导数及其应用 章末总结-高考数学备考复习重点资料归

第五章导数及其应用

章末总结

【要点归纳】

一、导数的定义

函数y=«x)在点沏处的导数可以有不同的等价表示形式，如八必)=lim黑一曲)

Ax—>0

..yu)-yuo)yu()+〃)—7Uo)凡布)-/(必一份依什口皿口/口b公&日1fl"女五月

=hm__—hm------1=hm1等，其关键是保证自变里的改变里

X-».<0X3A—»0h—»Q

和函数值的改变量的一致性.

二、导数的几何意义

曲线)，=於)在点(如启。))处的切线斜率等于了(沏)，其切线方程为y—"o)=/(的)。一网).

三、导数的运算

1.导数的四则运算法则

导数的四则运算法则主要指和、差、积、商的导数计算法则，即和的导数：(〃+h=/

+H差的导数：(〃一甘丫=/一/,积的导数：(〃»=〃，+〃匕商的导数：(3，=〃1/"(皿).

2.常用函数的导数

除掌握好导数的四则运算法则外还需要牢记一些常用函数的导数，以提高解题效率.常

见的有以下8个：(11=0(。为常数)，(2)(dy=nVC(〃£Q”)，(3)(sinx)r=cosx,(4)(cosx)f

=—sinx,(5)(lnx),=p(6)(log^),=^-^,(7)(ey=er,

3.复合函数的求导法则

设复合函数4=g。)在点x处可导，在点〃处可导，则复合函数;［以初在点x处可

导，且/(x)=/Q>g'a)，即q=丫/":.利用复合函数求导法则求导后，要把中间变量换成自

变量.

四、导数的应用

1.导数与函数的单调性

(1)在某个区间3,6)内，如果/。)>0,那么函数y=/(x)在这个区间内单调递增；如果

Z(x)<0,那么函数y=/U)在这个区间内单调递减.

(2)利用导数研究函数的单调区间是导数的主要应用之一，其步骤为：

①求导数/(%);

②解不等式/㈤乂)或/(幻<0；

③确定并指出函数的单调增区间、减区间.

特别要注意写单调区间时，区间之间用“和”或“，”隔开，绝对不能用“U”连接.

2.导数与函数的极值和最值

函数的极值反映的是函数在某一点附近的局部性，而不是函数在整个定义域内的性质；

函数的最值是个整体性概念，最大值必是整个区间上所有函数值中的最大值，最小值必是整

个区间上的所有函数值中的最小值.

(1)应用导数求函数极值的一般步骤：

①确定函数/(x)的定义域；

②解方程/(%)=0的根：

③检验/a)=o的根的两侧/(X)的符号.

若左正右负，则久T)在此根处取得极大值；

若左负右正，则氏0在此根处取得极小值；

否则，此根不是«r)的极值点.

(2)求函数凡r)在闭区间|小加上的最大值、最小值的方法与步骤：

①求40在3,与内的极值；

②将①求得的极值与I/(〃)，犬与相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为

最小值.

特别地，①当及)在［小加上单调时，其最小值、最大值在区间端点取得；②当外)在(小

与内只有一个极值点时，若在这一点处yu)有极大(或极小)值，则可以断定yu)在该点处取得

最大(或最小)值，这里(a,b)也可以是(一8,+oo).

五、常见函数构造模型

1.对于矿(x)+/(x)>0(<0),构造g(x)=x・/(x),

2.对于矿(x)+43+0(<0),构造g(x)=x*•/(%)

3.对于x"'(x)—f(x)>0(<0),构造g(x)=&l,

X

4.对于X•7'(%)-好'(x)>0(<0),构造8(%)二绰

x

5.对于人劝+/(%)>0(<0),构造g(x)=/•/(1),

6.对于f'(x)+©(%)>0(<0),构造g(x)=*f(x)

7.对于广。)一/(冗)>0(<0),构造8(幻=华，

e

8.对于f'(X)—妙。)>0«0),构造g(x)=^

e

9.对于sin%•7'(%)+8SX・/(%)>0(<0),构造g(x)=/(犬)sinx,

10.对于sinx・7'(x)—cosx,/(x)>0(<0),构造g(%)='^^

sinx

11.cosx-f\x)-sinx-f(x)>0(<0),构造g(x)=/(x)・cosx,

12.对于以)§戈・/'(工)+5也无/(幻>0(<0),构造g(x)=

cosx

13.对于八幻一/*)>4(<()),构造g(x)=e'"(x)-灯

14.对于/'(%)Inx+"')>0(<0),构造g(x)=In]•/'(%)

x

15.7'(x)+c="(%)+cr]'；r(x)+g'(x)="(x)+g(x)]'；

f'(x)-g,(x)=[f(x)-g(x)]^

16.ra)g(x)+/a)，(x)="(x)g(x)r；-、(幻二((*？'(幻=[尊了.

