2023年高三数学一轮复习训练：三角恒等变换题型战法

第四章三角函数与解三角形

4.2.1三角恒等变换(题型战法)

知识梳理

一和与差公式

1.两角和与差的余弦：

Ca+门cos(cr+/?)=cosacosj3-sinasinP；

Ca-pzcos(a-P)-cosacos/3+smasin0.

2.两角和与差的正弦

Sa+B：sin(a+/)=sinacos°+cosasin/3；

Sa-ptsin(a-J3)=sinacos°-cosasin/.

3.两角和与差的正切

/c、tan。+tan£

Ta+B：tan(^+yff)=--------------土;

1-tanor-tanp

c、tana-tan3

Ta-/i：tanz(a-/7)=---------------，

1+tanof-tanp

二倍角与半角公式

1.倍角公式:

S2a:sin2a=2sinacosa

22

C2a:cos2a=cosa-sina

2tana

:tan2a=

1-tan2a

需要注意的是，因为si/a+cos2a=1，所以C2a也可以改写为:

cos2a=2cos2cif-1=l-2sin2a

2.半角公式:

Sq：sin/=±1-C0S6Z

1+cosa

C:cos-=±.

a2

1-COS6Z

T:tan—=±

2，l+cosa

三降嘉升角公式

sin2a

sinacosa=--------

2

1+cos2。

cos2a=------------

2

.1-cos2a

sin2a=------------.

2

四辅助角公式

4zsinx+bcosx=V?-K^sm(x+,tan0=一

a

tzsinx+bcosx=y/a2+b2sin(

题型战法

题型战法一和与差公式的应用

典例1.已知cos=sina,则tancz=()

A.-A/3C.—D.V3

【答案】A

【解析】

【分析】

利用两角差的余弦公式化简，然后再化弦为切即可得解.

【详解】

得，sina=-^-cos<z+—sin6z,

解：由sintz=cos^-a

22

所以tana=-^-+—tana，解得tana=一石.

22

故选：A.

3

变式1-1.若sina=g,ae弓㈤，则sin(a-$=()

A3--4口3A/3+4

D.----------------

…1010

C3-4。D3+4百

'10•10

【答案】D

【解析】

【分析】

4

先求出cosa=-々，再利用差角的正弦公式求解.

【详解】

、兀34

解：因为＜兀，sin6Z=—,所以cosa=—1

7TJr-cos«sin^=214x^=^I±l

所以sin(a--)=sinacos—x

3525210

故选：D.

变式1-2.sin75。=()

A.Uy/6--\/2

B.

24

Q^6+V2肉0

D.

・44

【答案】C

【解析】

【分析】

根据正弦的和角公式即可求解.

【详解】

sin75°=sin(45°+30)=sin45cos30+cos45sin30=^-x^-+^^x—■\/6+A/2

v722224

故选:C

变式1-3.若tana,tan夕是方程2尤2+3%_7=()两个实数根，则tan(o+0=()

【答案】A

【解析】

【分析】

由根与系数关系得到两根之和，两根之积，代入正切的和角公式即可.

【详解】

37

由韦达定理得:tana+tan^=--,tana-tan/3=--,

_3

c、tana+tan>5~21

所以tanz°+0=匚1al鹏

1+Z3

2

故选：A

变式1-4若tana=则tan[g-a]=()

A.一立B.0C.—D.当

53

【答案】D

【解析】

【分析】

由正切两角差的公式直接求解.

【详解】

一6

1+氐立5

2

故选:D

题型战法二和与差公式的逆用

典例2.sin5ocos25o+sin25ocos5°=().

【答案】C

【解析】

【分析】

利用和角正弦公式即可得出结果.

【详解】

根据和角正弦公式,

sin5°cos250+sin25°cos5°=sin(^5+25)=sin30]_

2

故选：C.

变式2-1.cos66cos6+sin66sin6=()

【答案】A

【解析】

【分析】

根据两角差的余弦公式可求出结果.

【详解】

cos66cos6+sin66sin6=cos(66-6)=cos60=—.

故选：A

变式2-2.cos20sin65—sin20cos65=()

A.1B.变C."D.一立

2222

【答案】B

【解析】

【分析】

逆用两角差的正弦公式化简，然后再计算.

【详解】

cos20sin65-sin20cos65=sin(65°-20°)=sin45°=.

故选：B.

变式2-3.sin10°cos50°+sin100°cos40°=()

RA/2+A/6

D.

