2024-2025学年高中数学第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.2空间向量的数乘运算学案含解析新人教A版选修2-1

PAGE8-3.1.2空间向量的数乘运算[目标]1.驾驭空间向量的数乘运算的定义和运算律，了解共线(平行)向量的意义.2.理解共线向量定理和共面对量定理及其推论，会证明空间三点共线与四点共面问题．[重点]应用共线定理与共面定理解决共线问题与共面问题．[难点]证明线面平行与面面平行．学问点一空间向量的数乘运算[填一填][答一答]1．空间向量的数乘运算与平面对量的数乘运算有什么关系？提示：相同．2．类比平面对量，空间向量的数乘运算满意(λ＋μ)a＝λa＋μa(λ，μ∈R)，对吗？提示：正确．类比平面对量的运算律可知．学问点二共线、共面定理[填一填][答一答]3．a＝λb是向量a与b共线的充要条件吗？提示：不是．由a＝λb可得出a，b共线，而由a，b共线不肯定能得出a＝λb，如当b＝0，a≠0时．4．空间中随意两个向量肯定共面吗？随意三个向量呢？提示：空间随意两个向量肯定共面，但空间随意三个向量不肯定共面．5．共面对量定理中为什么要求a，b不共线？提示：假如a，b共线，则p肯定与向量a，b共面，却不肯定存在实数组(x，y)，使p＝xa＋yb，所以共面对量基本定理的充要条件要去掉a，b共线的状况．6．已知空间随意一点O和不共线的三点A，B，C，满意向量关系式eq\o(OP,\s\up16(→))＝xeq\o(OA,\s\up16(→))＋yeq\o(OB,\s\up16(→))＋zeq\o(OC,\s\up16(→))(其中x＋y＋z＝1)的点P与点A，B，C是否共面？提示：四点共面．∵x＋y＋z＝1，∴x＝1－y－z，又∵eq\o(OP,\s\up16(→))＝xeq\o(OA,\s\up16(→))＋yeq\o(OB,\s\up16(→))＋zeq\o(OC,\s\up16(→))∴eq\o(OP,\s\up16(→))＝(1－y－z)eq\o(OA,\s\up16(→))＋yeq\o(OB,\s\up16(→))＋zeq\o(OC,\s\up16(→))∴eq\o(OP,\s\up16(→))－eq\o(OA,\s\up16(→))＝y(eq\o(OB,\s\up16(→))－eq\o(OA,\s\up16(→)))＋z(eq\o(OC,\s\up16(→))－eq\o(OA,\s\up16(→)))∴eq\o(AP,\s\up16(→))＝yeq\o(AB,\s\up16(→))＋zeq\o(AC,\s\up16(→))，∴点P与点A，B，C共面．1．共线向量、共面对量不具有传递性．2．共线向量定理及其推论是证明共线(平行)问题的重要依据．定理中的条件a≠0不行遗漏．3．直线的方向向量是指与直线平行或共线的向量．一条直线的方向向量有无限多个，它们的方向相同或相反．4．空间随意两个向量总是共面的，空间随意三个向量可能共面，也可能不共面．5．向量p与a，b共面的充要条件是在a与b不共线的前提下才成立的，若a与b共线，则不成立．类型一空间向量的数乘运算【例1】设O为▱ABCD所在平面外随意一点，E为OC的中点，试用向量eq\o(OA,\s\up16(→))，eq\o(OB,\s\up16(→))，eq\o(OD,\s\up16(→))表示eq\o(AE,\s\up16(→)).【分析】将向量eq\o(AE,\s\up16(→))分解成eq\o(OA,\s\up16(→))，eq\o(OB,\s\up16(→))，eq\o(OD,\s\up16(→))的线性组合的形式．【解】由题意，可以作出如下图所示的几何图形．在封闭图形ADOE中，有：eq\o(AE,\s\up16(→))＝eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\o(DO,\s\up16(→))＋eq\o(OE,\s\up16(→))，①在△AOD中，eq\o(AD,\s\up16(→))＝eq\o(OD,\s\up16(→))－eq\o(OA,\s\up16(→)).②在△BOC中，eq\o(OC,\s\up16(→))＝eq\o(BC,\s\up16(→))－eq\o(BO,\s\up16(→))，∵eq\o(AD,\s\up16(→))＝eq\o(BC,\s\up16(→))，∴eq\o(OC,\s\up16(→))＝eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\o(OB,\s\up16(→))＝eq\o(OD,\s\up16(→))－eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(OB,\s\up16(→)).又∵eq\o(OE,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up16(→))，∴eq\o(OE,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OD,\s\up16(→))－eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(OB,\s\up16(→)))＝－eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OD,\s\up16(→)).③又eq\o(DO,\s\up16(→))＝－eq\o(OD,\s\up16(→))，④将②、③、④代入①可得：eq\o(AE,\s\up16(→))＝(eq\o(OD,\s\up16(→))－eq\o(OA,\s\up16(→)))－eq\o(OD,\s\up16(→))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)\o(OA,\s\up16(→))＋\f(1,2)\o(OB,\s\up16(→))＋\f(1,2)\o(OD,\s\up16(→))))＝－eq\f(3,2)eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OD,\s\up16(→))，∴eq\o(AE,\s\up16(→))＝－eq\f(3,2)eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OD,\s\up16(→)).