2024-2025学年高中数学第二章平面向量课时作业172.3.2平面向量基本定理含解析北师大版必修4

课时作业17平面对量基本定理时间：45分钟满分：100分——基础巩固类——一、选择题(每小题5分，共40分)1．如图，在平面正六边形ABCDEF中，不能和eq\o(AB,\s\up15(→))组成基底的是(C)A.eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→)) B.eq\o(AB,\s\up15(→))－eq\o(AF,\s\up15(→))C.eq\o(DE,\s\up15(→)) D．2eq\o(CD,\s\up15(→))解析：对于A，eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→))＝eq\o(AC,\s\up15(→))，eq\o(AC,\s\up15(→))与eq\o(AB,\s\up15(→))不共线，故eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→))能和eq\o(AB,\s\up15(→))组成基底；对于B，eq\o(AB,\s\up15(→))－eq\o(AF,\s\up15(→))＝eq\o(FB,\s\up15(→))，eq\o(FB,\s\up15(→))与eq\o(AB,\s\up15(→))不共线，故eq\o(AB,\s\up15(→))－eq\o(AF,\s\up15(→))能和eq\o(AB,\s\up15(→))组成基底；对于C，eq\o(DE,\s\up15(→))＝－eq\o(AB,\s\up15(→))，则eq\o(DE,\s\up15(→))与eq\o(AB,\s\up15(→))共线，故eq\o(DE,\s\up15(→))不能和eq\o(AB,\s\up15(→))组成基底；对于D，2eq\o(CD,\s\up15(→))＝2eq\o(AF,\s\up15(→))，且eq\o(AF,\s\up15(→))与eq\o(AB,\s\up15(→))不共线，故2eq\o(CD,\s\up15(→))能和eq\o(AB,\s\up15(→))组成基底．2．在△ABC中，eq\o(AB,\s\up15(→))＝c，eq\o(AC,\s\up15(→))＝b，点D满意eq\o(BD,\s\up15(→))＝2eq\o(DC,\s\up15(→))，若将b与c作为基底，则eq\o(AD,\s\up15(→))＝(A)A.eq\f(2,3)b＋eq\f(1,3)c B.eq\f(3,5)c－eq\f(2,3)bC.eq\f(2,3)b－eq\f(1,3)c D.eq\f(1,3)b＋eq\f(2,3)c解析：∵eq\o(BD,\s\up15(→))＝2eq\o(DC,\s\up15(→))，∴eq\o(AD,\s\up15(→))－eq\o(AB,\s\up15(→))＝2(eq\o(AC,\s\up15(→))－eq\o(AD,\s\up15(→)))，∴eq\o(AD,\s\up15(→))－c＝2(b－eq\o(AD,\s\up15(→)))，∴eq\o(AD,\s\up15(→))＝eq\f(2,3)b＋eq\f(1,3)c.3．在梯形ABCD中，AB∥CD，eq\o(AB,\s\up15(→))＝λeq\o(AD,\s\up15(→))＋μeq\o(BC,\s\up15(→))，则λ＋μ＝(C)A．1 B．－1C．0 D．不能确定解析：∵AB∥CD，∴eq\o(DC,\s\up15(→))＝teq\o(AB,\s\up15(→))(t>0，t≠1)，∴eq\o(AB,\s\up15(→))＝eq\o(AD,\s\up15(→))＋eq\o(DC,\s\up15(→))＋eq\o(CB,\s\up15(→))＝eq\o(AD,\s\up15(→))＋teq\o(AB,\s\up15(→))－eq\o(BC,\s\up15(→))，∴eq\o(AB,\s\up15(→))＝eq\f(1,1－t)(eq\o(AD,\s\up15(→))－eq\o(BC,\s\up15(→)))，又eq\o(AB,\s\up15(→))＝λeq\o(AD,\s\up15(→))＋μeq\o(BC,\s\up15(→))，∴λ＋μ＝eq\f(1,1－t)－eq\f(1,1－t)＝0.故选C.4．已知△ABC和点M满意eq\o(MA,\s\up15(→))＋eq\o(MB,\s\up15(→))＋eq\o(MC,\s\up15(→))＝0.若存在实数m使得eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(AC,\s\up15(→))＝meq\o(AM,\s\up15(→))成立，则m＝(B)A．2 B．3C．4 D．5解析：由eq\o(MA,\s\up15(→))＋eq\o(MB,\s\up15(→))＋eq\o(MC,\s\up15(→))＝0可知，M为△ABC的重心，故eq\o(AM,\s\up15(→))＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(AC,\s\up15(→)))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(AC,\s\up15(→)))，所以eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(AC,\s\up15(→))＝3eq\o(AM,\s\up15(→))，即m＝3.5．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若eq\o(AC,\s\up15(→))＝a，eq\o(BD,\s\up15(→))＝b，则eq\o(AF,\s\up15(→))＝(B)A.eq\f(1,4)a＋eq\f(1,2)b B.eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)bC.