'f42

【答案】C

【解析】

【分析】

利用诱导公式及和角正弦公式即可求值.

【详解】

sin10°cos50°+sin100°cos40°=sin10°cos50°+cos10°sin50°=sin60°=.

2

故选：C

变式2-4.化简8$(彳+y)＜：0$(*-30-$也(尤+丫)$皿(彳一丫)的结果为()

A.sin2xxB.cos2x

C.-cos2xD.-cos2y

【答案】B

【解析】

【分析】

根据两角和的余弦公式计算可得；

【详解】

解：cos(x+y)cos(x-y)-sin(x+y)sin(x-y)

=cos[(x+y)+(x-y)]=cos2x

故选：B

题型战法三巧变角

典例3.已知。€自，兀)，且sin、+：[=|,贝ljcosa=()

.272-7420472-742„25/2+5/4262A/2-A/21

A.-----------------D.-------------------C•-----------------U•--------------

10101010

【答案】A

【解析】

【分析】

先利用同角三角函数关系求得cos[+：]的值，再利用组配角即可求得cosa的直

【详解】

jr3兀5兀

因为，所以"+彳€

a7’7

(兀、兀.(兀、.兀

故cosa=cos=cos|a+—cos—+sina+—sin—

I4；4L4；4

A/21V22V22A/2-A/42

=----------X--------1——X-------=--------------------

525210

故选：A

35

变式3-1.已知a、夕为锐角，且sin,=m,cos(cr+齐)=--,贝(jsina的值为()

A63

A.——B.—C.--D.—

65656565

【答案】A

【解析】

【分析】

凑角法，利用正弦的差角公式进行求解.

【详解】

因为a、夕为锐角，所以&+尸e(O,兀)，

因为cos(a+£)=-《,所以sin(a+.)=J1一g=N,

13V16913

因为sin〃=g,所以cos〃=Jl-sir?/?=g,

故sina=sin[(a+尸)一6]=sin(a+£)cos[}-cos(«+〃)sin〃

故选：A

sin(«-^)=|,

变式3-2.已知则sintz=()

A63-33_33c63

A.—B.—c.D.——

65656565

【答案】A

【解析】

【分析】

求出cosg-6),sin尸，由凑角法sine=sin[(a-⑶+月，利用正弦的差角公式进行求解.

【详解】

因为。、£为锐角，所以。-尸£为，

34

因为sin(a-〃)=gH=-

故sina=sin+力］=sin(cr-y0)cos^+cos(cr-/7)siny0

5312463

=——x—d-----x—=——

13513565

故选：A.

7T3兀

变式3-3.已知sin—,且好，匹呜,则cos(a+#)=()

134'T

A.上33

C.—

6565

【答案】A

【解析】

【分析】

利用两角和与差的三角函数，由cos(a+0=cos[：+£

a求解.

【详解】

713兀

解：因为呜，

4'T，£w

所以:71一。£卜合717171

05+/G

447，-2

兀5

又sin入“二

5U413

4.［71i12

所以cos=—,sin—+/?=——,

5U413

所以"十…卜a

'71a)+sin［；+Pjsin71

=cos(+IcosJ--6Z

4531216

=―义------Fx——二

5131365,

故选：A

变式3-4.若sin2a=如，sin(月-0=避0,且[，兀，Be兀，之兀,则的值是()

5v7101_4」2」

A5%n7%一5%T7%「5万-9»

A•彳B.彳C.彳或彳D.彳或彳

【答案】B

【解析】

【分析】

根据cos(a+0=cos[2a+(/7-0],进而根据两角和的余弦公式展开，然后结合同角三角函数的基

本关系求得答案.

【详解】

7171_717171

aG2cre—,2^-,又,「sin2a=2aG—,7i,ae

252了万'

cos2a=-71-sin22a=—竽

又,：B£"'万•B-aR—,・，・cos(/?_q)=_J]_sin2(尸一0)=_3^^,

于是cos(a+Q)=cos[2a+(/?-«)]=cos2acos(分一a)-sin2asin(/?-cr)

26(3西)A/5(5兀7

易得a+即干2n,则a+y

5110J510J24

故选：B.

题型战法四倍角公式的应用

典例4.已知cosO=-典，且。是第二象限角，则sin26=()

10

334

A.—B.--C.—D.

555

【答案】B

【解析】

【分析】

由同角三角函数的基本关系及二倍角公式化简求解.