找寻到以欲表示的向量所对应的线段为其一边的一个封闭图形，利用这一图形中欲求向量与已知向量所在线段的联系进行相应的向量运算是处理此类问题的基本技巧，一般地，可以找到的封闭图形不是唯一的.但需知，无论哪一种途径，结果应是唯一的.如下图所示，在平行六面体ABCD­A′B′C′D′中，设eq\o(AB,\s\up16(→))＝a，eq\o(AD,\s\up16(→))＝b,eq\o(AA′,\s\up16(→))＝c，E和F分别是AD′和BD的中点，用向量a，b，c表示eq\o(D′B,\s\up16(→))，eq\o(EF,\s\up16(→)).解：eq\o(D′B,\s\up16(→))＝eq\o(D′A′,\s\up16(→))＋eq\o(A′B′,\s\up16(→))＋eq\o(B′B,\s\up16(→))＝－b＋a－c.eq\o(EF,\s\up16(→))＝eq\o(EA,\s\up16(→))＋eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BF,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)eq\o(D′A,\s\up16(→))＋a＋eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)(－b－c)＋a＋eq\f(1,2)(－a＋b)＝eq\f(1,2)(a－c)．类型二空间向量的共线问题【例2】如图所示，已知四边形ABCD，ABEF都是平行四边形且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，推断eq\o(CE,\s\up16(→))与eq\o(MN,\s\up16(→))是否共线．【解】因为M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD，四边形ABEF都是平行四边形，所以eq\o(MN,\s\up16(→))＝eq\o(MA,\s\up16(→))＋eq\o(AF,\s\up16(→))＋eq\o(FN,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up16(→))＋eq\o(AF,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)eq\o(FB,\s\up16(→)).又因为eq\o(MN,\s\up16(→))＝eq\o(MC,\s\up16(→))＋eq\o(CE,\s\up16(→))＋eq\o(EB,\s\up16(→))＋eq\o(BN,\s\up16(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up16(→))＋eq\o(CE,\s\up16(→))－eq\o(AF,\s\up16(→))－eq\f(1,2)eq\o(FB,\s\up16(→))，以上两式相加得eq\o(CE,\s\up16(→))＝2eq\o(MN,\s\up16(→))，所以eq\o(CE,\s\up16(→))∥eq\o(MN,\s\up16(→))，即eq\o(CE,\s\up16(→))与eq\o(MN,\s\up16(→))共线．推断向量共线就是充分利用已知条件找到实数λ，使a＝λb成立，同时要充分运用空间向量的运算法则，结合空间图形，化简得出a＝λb，从而得出a∥b.如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E在A1D1上，且eq\o(A1E,\s\up16(→))＝2eq\o(ED1,\s\up16(→))，F在对角线A1C上，且eq\o(A1F,\s\up16(→))＝eq\f(2,3)eq\o(FC,\s\up16(→)).求证：E，F，B三点共线．证明：设eq\o(AB,\s\up16(→))＝a，eq\o(AD,\s\up16(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up16(→))＝c.∵eq\o(A1E,\s\up16(→))＝2eq\o(ED1,\s\up16(→))，eq\o(A1F,\s\up16(→))＝eq\f(2,3)eq\o(FC,\s\up16(→))，∴eq\o(A1E,\s\up16(→))＝eq\f(2,3)eq\o(A1D1,\s\up16(→))，eq\o(A1F,\s\up16(→))＝eq\f(2,5)eq\o(A1C,\s\up16(→)).∴eq\o(A1E,\s\up16(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up16(→))＝eq\f(2,3)b，eq\o(A1F,\s\up16(→))＝eq\f(2,5)(eq\o(AC,\s\up16(→))－eq\o(AA1,\s\up16(→)))＝eq\f(2,5)(eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AD,\s\up16(→))－eq\o(AA1,\s\up16(→)))＝eq\f(2,5)a＋eq\f(2,5)b－eq\f(2,5)c.∴eq\o(EF,\s\up16(→))＝eq\o(A1F,\s\up16(→))－eq\o(A1E,\s\up16(→))＝eq\f(2,5)a－eq\f(4,15)b－eq\f(2,5)c＝eq\f(2,5)(a－eq\f(2,3)b－c)．又eq\o(EB,\s\up16(→))＝eq\o(EA1,\s\up16(→))＋eq\o(A1A,\s\up16(→))＋eq\o(AB,\s\up16(→))＝－eq\f(2,3)b－c＋a＝a－eq\f(2,3)b－c，∴eq\o(EF,\s\up16(→))＝eq\f(2,5)eq\o(EB,\s\up16(→))，所以E，F，B三点共线．