2025年湘教版高一数学下册阶段测试试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年湘教版高一数学下册阶段测试试卷108考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共6题，共12分)1、函数的定义域为（）A.B.C.D.2、所有与角终边相同的角,连同角在内,可构成的一个集合S是A.{|=+k·1800，k∈Z}B.{|=+k·3600,k∈Z}C.{|=+k·1800，k∈R}D.{|=+k·3600,k∈R}3、【题文】函数的最大值是（）A.B.C.D.4、【题文】函数在以下哪个区间内一定有零点()A.B.C.D.5、函数的递减区间为（）A.B.C.D.6、把函数y=sin3x的图象向右平移个长度单位，所得曲线的对应函数式（）A.y=sin（3x﹣）B.y=sin（3x+）C.y=sin（3x﹣）D.y=sin（3x+）评卷人得分二、填空题(共6题，共12分)7、已知函数f（x）=则f（5）=____．8、设函数则使得f（x）≥1的自变量x的取值范围为____．9、从编号为1至5的5个大小相同的球中任取2个，则所取球的最大号码不超过3的概率为________．10、【题文】一个半径为1的小球在一个内壁棱长为的正四面体封闭容器内可向各个方向自由运动，则该小球表面永远不可能接触到的容器内壁的面积是____．11、在直角坐标系中，定义两点P（x1，y1），Q（x2，y2）之间的“直角距离”为d（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．现有下列命题：

①已知P（1，3），Q（sin2α，cos2α）（α∈R）；则d（P，Q）为定值；

②原点O到直线x﹣y+1=0上任一点P的直角距离d（O，P）的最小值为

③若|PQ|表示P、Q两点间的距离，那么|PQ|≥d（P；Q）；

④设A（x；y）且x∈Z，y∈Z，若点A是在过P（1，3）与Q（5，7）的直线上，且点A到点P与Q的“直角距离”之和等于8，那么满足条件的点A只有5个．

其中的真命题是____．（写出所有真命题的序号）12、在等差数列{an}

中，已知a3=3a5=鈭�3

则a7=

______．评卷人得分三、计算题(共6题，共12分)13、（2009•庐阳区校级自主招生）如图所示的方格纸中，有△ABC和半径为2的⊙P，点A、B、C、P均在格点上（每个小方格的顶点叫格点）．每个小方格都是边长为1的正方形，将△ABC沿水平方向向左平移____单位时，⊙P与直线AC相切．14、如果从数字1、2、3、4中，任意取出两个数字组成一个两位数，那么这个两位数是奇数的概率是____．15、设，c2-5ac+6a2=0，则e=____．16、关于x的一元二次方程（m-1）x2+2x+1=0有两个实数根，那么m的取值范围是____．17、如图，两个等圆圆O1，O2外切，O1A、O1B分别与圆O2切于点A、B．设∠AO1B=α，若A（sinα，0），B（cosα，0）为抛物线y=x2+bx+c与x轴的两个交点，则b=____，c=____．18、已知：x=，求-÷的值．评卷人得分四、解答题(共2题，共20分)19、已知△的三个内角所对的边分别为a，b，c，向量且．（1）求角的大小；（2）若判断△的形状．20、某公司对营销人员有如下规定：

①年销售额x在9万元以下；没有奖金；

②年销售额x（万元），当x∈[9，81]时，奖金为y（万元），y=logax；y∈[2，4]，且年销售额x越大，奖金越多；

③年销售额超过81万元；按5%（x-1）发奖金（年销售额x万元）．

（1）求奖金y关于x的函数解析式；

（2）某营销人员争取年奖金3≤y≤10（万元）；年销售额x在什么范围内？

评卷人得分五、证明题(共2题，共18分)21、初中我们学过了正弦余弦的定义，例如sin30°=，同时也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根据如图，设计一种方案，解决问题：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，设AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面积S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．22、已知D是锐角△ABC外接圆劣弧的中点；弦AD与边BC相交于点E，而且AB：AC=2：1，AB：EC=3：1．求：

（1）EC：CB的值；

（2）cosC的值；

（3）tan的值．评卷人得分六、综合题(共1题，共7分)23、已知y=ax2+bx+c（a≠0）图象与直线y=kx+4相交于A（1；m），B（4，8）两点，与x轴交于原点及点C．

（1）求直线和抛物线解析式；

（2）在x轴上方的抛物线上是否存在点D，使S△OCD=2S△OAB？如果存在，求出点D坐标，如果不存在，说明理由．参考答案一、选择题(共6题，共12分)1、B【分析】试题分析：要使有意义，需满足故选项B正确.考点：函数的定义域.【解析】【答案】B2、B【分析】【解析】【答案】B3、D【分析】【解析】

试题分析：可以求得函数的定义域为又令解得可以判断出函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以函数在处取到最大值

考点：本小题主要考查含两个根号的函数的最值的求法.

