2024-2025学年新教材高中物理第4章力与平衡素养培优课二平衡条件的应用学案鲁科版必修第一册

PAGE8-素养培优课(二)平衡条件的应用学习目标：1.驾驭解决静态平衡问题的几类常用方法．2.学会用解析法和图解法分析解决动态平衡问题．3.驾驭解决临界问题和极值问题的方法．静态平衡1.静态平衡的定义静态平衡是指物体在共点力的作用下保持静止状态时的平衡．2．静态平衡的理解(1)运动学特征：处于静态平衡的物体速度为零．(2)平衡条件：处于静态平衡的物体所受的合力为零．(3)实例：日常生活中，三角形支架以其优越的平衡稳定性被广泛采纳．如：大型展览馆、体育馆屋顶的钢架结构，公路边的路灯支架，建筑工地的塔吊支架等静态平衡装置大多采纳三角形结构．【例1】沿光滑的墙壁用网兜把一个足球挂在A点，如图所示，足球的质量为m，网兜的质量不计，足球与墙壁的接触点为B，悬绳与墙壁的夹角为α，求悬绳对球的拉力和墙壁对球的支持力．思路点拨：①球处于静止状态，所受合外力为零．②选取球为探讨对象可采纳合成法、分解法、正交分解法求解．[解析]方法一：用合成法取足球和网兜作为探讨对象，它们受重力G＝mg、墙壁的支持力N和悬绳的拉力T三个共点力作用而平衡．由共点力平衡的条件可知，N和T的合力F与G大小相等、方向相反，即F＝G，作平行四边形如图所示．由三角形学问得：N＝Ftanα＝mgtanα，T＝eq\f(F,cosα)＝eq\f(mg,cosα).方法二：用分解法取足球和网兜作为探讨对象，其受重力G＝mg、墙壁的支持力N、悬绳的拉力T，如图所示，将重力分解为F′1和F′2.由共点力平衡条件可知，N与F′1的合力必为零，T与F′2的合力也必为零，所以N＝F′1＝mgtanα，T＝F′2＝eq\f(mg,cosα).方法三：用正交分解法求解取足球和网兜作为探讨对象，受三个力作用，重力G＝mg、墙壁的支持力N、悬绳的拉力T，如图所示，取水平方向为x轴，竖直方向为y轴，将T分别沿x轴和y轴方向进行分解．由平衡条件可知，在x轴和y轴方向上的合力Fx合和Fy合应分别等于零，即Fx合＝N－Tsinα＝0 ①Fy合＝Tcosα－G＝0 ②由②式解得：T＝eq\f(G,cosα)＝eq\f(mg,cosα)代入①式得：N＝Tsinα＝mgtanα.[答案]eq\f(mg,cosα)mgtanα解决静态平衡问题的方法及步骤(1)处理平衡问题，常用的方法有合成法、分解法、相像三角形法、正交分解法等．(2)应用平衡条件解题的步骤①明确探讨对象(物体、质点或绳的结点等)；②对探讨对象进行受力分析；③建立合适的坐标系，应用共点力的平衡条件，选择恰当的方法列出平衡方程；④求解方程，并探讨结果．[跟进训练]1.如图所示，质量为m的物块在水平推力作用下，静止在倾角为θ的光滑斜面上，则物块对斜面的压力为()A．mgcosθB．mgsinθC．eq\f(mg,cosθ)D．eq\f(mg,sinθ)C[分析物块受力，建立如图所示的直角坐标系．物块静止，则y轴方向上有Ny＝Ncosθ＝mg，则N＝eq\f(mg,cosθ).故C正确．]动态平衡1．动态平衡的定义动态平衡是指物体在共点力的作用下保持匀速直线运动状态，或者通过限制某些物理量，使物体的运动状态缓慢地发生变更，而这个过程中物体又始终处于一系列的平衡状态．2．平衡条件物体所受共点力的合力为零．3．解题思路把“动”化为“静”，从“静”中求“动”．【例2】如图所示，把球夹在竖直墙AC和木板BC之间，不计摩擦，球对墙的压力为N1，球对木板的压力为N2.在将木板BC渐渐放至水平的过程中，下列说法正确的是()A．N1和N2都增大B．N1和N2都减小C．N1增大，N2减小D．