【详解】

由题意得sin。=31°,贝ljsin26>=2sin6>cos6)=-1.

105

故选：B

变式4-L若Tsn?J2,则tanc=()

1+sinla

A.-1B.--C.-1或-；D.1

【答案】B

【解析】

【分析】

利用二倍角公式以及弦化切可得出关于tan。的等式，即可解得tana的值.

【详解】

由已知1+sin2a=l+2sinacosa=(sina+cosa)-20,贝sincr+cosa工0,

l-2sin2a_cos2a-sin2a_(coscr-sina)(cosa+sinar)_cosa-sina

'1+sin2al+2sinacosa(cosa+sincr)2cosa+sina

1-tana〜々力”日］1

=,=2,解得tana=.

1+tana3

故选：B.

变式4-2.已知ae］。,/}2sin2a

二cos2a+l,贝|Jsina=()

A.好B.一立

C.-D.—

5535

【答案】A

【解析】

【分析】

利用二倍角公式得到2sina=coS。，再根据同角三角函数的基本关系计算可得;

【详解】

解：因为2sin2tz=cos2a+l,

所以4sinacosa=2cos2（z—l+l，印4sinacosa=2cos2a,

因为are",1,所以cosa>0、

sincr>0,BP2sina=coscr,

?或sina二一些（舍去）；

Xcos2a+sin2a=1解得sina=

955

故选：A

变式4-3.已知sin(至+a)=-3,贝Ijcos(寻-2<z)=()

633

A.--B.--C.|

333

【答案】B

【解析】

【分析】

依题意可得cos(g-2al=cos7T-2^-卜a)利用诱导公式及二倍角公式计算可得；

【详解】

解：因为sin(&+a)=-g所以cosRr"万工)

——2a=cos7C-1A——\-a

63I3)L16JJ

(71)

=-cos2——\-a

(6J

=-l-2sin2^+cr^

2

;2f内]1

=—1—z------=

\373

故选：B

变式4-4.已知cos8=-冬叵，且。£(5，兀),贝I」tan2夕=().

5Iz

3434

A.——B.——C.-D.-

4343

【答案】B

【解析】

【分析】

当可求仇再由正切二倍角公式可求

由sin9=Jl—cos?8可求sin仇由tan8二tantan20.

cos”

【详解】

cos。=一芈，且Oegj,

•\sin。=^1-cos20=J1--二-,

V255

sin61

COS。

4

3,

故选：B.

题型战法五降幕升角公式的应用

典例5.sin15cos15=

【答案】A

【解析】

【分析】

结合倍角公式以及特殊角的三角函数值即可求出结果.

【详解】

sin15cos15=—sin30=—x—=—,

224

故选：A.

变式5-1.sin2

B2+君

L,,4

【答案】A

【解析】

【分析】

利用降次公式求得所求表达式的值.

【详解】

万百

依题意.，%1-C0S622-技

sin—=-----------=--------=-----------

故选：A

【点睛】

本小题主要考查降次公式，属于基础题.

变式5-2.函数/(x)=cos(x+£|的最小正周期为

71

A.-B.»C.2»D.4万

2

【答案】B

【解析】

利用二倍角降幕公式，化简函数的解析式，用最小正周期公式求出最小正周期.

【详解】

/(x)=cos[+£|=；+；cos(2x+J最小正周期T=g="，故选B.

【点睛】

本题考查了二倍角的降幕公式、最小正周期公式，考查了运算能力，逆用公式的能力.

变式5-3.若sina=；,则3(+力=

A.12B.|11C.-D.0

【答案】C

【解析】

【分析】

直接利用降幕公式和诱导公式化简求值.

【详解】

32"+&]=1+39+万)-ina3

04J2—―2一"?-3

故答案为C.

【点睛】

(1)本题主要考查降幕公式和诱导公式，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)降幕公式:

§帝：|=匕等,8S2：|=匕等，这两个公式要记准，不要记错了.

变式5-4.已知sin2a=g,贝Ijcos?71

6Z+-)

11

AB.

163

2

C.D.

3213

【答案】B

【解析】

【分析】

利用半角公式和诱导公式进行求解.

【详解】

/、1+cos2a+—\1——

*.*sin2a=—I2j」-sin2。-3」

COS2L,^_

3I4)222

故选：B.