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b D.eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)b解析：本题考查平面对量，分析问题和解决问题的实力．如图．由E是线段OD的中点，∴eq\o(BE,\s\up15(→))＝3eq\o(ED,\s\up15(→))，由平行四边形ABCD，可得eq\f(|AB|,|DF|)＝eq\f(|EB|,|ED|)，∴|DF|＝eq\f(1,3)|AB|，∴eq\o(AF,\s\up15(→))＝eq\o(AC,\s\up15(→))＋eq\o(CF,\s\up15(→))＝eq\o(AC,\s\up15(→))＋eq\f(2,3)eq\o(CD,\s\up15(→))＝a＋eq\f(2,3)(eq\o(OD,\s\up15(→))－eq\o(OC,\s\up15(→)))＝a＋eq\f(2,3)(eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)a)＝eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b.故选B.6．△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若Ceq\o(B,\s\up15(→))＝a，Ceq\o(A,\s\up15(→))＝b，|a|＝1，|b|＝2，则Ceq\o(D,\s\up15(→))＝(B)A.eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)b B.eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)bC.eq\f(3,5)a＋eq\f(4,5)b D.eq\f(4,5)a＋eq\f(3,5)b解析：本题考查了向量的运算及向量的基本定理．如图所示，由题知∠1＝∠2，eq\f(|CB|,|CA|)＝eq\f(|BD|,|DA|)＝eq\f(1,2)，∴eq\o(BD,\s\up15(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BA,\s\up15(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(CA,\s\up15(→))－eq\o(CB,\s\up15(→)))，∴eq\o(CD,\s\up15(→))＝eq\o(CB,\s\up15(→))＋eq\o(BD,\s\up15(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up15(→))＋eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up15(→))＝eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b.7．AD与BE分别为△ABC的边BC，AC上的中线，且eq\o(AD,\s\up15(→))＝a，eq\o(BE,\s\up15(→))＝b，则eq\o(BC,\s\up15(→))＝(B)A.eq\f(4,3)a＋eq\f(2,3)b B.eq\f(2,3)a＋eq\f(4,3)bC.eq\f(2,3)a－eq\f(2,3)b D．－eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b解析：设AD与BE的交点为F，则eq\o(AF,\s\up15(→))＝eq\f(2,3)a，eq\o(BF,\s\up15(→))＝eq\f(2,3)b，由eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(BF,\s\up15(→))＋eq\o(FA,\s\up15(→))＝0，得eq\o(AB,\s\up15(→))＝eq\f(2,3)(a－b)，所以eq\o(BC,\s\up15(→))＝2eq\o(BD,\s\up15(→))＝2(eq\o(AD,\s\up15(→))－eq\o(AB,\s\up15(→)))＝eq\f(2,3)a＋eq\f(4,3)b.8.如图，将45°直角三角板和30°直角三角板拼在一起，其中45°直角三角板的斜边与30°直角三角板的30°角所对的直角边重合，若eq\o(DB,\s\up15(→))＝xeq\o(DC,\s\up15(→))＋yeq\o(DA,\s\up15(→))，则x，y等于(B)A．x＝eq\r(3)，y＝1B．x＝1＋eq\r(3)，y＝eq\r(3)C．x＝2，y＝eq\r(3)D．x＝eq\r(3)，y＝1＋eq\r(3)解析：过B作BE⊥DC交DC的延长线于E，过点A作AF⊥BE于点F，由∠ACD＝45°，∠BCA＝90°，得∠BCE＝45°，则CE＝BE，设CE＝BE＝mCD(m>0)，则AF＝ED＝(m＋1)CD，BF＝BE－EF＝(m－1)CD，AB＝2AC＝2eq\r(2)CD，由AF2＋BF2＝AB2可得，[(m＋1)·CD]2＋[(m－1)CD]2＝(2eq\r(2)CD)2，解得m＝eq\r(3)，故eq\o(DB,\s\up15(→))＝(1＋eq\r(3))eq\o(DC,\s\up15(→))＋eq\r(3)eq\o(DA,\s\up15(→)).二、填空题(每小题5分，共15分)9．已知向量e1，e2不共线，实数x，y满意(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，则x－y＝3.解析：∵e1，e2不共线，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－4y＝6①，,2x－3y＝3②，))①－②得x－y＝3.10．