N1减小，N2增大思路点拨：eq\x(\a\al(选取球为,探讨对象))⇨eq\x(\a\al(对球进行受力分析，作,出受力的矢量三角形))⇨eq\x(\a\al(依据有向线段的长度,变更推断力的变更))B[球受到重力G、墙AC对球的弹力N1′和板BC对球的支持力N2′，如图甲所示．甲乙在将板BC渐渐放至水平的过程中，球始终处于平衡状态，G、N1′、N2′经过平衡可构成一系列封闭的矢量三角形，如图乙所示，由图乙可以看出，N1′、N2′都渐渐减小．由力的相互作用可知，N1＝N1′，N2＝N2′，所以N1、N2都渐渐减小．故选项B正确．]动态平衡及其分析方法(1)物体的动态平衡是指物体在运动中的平衡，通过限制某一物理量，使物体的状态发生缓慢变更，在此过程中，物体始终处于一系列的动态平衡状态．(2)动态平衡问题的两种分析方法①解析法：对探讨对象的任一状态进行受力分析，建立平衡方程，求出因变量与自变量的一般函数式，然后依据自变量的变更确定因变量的变更．②图解法：对探讨对象进行受力分析，再依据平行四边形定则或三角形定则画出不同状态下的力的矢量图(画在同一个图中)，然后依据有向线段(表示力)的长度变更推断各个力的变更状况．[跟进训练]2．如图所示，质量为M的物体用OA和OB两根等长的绳子悬挂在半弧形的支架上，B点固定不动，A点则由顶点C沿圆弧向D移动．在此过程中，绳子OA的张力将()A．由大变小B．由小变大C．先减小后增大D．先增大后减小C[O点受到向下的拉力F(等于重力Mg)，依据它的作用效果，可将力F分解成两个力：沿AO方向的力FA和沿BO方向的力FB.在A点移动过程中，绳OA与竖直方向之间的夹角由0增大到90°，合力F的大小、方向不变，分力FB的方向不变，由于分力FA的方向变更导致FA、FB的大小发生变更．可见，FA的大小先减小，当FA⊥FB时(即绳OA与绳OB垂直时)减到最小值，为Mgsinα(α为绳OB与竖直方向的夹角)，然后又渐渐增大到Mgtanα，如图所示，绳OA中的张力与FA大小相等．故正确选项为C.]平衡问题中的临界和极值问题1．临界问题临界状态是指某种物理现象(或物理状态)变为另一种物理现象(或物理状态)的过程中的转折状态．可理解为“恰好出现”某种物理现象，也可理解为“恰好不出现”某种物理现象，涉及临界状态的问题称为临界问题．2．极值问题极值是指描述物体的物理量在变更过程中出现的最大值或最小值．涉及极值的问题称为极值问题．3．解决临界问题和极值问题的方法一种是物理分析法，通过对物理过程的分析，抓住临界(或极值)条件进行求解．例如，两物体脱离的临界条件是两物体间的弹力为零．另一种是数学法，通过对问题的分析，依据物理规律写出物理量之间的函数关系(或作出函数图像)，用数学学问(例如求二次函数的极值、探讨公式极值、三角函数极值等)求解．【例3】如图所示，小球的质量为2kg，两根轻绳AB和AC的一端连接于竖直墙上，另一端系于小球上，AC绳水平，AB绳与AC绳成θ＝60°角，在小球上另施加一个方向与水平线也成θ角的拉力F，取g＝10m/s2.若要使绳都能拉直，求拉力F的大小范围．思路点拨：因为绳都能拉直，所以各个夹角不变更．分两种状况，即第一种是FB＝0时，其次种是FC＝0时，分别解出即可．[解析]小球受重力mg、AB拉力FB、AC拉力FC和F作用处于平衡状态，如图所示．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Fx合＝0,Fy合＝0))，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Fcos60°＝FC＋FBcos60°,FBsin60°＋Fsin60°＝mg))要两绳伸直则应满意FB≥0，FC≥0FB≥0时，F≤eq\f(mg,sin60°)＝eq\f(40\r(3),3)NFC≥0时，F≥eq\f(mg,2sin60°)＝eq\f(20\r(3),3)N综上所述，F的大小范围为eq\f(20\r(3),3)N≤F≤eq\f(40\r(3),3)N.