g(X)g(x)

17.二种基本模式

三种同构方式

①积型：a^<b\nb---------------------►

'同左：aei<(In力)elnh…JG)=xe\

-同右：efllne<b\nb…./(x)=x\nx,

、取对：a+lno<ln/?+ln(Inb)......./(x)=x+lnx,

a三种同构方式

②商型：*含----------------

(*pinbPx

同左:£<前……/⑴=7*

<同右:合含…=急

、取对：a—Ina<ln/>—In(Inb)......f(x)=x—Inx,

两种同构方式

③和差型：e±a>b±\nb---------------------->

J同左：ea±a>e]nb±\nb......f(x)=ex±x,

[同右:efl±Inert>/?±lnb....../(x)=x±lnx.

【考点整合】

【考点一】导数的几何意义

(典型例题1】(2022•河南省洛阳三模)若过点P(l,r)可作出曲线y=/的三条切线,

则实数/的取值范围是()

A.(TO/)B.(0,-HC)C.(0,1)D.{0,1}

【解析】由已知,曲线y=d即令则r(x)=3f,

2

设切点为(%,/3),切线方程的斜率为/\^)=3X0,

32

所以切线方程为：y-x0=3x0(x-x0),将点尸(1,，)代入方程得：

t~XQ=3x(J(1—X。)，整理得t=3须J—2/3,

设函数g(X)=3f—2d,过点尸(1/)可作出曲线y=13的三条切线，

可知两个函数图像y=，与g(x)=3%2-2V有三个不同的交点，

又因为g'(x)=6x-6f,由g<x)=O,可得x=0或x=l,

所以函数g(x)在(-8,0),(1,+0。)上单调递减，在(0,1)上单调递增，

所以函数g(x)的极大值为g(l)=3—2=1,函数g(x)的极小值为g(0)=0—0=0,

如图所示，当Z£(0,1)时，两个函数图像有三个不同的交点.故选：C.

【答案】C

【考点二】利用导数研究函数的单调性

【典型例题2】(2022•山东省临沂三模)已知函数/(力=乌后，其图象在x=e处

的切线过点(2e,2e?).

(1)求。的值；

(2)讨论〃力的单调性；

/JY~—1

【解析】(1)因为函数f(x\=——，

Inx

2ax\nx-^ax2-1)—

所以/⑻二优2—1,/'(x)=,则r(e)=ae+—,

(,nx)2e

所以函在x=e处的切线方程为丁一(四2=,

又因为切线过点(2e,2e2),所以2e?—l)=，e+1](2e-e),

即2zze2=2e2,解得a=l；

、x2-12x2lnx-x2+1

(2)由(1)知；/(x)=--,则nl/'(x)x=---------；—

Inxx(lnx)-

令g(x)=2f|nx-f+i,则g[x)=4xlnx,

当Ovx<l时，g'(x)<0,当x>l时，g'(x)>0,

所以g(x)>g⑴=0

即当0cxvl时，/'(冗)>0，当x>l时，/'(x)>0,

所以“X)在(0,1)上递增，在(1,+0。)上递增；

【考点三】利用导数研究函数的极值和最值

【典型例题3】(2022•河南省郑州高三阶段练)已知函数/(^)=-7—.

(1)若。=0,求曲线y=/(力在点处的切线方程；

(2)若/(力在%二一1处取得极值，求/(力的单调区间及其最大值与最小值.

【解析】⑴当a=0时，/(月=宁定义域为(一8.0)J(0.+8),41)=0,

r(力「丁)"号,/⑴=7,故y=/(x)在点处的切线

XX

方程为：y-0=-(x-l),即x-y—l=0；

⑵由题意得：r(—i)=。,,故

(厂+〃)(厂+〃)

1+2-41=0,此时4=3,经检验，符合要求，

r?—2T—3

r(x)=-------令/•'(x)nO时，％=3,凡=-1,令/'(x)>0得：XV-1或

卜2+37

x>3,令r（x）<0得：-l<x<3,/（力的单调递增区间为（-00,-1）,（3,+00）,

单调递减区间为（—1,3）；又当xv—l时，/（刈=与=>0恒成立，当x>3时，

xI3

1_V11

〃力=7有<°恒成立‘故〃力-=〃3）=-1〃"3=〃-1）=5'即最大值

为最小值为一1.

26

【答案】（l）x+y-l=0；（2）/（力的单调递增区间为（一8,—1）,（3,-w）,单调递

减区间为（一1,3）；最大值为g,最小值为

【考点四】利用导数证明不等式

（典型例题4]（2022•黑龙江省哈三中第五次验收）己知函数f（x）=er.