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝eq\f(1,2)AB，BE＝eq\f(2,3)BC.若eq\o(DE,\s\up15(→))＝λ1eq\o(AB,\s\up15(→))＋λ2eq\o(AC,\s\up15(→))(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为eq\f(1,2).解析：本题考查平面对量基本定理应用．由已知eq\o(DE,\s\up15(→))＝eq\o(BE,\s\up15(→))－eq\o(BD,\s\up15(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up15(→))－eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up15(→))＝eq\f(2,3)(eq\o(AC,\s\up15(→))－eq\o(AB,\s\up15(→)))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up15(→))＝－eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up15(→))，∴λ1＝－eq\f(1,6)，λ2＝eq\f(2,3)，从而λ1＋λ2＝eq\f(1,2).11．如图，在△ABC中，已知D是AB边上的一点，若eq\o(AD,\s\up15(→))＝2eq\o(DB,\s\up15(→))，eq\o(CD,\s\up15(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up15(→))＋λeq\o(CB,\s\up15(→))，则λ＝eq\f(2,3).解析：eq\o(CD,\s\up15(→))＝eq\o(CA,\s\up15(→))＋eq\o(AD,\s\up15(→))＝eq\o(CA,\s\up15(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up15(→))＝eq\o(CA,\s\up15(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(CB,\s\up15(→))－eq\o(CA,\s\up15(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up15(→))＋eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up15(→))，故λ＝eq\f(2,3).三、解答题(共25分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)12．(12分)在梯形ABCD中，AB∥CD，M，N分别是DA，BC的中点，且eq\f(DC,AB)＝k(k≠1)．设eq\o(AD,\s\up15(→))＝e1，eq\o(AB,\s\up15(→))＝e2，选择基底{e1，e2}，试写出下列向量在此基底下的分解式：eq\o(DC,\s\up15(→))，eq\o(BC,\s\up15(→))，eq\o(MN,\s\up15(→)).解：如图，∵eq\o(AB,\s\up15(→))＝e2，且eq\f(DC,AB)＝k，∴eq\o(DC,\s\up15(→))＝keq\o(AB,\s\up15(→))＝ke2.又∵eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→))＋eq\o(CD,\s\up15(→))＋eq\o(DA,\s\up15(→))＝0，∴eq\o(BC,\s\up15(→))＝－eq\o(AB,\s\up15(→))－eq\o(CD,\s\up15(→))－eq\o(DA,\s\up15(→))＝－eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(DC,\s\up15(→))＋eq\o(AD,\s\up15(→))＝－e2＋ke2＋e1＝e1＋(k－1)e2.∵eq\o(MN,\s\up15(→))＋eq\o(NB,\s\up15(→))＋eq\o(BA,\s\up15(→))＋eq\o(AM,\s\up15(→))＝0，∴eq\o(MN,\s\up15(→))＝－eq\o(NB,\s\up15(→))－eq\o(BA,\s\up15(→))－eq\o(AM,\s\up15(→))＝eq\o(BN,\s\up15(→))＋eq\o(AB,\s\up15(→))－eq\o(AM,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up15(→))＋e2－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)[e1＋(k－1)e2]＋e2－eq\f(1,2)e1＝eq\f(k＋1,2)e2.13．(13分)在△ABC中，点P，Q，R分别为三边BC，CA，AB的中点，求证：eq\o(AP,\s\up15(→))＋eq\o(BQ,\s\up15(→))＋eq\o(CR,\s\up15(→))＝0.证明：证法一：如图所示，eq\o(AP,\s\up15(→))＝eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(BP,\s\up15(→))，eq\o(BQ,\s\up15(→))＝eq\o(BC,\s\up15(→))＋eq\o(CQ,\s\up15(→))，eq\o(CR,\s\up15(→))＝eq\o(CA,\s\up15(→))＋eq\o(AR,\s\up15(→)).