.

【详解】解：延长2C交x轴于点D,过B点作BELOA于E点，

回ABC。是菱形，

田OC=BC,BC\\OA,

团NOCD=NABC=60。，

团NCOD=30。，

^\CD=-OC=-BC,

22

回SqcD=~S菱形owe=1x12=3,

同理邑ABE=3,

回冈=S.OCD+]S菱形0A8C+S-ABE=12+3+3=18,

又回图象在第二象限,

回左=-18,

1Q

回反比例函数的解析式为y=--

X

故答案为：y=--.

x

【变式训练2】.如图，菱形Q4BC的顶点。的坐标为顶点A在工轴的正半轴上，反比例函数

y=£（x>0）的图象经过顶点8,则上的值为.

X

【分析】此题考查了菱形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，由菱形。钻。的顶点C的坐标为

3可求得3c=OC=g,继而求得点8的坐标，然后由待定系数法即可求得上的值，注意根据菱形的

2

性质求得点5的坐标是关键.

【详解】解：回点C的坐标为2），顶点A在x轴的正半轴上,

22V

团四边形。4BC是菱形,

回8C=0C=*,BC/OA,

2

回点3的坐标为（4,2）,

回反比例函数y=々X>0）的图象经过顶点B,

X

回左=9=4x2=8,

故答案为：8.

【变式训练3].如图所示，四边形A3CD是菱形，边2c在x轴上，点4(0,4),点8(3,0),双曲线y与

直线8。交于点。，点、E,则ACDE的面积为.

【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，勾股定理，菱形的性质，先利用勾股定理求出

AB=y/OA2+OB2=5＞再由菱形的性质得到AD=3C=AB=5,AD//BC,则。(5,4),利用待定系数法求

70

出反比例函数解析式为＞=、，直线3。的解析式为，=2无-6,然后联立两函数解析式求出E(-2,-10),

X

再根据，进行求解即可.

【详解】解：团点4(0,4),点3(3,0),

0OA=4,OB=3,

==5-

回四边形ABCD是菱形，

SAD=BC=AB=5,AD//BC,

00(5,4),

把。(5,4)代入y=±中得左=5x4=20,

X

团反比例函数解析式为＞=2\0,

X

设直线BD的解析式为y=mx+n,

5m+n=4

E

3m+〃