2024-2025学年高中数学第一章计数原理1.2.2.2组合的应用课时作业含解析新人教A版选修2-3

课时作业6组合的应用时间：45分钟分值：100分一、选择题(每小题5分，共计40分)1．从4艘驱除舰和5艘护卫舰中随意选出3艘参与索马里护航任务，其中至少要有驱除舰和护卫舰各1艘的选法种数是(C)A．140 B．84C．70 D．35解析：包括两种可能：2艘驱除舰和1艘护卫舰，有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,5)种取法；1艘驱除舰和2艘护卫舰，有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,5)种取法．所以一共有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,5)＋Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,5)＝70种．2．中小学校车平安引起社会的关注，为了彻底消退校车平安隐患，某市购进了50台完全相同的校车，打算发放给10所学校，每所学校至少2台，则不同的发放方案种数为(D)A．Ceq\o\al(9,41)B．Ceq\o\al(9,38)C．Ceq\o\al(9,40)D．Ceq\o\al(9,39)解析：首先每个学校配送一台，这个没有依次和状况之分，剩下40台；将剩下的40台像排队一样排列好，则这40台校车之间有39个空，对这39个空进行插空，比如说用9面小旗隔开，就可以隔成10部分．所以是在39个空中选9个空进行插空．故不同的方案种数为Ceq\o\al(9,39).3．氨基酸的排列依次是确定蛋白质多样性的缘由之一，某肽链由7种不同的氨基酸构成，若只变更其中3种氨基酸的位置，其他4种不变，则不同的变更方法的种数为(C)A．210 B．126C．70 D．35解析：从7种中取出3种有Ceq\o\al(3,7)＝35种取法，比如选出a，b，c种，再都变更位置有b，c，a和c，a，b两种，所以不同的变更方法有2×35＝70种．4．5个身高均不相同的学生排成一排合影留念，高个子站中间，从中间到左边和从中间到右边一个比一个矮，则这样的排法种数为(B)A．1B．6C．12D．120解析：由已知可知，最高的站在中间，左边两个人只要选出，左右两个人的站法就已固定，所以有Ceq\o\al(2,4)＝6种不同的站法．5．用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为(B)A．243B．252C．261D．279解析：构成全部的三位数的个数为Ceq\o\al(1,9)Ceq\o\al(1,10)Ceq\o\al(1,10)＝900，而无重复数字的三位数的个数为Ceq\o\al(1,9)Ceq\o\al(1,9)Ceq\o\al(1,8)＝648，故所求个数为900－648＝252，应选B.6．公路上有编号为1,2,3,4，…，9的9只路灯，为节约用电，现要求把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，也不能关掉两端的路灯，则满意条件的关灯方法有(D)A．7种B．8种C．9种D．10种解析：9只路灯关闭3只，有6只亮着的路灯，6只灯除去两边还有5个空，插入3只熄灭的灯，即Ceq\o\al(3,5)＝10种关灯的方法．故选D.7．若从1,2,3，…，9这9个整数中取4个不同的数，使其和为奇数，则不同的取法共有(A)A．60种B．63种C．65种D．66种解析：若四个数之和为奇数，则有1个奇数3个偶数或者3个奇数1个偶数．若是1个奇数3个偶数，则有Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(3,4)＝20种，若是3个奇数1个偶数，则有Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(1,4)＝40种，共有20＋40＝60种不同的取法．8．A，B，C，D四位同学打算从三门选修课中各选一门，若要求每门选修课至少有一人选修，且A，B不选修同一门课，则不同的选法有(C)A．36种B．72种C．30种D．66种解析：将A，B，C，D四位同学分成3组，共有eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,2),2！)种分法，全部的选修方案为eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,2),2！)Aeq\o\al(3,3)，其中A，B选修同一门课的方案数为Aeq\o\al(3,3).故全部不同的选法数为eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,2),2！)Aeq\o\al(3,3)－Aeq\o\al(3,3)＝30.二、填空题(每小题6分，共计18分)9．今有1元、2元、5元和100元人民币各一张，最多可以组成15种不同的币值．解析：可随意选取其中的一张或多张组成，有Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(4,4)＝4＋6＋4＋1＝15种不同的币值．10．某校要求每位学生从7门课程中选修4门，其中甲、乙两门课程不能都选，则不同的选课方案有25种．(以数字作答)解析：全部的选法数为Ceq\o\al(4,7)，两门都选的方法为Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(2,5).故共有选法数为Ceq\o\al(4,7)－Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(2,5)＝35－10＝25.11．