点评：本小题函数含有两个根号，最好的办法就是用导数研究其单调性，进而求最值，求导数之前要先考查函数的定义域.【解析】【答案】D4、B【分析】【解析】本题考查函数零点存在定理;在上连续的函数若则函数在区间内必有零点.

故选B【解析】【答案】B5、D【分析】【解答】令则在是减函数.由及其在为减函数，在是增函数，得，函数的递减区间为故选D.6、A【分析】【解答】解：把函数y=sin3x的图象向右平移个长度单位，所得曲线的对应函数式为y=sin[3（x﹣）]=sin（3x﹣）．

故选：A．

【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律即可求解．二、填空题(共6题，共12分)7、略

【分析】

∵5＜9

∴f（5）=5+4=9

故答案为9

【解析】【答案】判断出5所在分段函数第二段；将x=5代入第二段的函数的解析式得到函数值．

8、略

【分析】

当x＜-1时，f（x）=（x+1）2，代入不等式得：（x+1）2≥1；

即x（x+2）≥0，可化为：或

解得：x≥0或x≤-2；则满足题意的自变量x的取值范围是（-∞，-2]；

当x≥-1时；f（x）=x-3，代入不等式得：x-3≥1；

解得：x≥4；则满足题意的自变量x的取值范围是[4，+∞）；

综上；使得f（x）≥1的自变量x的取值范围是（-∞，-2]∪[4，+∞）；

故答案为：（-∞；-2]∪[4，+∞）

【解析】【答案】根据f（x）是分段函数可根据x大于等于-1和x小于-1两种情况考虑；分别把各自的解析式代入不等式中，求出各自的解集，然后求出两解集的并集即为满足题意的自变量x的取值范围．

9、略

【分析】【解析】

因为从编号为1至5的5个大小相同的球中任取2个所有的情况为C52，那么所取球的最大号码不超过3的情况共有1,2；1,3,2,3；共有3种，因此利用古典概型概率可知为【解析】【答案】10、略

【分析】【解析】

试题分析：如图甲，考虑小球挤在一个角时的情况，记小球半径为作平面//平面与小球相切于点则小球球心为正四面体的中心，垂足为的中心．

因

故从而．

记此时小球与面的切点为连接则。

．

考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为)相切时的情况，易知小球在面上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，记为如图乙．记正四面体的棱长为过作于．

因有故小三角形的边长．

小球与面不能接触到的部分的面积为（如答图2中阴影部分）

．

又所以．

由对称性，且正四面体共4个面，所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为．

考点：(1)三棱锥的体积公式；（2）分情况讨论及割补思想的应用。【解析】【答案】11、①③④【分析】【解答】解：①已知P（1，3），Q（sin2α，cos2α）（α∈R），则d（P，Q）=|1﹣sin2α|+|3﹣cos2α|=cos2α+2+sin2α=3为定值；正确；

②设P（x，y），O（0，0），则d（0，P）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|=|x|+|y|=|x|+|x+1|；表示数轴上的x到1和0的距离之和，其最小值为1，故不正确；

③若|PQ|表示P、Q两点间的距离，那么|PQ|=d（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，因为2（a2+b2）≥（a+b）2，所以|PQ|≥d（P；Q），正确；

④过P（1；3）与Q（5，7）的直线方程为y=x+2，点A到点P与Q的“直角距离”之和等于8，则|x﹣1|+|y﹣3|+|x﹣5|+|y﹣7|=2|x﹣1|+2|x﹣5|=8，所以|x﹣1|+|x﹣5|=4，所以1≤x≤5，因为x∈Z，所以x=1，2，3，4，5，所以满足条件的点A只有5个，正确．

故答案为：①③④．

【分析】先根据直角距离的定义分别表示出所求的问题的表达式，然后根据集合中绝对值的性质进行判定即可．12、略

【分析】解：由等差数列的性质可得：2a5=a3+a7隆脿2隆脕(鈭�3)=3+a7

解得a7=鈭�9

．

故答案为：鈭�9

．

由等差数列的性质可得：2a5=a3+a7

代入即可得出．

本题考查了等差数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【解析】鈭�9

三、计算题(共6题，共12分)13、略

【分析】【分析】平移后利用切线的性质作PD⊥A′C′于点D求得PD，再求得PA′的长，进而得出PA-PA′和AA″的长，即可求得平移的距离．【解析】【解答】解：∵A′C′与⊙P相切；

