2024-2025学年高中数学第一章常用逻辑用语1.1.2四种命题1.1.3四种命题间的相互关系课时分层作业含解析新人教A版选修2-1

PAGE课时分层作业(二)四种命题四种命题间的相互关系(建议用时：60分钟)一、选择题1．命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是()A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数C[若命题为“若p，则q”，命题的逆否命题为“若q，则p”，所以原命题的逆否命题是“若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数”．故选C．]2．命题“已知a，b都是实数，若a＋b＞0，则a，b不全为0”A．0B．1C．2 D．3C[逆命题“已知a，b都是实数，若a，b不全为0，则a＋b＞0”为假命题，其否命题与逆命题等价，所以否命题为假命题．逆否命题“已知a，b都是实数，若a，b全为0，则a＋b≤0”3．下列推断中不正确的是()A．命题“若A∩B＝B，则A∪B＝A”的逆否命题为真命题B．“矩形的两条对角线相等”的否命题为假命题C．“已知a，b，m∈R，若am2<bm2，则a<b”的逆命题是真命题D．“若x∈N*，则(x－1)2>0”C[A中，逆否命题“若A∪B≠A，则A∩B≠B”是真命题，正确；B中，否命题“不是矩形的四边形的两条对角线不相等”是假命题，正确；C中，逆命题“已知a，b，m∈R，若a<b，则am2<bm2”是假命题，∴C错误；D中，∵x＝1时，(1－1)24．命题“若△ABC有一内角为eq\f(π,3)，则△ABC的三内角成等差数列”的逆命题()A．与原命题同为假命题B．与原命题的否命题同为假命题C．与原命题的逆否命题同为假命题D．与原命题同为真命题D[原命题明显为真，原命题的逆命题为“若△ABC的三内角成等差数列，则△ABC有一内角为eq\f(π,3)”，它是真命题．故选D．]5．某食品的广告词为“华蜜的人们都拥有”，这句话的等价命题是()A．不拥有的人们会华蜜B．华蜜的人们不都拥有C．拥有的人们不华蜜D．不拥有的人们不华蜜D[“华蜜的人们都拥有”我们可将其化为：假如人是华蜜的，则这个人拥有某种食品，它的逆否命题为：假如这个人没有拥有某种食品，则这个人是不华蜜的，即“不拥有的人们就不华蜜”，故选D．]二、填空题6．命题“若x2<4，则－2<x<2”若x≤－2或x≥2，则x2≥4[命题“若x2<4，则－2<x<2的逆否命题为“若x≤－2，或x≥2，则x2≥4”．7．已知命题“若m－1<x<m＋1，则1<x<2”的逆命题为真命题，则m[1,2][逆命题为“若1<x<2，则m－1<x<m＋1”则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－1≤1，,m＋1≥2，))解得1≤m≤2．]8．下列命题：①“等边三角形三内角都为60°”的逆命题；②“若k>0，则x2＋2x－k＝0有实根”的逆否命题；③“全等三角形的面积相等”的否命题；④“若ab≠0，则a≠0”其中真命题的序号为________．①②[①逆命题“三内角都为60°的三角形为等边三角形”，真命题；②逆否命题“若x2＋2x－k＝0没有实根，则k≤0”，令Δ＝4＋4k<0，得k<－1，满意k≤0，∴是真命题；③否命题“不全等的三角形的面积不相等”，是假命题；④否命题“若ab＝0，则a＝0”是假命题，故只有三、解答题9．写出命题“若直线l的斜率为－1，则直线l在两坐标轴上的截距相等”的逆命题、否命题与逆否命题，并推断这三个命题的真假．[解]逆命题：若直线l在两坐标轴上的截距相等，则直线l的斜率为－1．明显该命题是假命题．否命题：若直线l的斜率不为－1，则直线l在两坐标轴上的截距不相等．明显该命题是假命题．逆否命题：若直线l在两坐标轴上的截距不相等，则直线l的斜率不为－1．明显原命题为真命题，故其逆否命题也是真命题．10．证明：若a2－b2＋2a－4b－3≠0，则a－b≠[证明]若a－b＝1，则a2－b2＋2a－4b－3＝(a＋b)(a－b)＋2(a－b)－2b－3＝(a－b∴依据逆否命题的等价性可知：若a2－b2＋2a－4b－3≠0，则a－b≠1．对于原命题“单调函数不是周期函数”，下列陈述正确的是()A．逆命题为“周期函数不是单调函数”B．否命题为“单调函数是周期函数”C．逆否命题为“周期函数是单调函数”D．以上三者都不正确D[原命题的逆命题是“非周期函数是单调函数”，故A不正确；原命题的否命题是“非单调函数是周期函数”，故B不正确；原命题的逆否命题是“周期函数不是单调函数”，故C不正确．]2．若命题“若x<m－1或x>m＋1，则x2－2x－3>0”的逆命题为真、逆否命题为假，则实数mA．(－1,2) B．(0,2]C．[－1,1) D．[0,2]D[由已知，易得{x|x2－2x－3>0}{x|x<m－1或x>m＋1}．又{x|x2－2x－3>0}＝{x|x<－1或x>3}，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1≤m－1，,m＋1<3))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1<m－1，,m＋1≤3，))∴0≤m≤2．]3．已知原命题“菱形的对角线相互垂直”，则它的逆命题、否命题和逆否命题中，真命题的个数为________．1[易推断原命题为真命题，故其逆否命题也是真命题．逆命题：若一个四边形对角线相互垂直，则该四边形为菱形，为假命题．故原命题的否命题也是假命题．]4．下列四个命题：①一个命题的逆命题为真，则它的否命题肯定为真；②等差数列{an}中，a1＝2，a1，a3，a4成等比数列，则公差为－eq\f(1,2)；③已知a>0，b>0，a＋b＝1，则eq\f(2,a)＋eq\f(3,b)的最小值为5＋2eq\r(6)；④在△ABC中，若sin2A<sin2B＋sin2C，则△其中正确命题的序号是________．(把你认为正确命题的序号都填上)①③[①一个命题的逆命题与其否命题为等价命题，故正确；②等差数列{an}中，a1＝2，a1，a3，a4成等比数列，则公差为－eq\f(1,2)或0，故错误；③已知a>0，b>0，a＋b＝1，则eq\f(2,a)＋eq\f(3,b)＝eq\f(2a＋b,a)＋eq\f(3a＋b,b)＝5＋eq\f(2b,a)＋eq\f(3a,b)≥5＋2eq\r(6)，故正确；④在△ABC中，若sin2A<sin2B＋sin2C，可推出a2<b2＋c2，A为锐角，但不能得出是锐角三角形，故错误．故答案为①③．]5．求证：若a2＋2ab＋b2＋2a＋2b－3≠0，则a＋