随着中国电子商务的发展和人们对网购的渐渐相识，网购鲜花速递行业快速兴起．佳佳为庆祝母亲的生日，打算在网上定制一束混合花束．客服为佳佳供应了两个系列，如下表所示：粉色系列黄色系列玫瑰戴安娜、粉佳人、糖果、粉雪山假日公主、金辉、金香玉康乃馨粉色、小桃红、白色粉边火焰、金毛、黄色配叶红竹蕉、情人草、满天星凤尾、栀子花、黄莺、银叶菊佳佳要在两个系列中选一个系列，再从中选择2种玫瑰、1种康乃馨、2种配叶组成混合花束，请问佳佳可定制的混合花束一共有108种．解析：若选粉色系列有Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(2,3)种选法，若选黄色系列有Ceq\o\al(2,3)·Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(2,4)种选法，佳佳可定制的混合花束一共有Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,3)·Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(2,4)＝54＋54＝108种．三、解答题(共计22分)12．(10分)某次足球竞赛共12支球队参与，分三个阶段进行．小组赛：经抽签分成甲、乙两组，每组6队进行单循环竞赛，以积分及净胜球数取前两名；半决赛：甲组第一名与乙组其次名，乙组第一名与甲组其次名作主客场交叉淘汰赛(每两队主客场各赛一场)决出胜者；决赛：两个胜队参与决赛一场，决出输赢．问全部赛程共需竞赛多少场？解：①小组赛中每组6队进行单循环竞赛，就是6支球队的任2支球队都要竞赛一次，所需竞赛的场次即为从6个元素中任取2个元素的组合数，所以小组赛共要竞赛2Ceq\o\al(2,6)＝30场．②半决赛中甲组第一名与乙组其次名(或乙组第一名与甲组其次名)主客场各赛一场，所需竞赛的场次即为从2个元素中任取2个元素的排列数，所以半决赛共要竞赛2Aeq\o\al(2,2)＝4场．③决赛只需竞赛1场，即可决出输赢．所以全部赛程共需竞赛30＋4＋1＝35场．13．(12分)4个不同的红球和6个不同的白球放入同一个袋中，现从中取出4个球：(1)若取出的红球的个数不少于白球的个数，则有多少种不同的取法？(2)取出一个红球记2分，取出一个白球记1分，若取出4个球总分不小于5分，则有多少种不同的取法？解：(1)依题意可知，取出的4个球中至少有2个红球，可分为三类：①全取出红球，有Ceq\o\al(4,4)种不同的取法；②取出的4个球中有3个红球1个白球，有Ceq\o\al(3,4)×Ceq\o\al(1,6)种取法；③取出的4个球中有2个红球2个白球的取法有Ceq\o\al(2,4)×Ceq\o\al(2,6)种不同的取法，由分类加法计数原理知，共有Ceq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(3,4)×Ceq\o\al(1,6)＋Ceq\o\al(2,4)×Ceq\o\al(2,6)＝115种不同的取法．(2)依题意中知，取出的4个球中至少要有1个红球，从红白10个球中取出4个球的取法有Ceq\o\al(4,10)种不同的取法，而全是白球的取法有Ceq\o\al(4,6)种，从而满意题意的取法有：Ceq\o\al(4,10)－Ceq\o\al(4,6)＝195(种)．——素养提升——14．(5分)中国古代十进制的算筹计数法，在世界数学史上是一个宏大的创建．算筹事实上是一根根同样长短的小木棍，如下图，算筹计数法是表示数1～9的方法的一种．例如：163可表示为“”，27可表示为“”．现有8根算筹，可以表示三位数的个数(算筹不能剩余)为(C)A．48B．60C．96D．120解析：设8根算筹的组合为(a1，a2，a3)(ai∈{1,2,3,4,5}，i＝1,2,3)，不考虑先后依次，则可能的组合为(1,2,5)，(1,3,4)，(2,2,4)，(2,3,3)，对于(1,2,5)，组合出的可能的算筹为(1,2,5)，(1,6,9)，(1,2,9)，(1,6,5)，共4种，可以组成的三位数的个数为4×3！，同理(1,3,4)可以组成的三位数的个数为4×3！，对于(2,2,4)，组合出的可能的算筹为(2,2,4)，(6,6,4)，(2,2,8)，(6,6,8)，(2,6,4)，(2,6,8)，共6种，可以组成的三位数的个数为2×3！＋4×eq\f(3！,2)种，同理(2,3,3)可以组成的三位数的个数为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×3！＋4×\f(3！,2)))种，利用加法原理可得，8根算筹可以表示三位数的个数(算筹不能剩余)为12×3！＋8×eq\f(3！,2)＝16×3！＝96.故选C.15．(15分)现有5位同学打算一起做一项嬉戏，他们的身高各不相同．现在要从他们5个人当中选出若干人组成A，B两个小组，每个小组都至少有1人，并且要求B组中最矮的那个同学的身高要比A组中最高的那个同学还要高，则不同的选法共有多少种？解：给5位同学按身高的不同由矮到高分别编号为1,2,3,4,5，组成集合M＝{1,2,3,4,5}．①若小组A中最高者为1，则能使B中最矮者高于A中最高者的小组B是{2,3,4,5}的非空子集，这样的子集有Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(4,4)＝15个，所以不同的选法有15种；②若A中最高者为2，则这样的小组A有2个：{2}，{1,2}，能使B中最矮者高于A中最高者的小组B是{3,4,5}的非空子集，这样的子集(小组B)有Ceq\o\al(1,3)＋Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(3,3)＝7个，所以不同的选法有2×7＝14种；③若A中最高者为3，则这样的小组A有4个：{3}，{1,3