作PD⊥A′C′于点D；

∵半径为2；

∴PD=2；

∵每个小方格都是边长为1的正方形；

∴AB=5，AC=2；

∴cosA==；

∴PA′=PD÷cosA=2÷=；

∴AA′=5-，AA″=5+；

故答案为5-或5+．14、略

【分析】【分析】列表列举出所有情况，看两位数是偶数的情况数占总情况数的多少即可解答．【解析】【解答】解：列表如下。12341121314221232433132344414243共有12种等可能的结果，其中是奇数的有6种，概率为=．

故答案为．15、略

【分析】【分析】根据题意，将等式c2-5ac+6a2=0两边同时除以a2，得出关于e的一元二次方程，求解即可．【解析】【解答】解：∵c2-5ac+6a2=0；

∴（c2-5ac+6a2）÷a2=0；

即（）2-5×+6=0；

∵；

∴e2-5e+6=0

因式分解得；（e-2）（e-3）=0；

解得e=2或3．

故答案为2或3．16、略

【分析】【分析】首先根据一元二次方程的一般形式求得b2-4ac的值，再进一步根据关于x的一元二次方程（m-1）x2+2x+1=0有两个实数根，即△≥0进行求解．【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m-1）x2+2x+1=0有两个实数根；

∴△=b2-4ac≥0；

即：4-4（m-1）≥0；

解得：m≤2；

∵关于x的一元二次方程（m-1）x2+2x+1=0中m-1≠0；

∴m≠1；

故答案为：m≤2且m≠1．17、略

【分析】【分析】连接O1O2，O2A，O2B，根据切线的性质得到直角三角形，再由直角三角形中边的关系得到角的度数，确定A，B两点的坐标，用待定系数法可以求出b，c的值．【解析】【解答】解：如图：

连接O1O2，O2A，O2B；

∵O1A，O1B是⊙O2的切线，∴O1A⊥O2A，O1B⊥O2B；

又因为两圆是等圆，所以O1O2=2O2A，得∠AO1O2=30°

∴∠AO1B=60°；即：α=60°；

∴A（，0）B（；0）．

把A；B两点的坐标代入抛物线得：

；

解方程组得：．

故答案为：-，．18、略

【分析】【分析】把分式化简，然后把x的值代入化简后的式子求值就可以了．【解析】【解答】解：原式=×

=-1

=-；

当x=时；

原式=-=2-4．四、解答题(共2题，共20分)19、略

【分析】试题分析：（1）通过向量的垂直可知由坐标运算并化简得结合余弦定理可求得C=（2）利用倍角公式将条件变形化简得利用三角形内角和定理和（1）可变形为求得A=因此三角形为等边三角形．试题解析：（1）由题意得即由余弦定理得（2）∵∴∴∴∴∴∵∴∴△为等边三角形．考点：1．向量的坐标运算；2．倍角公式；3．辅助角公式【解析】【答案】（1）（2）等边三角形．20、略

【分析】

（1）∵y=logax在[9，81]上是增函数．∴loga9=2；∴a=3（2分）

另外log381=4（符合题意）∴（3分）

（2）∵3≤y≤10，∴3≤log3x≤4；∴27≤x≤81（2分）

∵∴81＜x≤201（1分）

∴27≤x≤201（2分）

所以年销售额x的范围为[27；201]万元．

【解析】【答案】（1）由题意知，奖金y关于x的函数解析式是一个分段函数，其中y=logax在[9；81]上是增函数可求得a值，最后利用分段函数的形式写出奖金y关于x的函数解析式；

（2）欲求年销售额x在什么范围内；即由3≤y≤10，解出相应的x的取值范围即可．

五、证明题(共2题，共18分)21、略

【分析】【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E；根据正弦的定义可以表示出CE的长度，然后利用三角形的面积公式列式即可得解；

（2）根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根据正弦与余弦的定义分别把BD、AD、CD，AB，AC转化为三角形函数，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）过点C作CE⊥AB于点E；

则CE=AC•sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB•CE=c•bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根据题意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB•ACsin（α+β）=BD•AD+CD•AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．22、略

【分析】【分析】（1）求出∠BAD=∠CAD，根据角平分线性质推出=；代入求出即