[答案]eq\f(20\r(3),3)N≤F≤eq\f(40\r(3),3)N探讨平衡物体的临界、极值问题的常用方法假设推理法先假设某种状况成立，然后依据平衡条件及对临界条件的分析论证.物理分析法通过对物理过程的分析，抓住临界(或极值)条件进行求解.解析法依据物体的平衡条件列方程，写出物理量之间的函数关系，在解方程时采纳数学学问求极值，通常用到的数学学问有二次函数、均值不等式以及三角函数等．但肯定要依据物理理论对解的合理性及物理意义进行探讨或说明.图解法依据物体的平衡条件作出力的矢量图，如物体只受三个力，则这三个力构成封闭矢量三角形，然后依据力的矢量图进行动态分析，尤其留意分析大小和方向变更的力，确定其最大值和最小值．此法简便、直观.[跟进训练]3．如图所示，重50N的物体A放在倾角为37°的粗糙斜面上，有一根原长为10cm，劲度系数为800N/m的弹簧，其一端固定在斜面顶端，另一端连接物体A后，弹簧长度为14cm.现用一测力计沿斜面对下拉物体A，若物体A与斜面间的最大静摩擦力为20N，当弹簧的长度仍为14cm时，测力计的读数不行能为()A．10NB．20NC．30ND．0C[物体A在斜面上处于静止状态时合外力为零，物体A在斜面上受五个力的作用，分别为重力、支持力、弹簧弹力、摩擦力、拉力F.当摩擦力的方向沿斜面对上时，F＋mgsin37°≤fmax＋k(14cm－10cm)，解得F≤22N．当摩擦力沿斜面对下时，F最小值为零，即拉力的取值范围为0≤F≤22N．故选项C正确．]1．一氢气球下系一小重物G，重物只在重力和绳的拉力作用下做匀速直线运动，不计空气阻力和风力影响，而重物运动的方向如各图中箭头所示，则下列图中气球和重物G在运动中所处的位置可能的是()ABCDA[重物G受到重力和绳的拉力的共同作用，由力的平衡可知，二力必定反向，所以悬线是竖直的．]2．如图所示，一只质量为m的蚂蚁在半径为R的半球形碗内爬行，在距碗底高eq\f(R,2)的P点停下来，若重力加速度为g，则它在P点受到的摩擦力大小为()A．eq\f(1,2)mgB．eq\f(\r(2),2)mgC．eq\f(\r(3),2)mgD．mgC[过P点作半球形面的切面，该切面相当于倾角为θ的斜面，由几何学问知cosθ＝eq\f(1,2).用一方形物体表示蚂蚁，故蚂蚁在P点受到的摩擦力大小Ff＝F1＝mgsinθ＝eq\f(\r(3),2)mg，C正确．]3.如图所示，用OA、OB两根轻绳将花盆悬于两竖直墙之间，起先时OB绳水平．现保持O点位置不变，变更OB绳长使绳右端由B点缓慢上移至B′点，此时OB′与OA之间的夹角θ<90°.设此过程OA、OB绳的拉力分别为FOA、FOB，则下列说法正确的是()A．FOA始终减小 B．FOA始终增大C．FOB始终减小 D．FOB始终增大A[对结点O受力分析如图所示，依据平衡条件知，两根绳子的拉力的合力与重力大小相等、方向相反，作出轻绳OB在两个位置时力的合成图如图，由图看出，FOA渐渐减小，FOB先减小后增大，当θ＝90°时，FOB最小．]4.如图所示，质量为M的直角三棱柱A放在水平地面上，三棱柱的斜面是光滑的，且斜面倾角为θ.质量为m的光滑球放在三棱柱和光滑竖直墙壁之间，A和B都处于静止状态，求：(1)地面对三棱柱支持力的大小；(2)地面对三棱柱摩擦力的大小．[解析