题型战法六辅助角公式的应用

典例6.为了得到函数y=2cos2x的图象,只需把函数y=gsin2x+cos2x的图象（）

A.向左平移（个单位长度B.向右平移（个单位长度

C.向左平移！个单位长度D.向右平移！个单位长度

【答案】C

【解析】

【分析】

化简y=Gsin2x+cos2x,再根据三角函数图象平移的方法求解即可

【详解】

y=73sin2x+cos2x=2gcos2x+*sin2x=2cos^2x-y^j,因为y=2cos（2x-］）向左平移?个单位

长度得到y=2cos=2cos2x

故选：C

变式6-1.已知cos（x-£）=3,则cos尤+cos（x-g）等于（）

633

A.一9B.土空C.-1D.1

33

【答案】D

【解析】

【分析】

根据两角差的余弦公式以及辅助角公式即可求解.

【详解】

cosx+cos(x-m)=cosx+geossinx==1,

故选：D

变式6-2.函数/(x)=2sinj+2cosj的最小正周期和最大值分别是()

44

A.4万和2B.4万和20C.8允■和2A/2D.8〃■和2

【答案】C

【解析】

【分析】

根据辅助角公式，可得”x)=2后sing+?j,再根据正弦函数的性质，即可求出结果.

【详解】

因为/(x)=2sin；+2cos^=2&sin]j+,

四

所以函数/⑴的最小正周期为了一；

4

又$布[；+me[-1,1],所以20sing+f

所以函数Ax)的最大值为2&-

故选：C.

变式6-3.函数"x)=cosx-sinx在[0,可上的单调递减区间是()

.「兀3711c「八兀]-「八3兀]—F371

A,彳,二B.°，片C.D.:,兀

|_24」|_2」[_4J|_4」

【答案】C

【解析】

【分析】

应用辅助角公式可得〃X)=&COS(X+?),应用余弦函数的性质求减区间，结合题设确定正确选项

即可.

【详解】

由题设，f(^)-cosx-sinx=\[2cos(x+,

令2左乃+?W2左》+»,可得2左万一(<x<2左乃+手,keZ,

37r

••.在[0,可上的单调递减区间是0,—.

故选：c.

变式6-4.已知函数/(x)=sinx-cos尤的图象关于直线x=e[Oe(O,乃)]对称，则tan(9=()

A.1B.-1C.—D.一立

22

【答案】B

【解析】

【分析】

根据辅助角公式化简函数解析式，再由整体法代入计算函数的对称轴，从而得。，进而可求

解tan。.

【详解】

因为"x)=sinx-cosx=0sin(x-m，又直线x=6是函数/(%)的对称轴，所以。-5=|^+%万,

keZ.又6e(0,乃)，所以6=w万，所以tan6»=-l

故选：B.

题型战法七化简求值

cos40°

典例7.化简：---=-=()

cos25v1l-cos50

A.aB.2A/2C.V3D.V3-1

【答案】A

【解析】

【分析】

由倍角公式结合诱导公式求解即可.

【详解】

cos40°cos(9。-5。)=sin500_2sin50°_近

cos250Vl-cos50°cos25°Jl-(1-2sin?25")近cos25°sin25°-72sin50°-

故选：A

变式7-1.化简’十a;”的结果是（）

A.cos115°B.sin115°C.cos35°D.sin25°

【答案】D

【解析】

【分析】

先利用诱导公式将角变小，再利用倍角公式化简即可.

【详解】

1+cos230°11+COS1[180+50)1-cos50

=sin25

222

故选：D.

11c（万＜。＜学）的结果为（

变式7-2.化简---1---COSZ6Z)

22

A「a

.aDa

A.sin—B.-si.n—aC.cos—D.-cos—

2222

【答案】A

【解析】

【分析】

利用给定角的范围确定出cosa与sin5的正负，再利用二倍角的余弦公式化简变形即得.

【详解】

因…q,则—。，且辛辛芳，即有sin〉。,

211小[.2aa

所以v1—1—cos2a^+^^cosa----cos(2sm—=sin—

'2222

故选：A

l+sin4cr-cos4a

变式7-3.化简

l+sin4a+cos4a

A.cot2aB.tan2。

C.tan2aD.tana

【答案】B

【解析】

【分析】

利用二倍角公式sin4a=2sin2acos2a,cos4a=2cos22«-1=l-2sin22a代入题干中的分式，并在分

子分母中提取公式，进行化简可得出结果.