类型三空间向量的共面问题【例3】已知A，B，C三点不共线，平面ABC外一点M满意eq\o(OM,\s\up16(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up16(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up16(→)).(1)推断eq\o(MA,\s\up16(→))，eq\o(MB,\s\up16(→))，eq\o(MC,\s\up16(→))三个向量是否共面；(2)推断M是否在平面ABC内．【解】(1)∵eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(OB,\s\up16(→))＋eq\o(OC,\s\up16(→))＝3eq\o(OM,\s\up16(→))，∴eq\o(OA,\s\up16(→))－eq\o(OM,\s\up16(→))＝(eq\o(OM,\s\up16(→))－eq\o(OB,\s\up16(→)))＋(eq\o(OM,\s\up16(→))－eq\o(OC,\s\up16(→)))＝eq\o(BM,\s\up16(→))＋eq\o(CM,\s\up16(→))，∴eq\o(MA,\s\up16(→))＝eq\o(BM,\s\up16(→))＋eq\o(CM,\s\up16(→))＝－eq\o(MB,\s\up16(→))－eq\o(MC,\s\up16(→))，∴向量eq\o(MA,\s\up16(→))，eq\o(MB,\s\up16(→))，eq\o(MC,\s\up16(→))共面．(2)由(1)知向量eq\o(MA,\s\up16(→))，eq\o(MB,\s\up16(→))，eq\o(MC,\s\up16(→))共面，而它们有共同的起点M，且A，B，C三点不共线，∴M，A，B，C共面，即M在平面ABC内．1证明向量共面，可以利用共面对量的充要条件，也可干脆利用定义，通过线面平行或直线在平面内进行证明.2向量共面对量所在的直线不肯定共面，只有这些向量都过同一点时向量所在的直线才共面向量的起点、终点共面.已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，求证：(1)E，F，G，H四点共面．(2)BD∥平面EFGH.证明：如下图，连接EG，BG.(1)因为eq\o(EG,\s\up16(→))＝eq\o(EB,\s\up16(→))＋eq\o(BG,\s\up16(→))＝eq\o(EB,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(BD,\s\up16(→)))＝eq\o(EB,\s\up16(→))＋eq\o(BF,\s\up16(→))＋eq\o(EH,\s\up16(→))＝eq\o(EF,\s\up16(→))＋eq\o(EH,\s\up16(→))，由向量共面的充要条件知：E，F，G，H四点共面．(2)因为eq\o(EH,\s\up16(→))＝eq\o(AH,\s\up16(→))－eq\o(AE,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up16(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up16(→))，所以EH∥BD.又EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH，所以BD∥平面EFGH.1．下列命题中正确的是(C)A．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线B．向量a，b，c共面，即它们所在的直线共面C．零向量没有确定的方向D．若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb解析：A中，若b＝0，则a与c不肯定共线；B中，共面对量的定义是平行于同一平面的向量，表示这些向量的有向线段所在的直线不肯定共面；D中，若b＝0，a≠0，则不存在λ.2．当|a|＝|b|≠0，且a、b不共线时，a＋b与a－b的关系是(A)A．共面 B．不共面C．共线 D．无法确定解析：a＋b与a－b不共线，则它们共面．3．设O­ABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3GG1，若eq\o(OG,\s\up16(→))＝xeq\o(OA,\s\up16(→))＋yeq\o(OB,\s\up16(→))＋zeq\o(OC,\s\up16(→))，则(x，y，z)为(A)A．(eq\f(1,4)，eq\f(1,4)，eq\f(1,4)) B．(eq\f(3,4)，eq\f(3,4)，eq\f(3,4))C．(eq\f(1,3)，eq\f(1,3)，eq\f(1,3)) D．(eq\f(2,3)，eq\f(2,3)，eq\f(2,3))解析：因为eq\o(OG,\s\up16(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OG1,\s\up16(→))＝eq\f(3,4)(eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(AG1,\s\up16(→)))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\f(3,4)×eq\f(2,3)[eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AC,\s\up16(→)))]＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\f(1,4)[(eq\o(OB,\s\up16(→))－eq\o(OA,\s\up16(→)))＋(eq\o(OC,\s\up16(→))－eq\o(OA,\s\up16(→)))]＝eq\f(1,4)eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\f(1,4)eq\o(OB,\s\up16(→))＋eq\f(1,4)eq\o(OC,\s\up16(→))，而eq\o(OG,\s\up16(→))＝xeq\o(OA,\s\up16(→))＋yeq\o(OB,\s\up16(