(1)若关于x的不等式/(x)>a(sinx+cosx)在—-上恒成立，求实数〃的取值

144

范围；

5乃

(2)当x>----时，证明：/(x)>sinx+cosx.

4

【解析】(1)当xe(-2，生时，sinx+cosx>0,

144；

r

e

则f(x)>〃(sinx+cosx)可化为〃V-----------，

sinx+cosx

设h(x)=----------,则

sinx+cosx

_e'(sinx+cosx)-e*(cosx-sinx)2exsinx

)—z•、)

(sinx+cosx)(sinx+cosX)

‘乃、之减，在卜，引上单调递减，则

因此h(x)在--,0上单调H

I4J

e0

r)mi出n=〃'(0')=--•--------c=1，

sin0+cos0

所以a«l；

(2)证明：4,^(%)=er-sinA-COSX^X>--,则g(x)=e*-&sin(x+工，

4)\4；

,s1(\

所以①当xw时，血sinx+—<0,此时g(x)之0；

I44」I4J

②当xc-2，包]时，由⑴可知：当。=1时，/(x)>sinx+cosx,即g(x)之0

144；

③当,,+co时，^(x)=ex-V2sin^x+^>e'->/2>0,

综上所述：当尢>一旦时，/(x)>sinx+cosx.

4

【答案】(1)«<1.(2)证明见解析.

【考点五】利用导数解决恒成立问题

【典型例题5](2022•云南省师范大学附属中学高三第七次月考)已知函数

/(x)=(x-l)ev-ar.

⑴当4=0时，求f(X)的极值；

3

⑵若对\/工£1(),+8),恒成立，求4的取值范围.

【解析】(1)当4=0时，/(x)=(x-l)e\f(x)=xex.

当xvO时，r(x)<0：当上>()时，f(x)>0.

所以/(幻有极小值/(0)=-1，无极大值.

⑵由题得/'(幻=胧"一。，xe[0,+oo).

①当时，xer>0,-a>0,故f'(x)NO,f(x)在[0,+0。)上单调递增.

32

所以/U)min=/(O)=-1>--a,解得。之4(舍去).

②当。>0时，/'(0)=-〃<0,/'(〃)=o(e“-1)>0,

令g(x)=/'(x)=^"-。,则g'(x)=(x+l)e'>0,所以/(k)在[0,+oo)上单调递

增，

故f'(x)在[0,+8)上有唯一零点七£(0,〃)，且〃=%e".

当xe[O,/)，/'(x)<0,f(x)单调递减；

当xe(%,+8),/f(x)>0,7*)单调递增.

所以,(了)01加=/(/)=(/_1把与_也=(/_1)巴一孰=4[—%------之一彳〃，

跖I“2

131

即1—/----->――.解得3«工0«2.

/22

又因为4=在I，2上单调递增，所以当工〃421.

综上，。的取值范围为—,2e2.

2

【答案】⑴极小值/（0）=-1,无极大值（2）与2e2

【考点六】利用导数研究方程的根或函数的零点问题

【典型例题6】（2022•陕西省西安中学高三三模）已知函数/（x）=e>—or+sinx—L

（I）当。=2时，求函数f（x）的单调区间；

（H）当1工。<2时，证明：函数"力有2个零点.

【解析】（1）当。=2时，/（冗）=©"—21+§E%—1,则/'（x）=eX-2+cosx,可

得F"（x）=e"—sinx.

当X£（0,+oo）时，e*>l,/"（x）>l-sinxN0,/'（X）在（0,+向单调递增，

（X）>r（0）=o,/（X）花（。,+8）单调递增.

当xw（-oo,0］时，可得e"l,=e*-2+cosx«-l+cosx«0，「./（X）在

（-oo,01单调递减；

综上，/（x）在（YO,0］单调澧减，在（0,+/）单调递增.

（II）当x=0时，/（0）=e°-0-l+sin0=0，."=0是的一个零点，

由/f（x）=ex-a+cosx,可得了"（x）=eX-sinx.

因为1Wa<2,

①当xs（0,+oo）时，e*>l,/./"（x）>l-sinxN0,在（0,+8）单调递增,

.•J"）在（0,+8）单调递增，.■J（x）>/（0）=0,此时/（力在（0,+8）无零点.

②当工£（-00,一万］时，—axN兀，有/（x）=e*一依+sinx-lNe*+4+sinx-l>0,

此时/（X）在（-8,一句无零点.

③当工£（一4,0）时，sinx<0,7"（x）=e*-sinx>0，在（一