【详解】

l+sin4a-cos4a_1+2sinlacos-(1-2sin22«)

1+sin4a+cos4a1+2sin2acos2a+(2cos22。一1)

_2sinlacos2a+2sin2la

2sinlacos2a+2cos2la

2sin2a(cos2a+sin2a)

2cos2a(sinla+cos2a)

=tan2a.

故选B.

变式7-4.化简二一-2cos20。所得的结果是()

2tan20°

1Q

A.—B.-C.—D.2

422

【答案】B

【解析】

【分析】

先切化弦并整理得二一-2cos20°=^cos20~2sin4°,再结合sin40=sin(60-20)展开整理即

2tan20°2sin20''

可得答案.

【详解】

A/3C”。V3COS20C”V3cos20-4sin20cos20

用牛：-------------2cos20=----------------2cos20=-------------------------------------

2tan20°2sin202sin20

_V3cos20-2sin40_A/3COS20-2sin(60-20)

2sin202sin20

^3cos20-2(sin60cos20-cos60sin20)

2sin20

_5/3cos20-5/3cos20+sin20_sin20_1

2sin202sin202

故选：B

【点睛】

本题考查利用三角恒等变换求函数值，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于先根据

切化弦的方法整理得需再22。二氐。黑泮。,再根据s,』(6。-2。)化简整理

即可求解.

题型战法八三角恒等变换与三角函数的综合应用

典例8.设函数f(x)=2百sinxcosx—Zsin?%+1

⑴求函数广⑺的最小正周期和单调递增区间；

⑵求函数/(X)在。，?)上的最大值与最小值及相应的X的值.

jrjr

【答案】⑴最小正周期7=万，单调递增区间为-工+丘,而，keZ；

36

(2)x=0时函数取得最小值f(x)rin=1,x=9时函数取得最大值1rax=2；

o

【解析】

【分析】

(1)利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，再根据正弦函数的性质计算可得;

(2)由x的取值范围，求出2尤+9的取值范围，再根据正弦函数的性质计算可得；

O

(1)

解：因为/(%)=26sinxcosx-2sin2%+1

=6sin2x+cos2x

,_10)

sm2x+—coszx

2

7

=2sin^2x+-^-j,

(27r

即〃%)=2sin2x+F所以函数的最小正周期T=T=%,

^-—+2k7r<2x+—<—+2k?i,keZ,

262

rrTT

解得---k兀K%K—Fkji,kGZ,

36

TTTT

所以函数的单调递增区间为-w+丘,工+0,keZ；

3o

⑵

解：因为To,：］,所以2x+.e［.,*,

L3J6L66J

所以当2x+W，即x=0时函数取得最小值，即〃叫=/(0)=1,

当2x+g=g,即x=?时函数取得最大值，即小)111ax=/由=2；

626<07

变式8-1.已知函数/(x)=sin(2x+e1-cos2x+sin2x,xeR.

(1)求/(%)求函数的最小正周期及对称中心.

⑵求函数y=/(x)在xe0,|值域.

【答案】⑴兀，代+去。卜吟

(2)卜「'1J「.

【解析】

【分析】

(1)由三角恒等变换可得正弦型三角函数，据此求周期、对称中心即可;

(2)利用整体代换法求正弦函数的值域即可.

(1)

f(x)-^-sin2x+—cos2x-cos2x-sinf2无一工］

22I6)

所以函数的最小正周期为2芳7r=兀

/(x)=si“2x—力，令2%_2=E,

if-r-tZ|—»k凡兀

解得+内

.../(X)的对称中心是,0)此Z

⑵

令f=2x-£由xeO'T，贝Ip=2无一ge-。称，

61.2」6|_66

则一白/⑺41,

所以〉=/(©的值域是-p1-

变式8-2.设函数/(x)=sinxcosx+Gcos2x----(xe/?).

⑴求函数“X)的最小正周期和最大值，并指出取得最大值时X的值；

(2)将函数图像上所有点的横坐标变为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图像，写出

g(元)表达式和单调递增区间.

【答案】⑴最小正周期为万，最大值为1,x=^+k^,keZ

(Yjr।STITC

(2)gW=sinl-+yI,单调增区间为4k兀---,4^+y(%eZ)

【解析】

【分析】

⑴将函数/(x)化为/(x)=Asin(s+e)+上的形式，再求函数f(x)的最小正周期和最大值，及此时取

得最大值时x的值即可；

⑵根据图象变换求出g(