又∵P，Q，R分别为BC，CA，AB的中点，∴eq\o(BP,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up15(→))，eq\o(CQ,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up15(→))，eq\o(AR,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up15(→)).∴eq\o(AP,\s\up15(→))＋eq\o(BQ,\s\up15(→))＋eq\o(CR,\s\up15(→))＝(eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→))＋eq\o(CA,\s\up15(→)))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up15(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up15(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up15(→))＝eq\f(3,2)(eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→))＋eq\o(CA,\s\up15(→)))＝0.证法二：eq\o(AP,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(AC,\s\up15(→)))，eq\o(BQ,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BA,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→)))，eq\o(CR,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(CA,\s\up15(→))＋eq\o(CB,\s\up15(→)))，∴eq\o(AP,\s\up15(→))＋eq\o(BQ,\s\up15(→))＋eq\o(CR,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(AC,\s\up15(→))＋eq\o(BA,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→))＋eq\o(CA,\s\up15(→))＋eq\o(CB,\s\up15(→)))＝0.证法三：把eq\o(BA,\s\up15(→))与eq\o(BC,\s\up15(→))视为一组基底，则eq\o(AP,\s\up15(→))＝eq\o(BP,\s\up15(→))－eq\o(BA,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up15(→))－eq\o(BA,\s\up15(→))，eq\o(BQ,\s\up15(→))＝eq\o(BA,\s\up15(→))＋eq\o(AQ,\s\up15(→))＝eq\o(BA,\s\up15(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up15(→))＝eq\o(BA,\s\up15(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(BC,\s\up15(→))－eq\o(BA,\s\up15(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(BA,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→)))，eq\o(CR,\s\up15(→))＝eq\o(BR,\s\up15(→))－eq\o(BC,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up15(→))－eq\o(BC,\s\up15(→))，∴eq\o(AP,\s\up15(→))＋eq\o(BQ,\s\up15(→))＋eq\o(CR,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up15(→))－eq\o(BA,\s\up15(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(BA,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→)))＋eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up15(→))－eq\o(BC,\s\up15(→))＝0.——实力提升类——14．(5分)在△ABC中，M为边BC上随意一点，N为AM的中点，eq\o(AN,\s\up15(→))＝λeq\o(AB,\s\up15(→))＋μeq\o(AC,\s\up15(→))，则λ＋μ的值为(A)A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4) D．1解析：∵M为边BC上随意一点，∴可设eq\o(AM,\s\up15(→))＝xeq\o(AB,\s\up15(→))＋yeq\o(AC,\s\up15(→))(x＋y＝1)．∵N为AM的中点，∴eq\o(AN,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AM,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)xeq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\f(1,2)yeq\o(AC,\s\up15(→))＝λeq\o(AB,\s\up15(→))＋μeq\o(AC,\s\up15(→)).∴λ＋μ＝eq\f(1,2)(x＋y)＝eq\