高一数学必修5第一章解三角形111《正弦定理》

第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理本节主要学习正弦定理及用正弦定理解三角形。以嫦娥奔月的故事和如何测量恒星之间的距离引入新课。教学过程以学生探究为主，利用直角三角形中的正弦定理探究锐角三角形和钝角三角形中的正弦定理，引导学生借助三角形的外接圆和三角形的面积两种方法证明正弦定理，使学生能够灵活应用所学知识，加深对定理的理解。针对定理所解决的两类问题给出2个例题和变式，通过解决问题引出三角形的解的不同情况，强调正确应用定理的重要性。教学过程例题与变式结合，通过例1和变式1巩固掌握已知两角和任意边，求其他两边和一角的解三角形问题。通过例2和变式巩固掌握已知两边和其中一边的对角,求其他边和角的解三角形问题。通过思考已知两边和其中一边的对角,求其他边和角时,三角形解的情况，加深对正弦定理的理解。问题1：在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事.明月高悬,我们仰望夜空,会有无限遐想,不禁会问,月亮离我们地球有多远呢?科学家们是怎样测出来的呢？我们应该如何测的恒星之间的距离呢？/edu/ppt/ppt_playVideo.action?mediaVo.resId=53fda464083a1dccccc9559d如何测的恒星之间的距离回忆一下直角三角形的边角关系?

ABCcba两等式间有联系吗？思考:对一般的三角形,这个结论还能成立吗?(1)当是锐角三角形时,结论是否还成立呢?D如图:作AB上的高是CD,根椐三角形的定义,得到BACabcE(2)当是钝角三角形时,结论是否还成立呢?有兴趣的同学可以课后证明一下。在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即定理解析：正弦定理:1、对边、对角2、A+B+C=π3、大角对大边，大边对大角4、R为三角形外接圆的半径BACabc解三角形:一般地，把三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他几个元素的过程叫做解三角形.说明：

根据初中学习的三角形全等，我们知道确定一个三角需要三个条件，所以在利用正弦定理时要求已知两边和其中一边的对角或者两角和一边，才可以进一步确定三角形其它的边和角.正弦定理的应用举例一、已知两个角和一边变式训练一二、已知两个边和其中一边的一个对角变式训练二已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，先判断三角形是否有解？有解的作出解答．(1)a＝7，b＝8，∠A＝105°；(2)a＝10，b＝20，∠A＝80°；(3)b＝10，c＝5，∠C＝60°；(4)a＝2，b＝6，∠A＝30°.注意：在例题当中我们会发现存在两解的情况，那么这4个变式题会不会存在两解甚至别的情况呢？提示：（1）大边对大角，小边对小角；（2）三角形内角和为180°.【解析】(1)∵a＝7，b＝8，

∴

a＜b，又∵∠A＝105°＞∠B=90°，

∴本题无解．验证大边对大角，小边对小角任何角度的正弦值在[-1,1]间，而三角形中的角度在(0°,180°)间，所以三角形内角的正弦在（0,1](3)b＝10，c＝5，b＜c，C＝60°＜90°，∴=45°或135°又当=135°时+C=195°>180°故舍去.∴=45，

=75°+1)注意：本题验证了三角形内角和舍去了一解。一个角的正弦值在（0,1）时，三角的的内角是在（0°，180°），这是对应这个正弦值的角度一定有2个，但是这2个是否都符合条件却有待验证。注意：与上题不一样，这题的两解都是有效解。为什么呢？根据上面的例题和变式训练，同学一起来讨论一下什么时候有一解？什么时候有两解？什么时候无解？甚至会不会有其他情况？画三角形使得a＝14，b＝16，∠A＝45°，你能画出几个？【提示】作45°角为∠A，在∠A的一边上取一点C，使AC＝16，以点C为圆心，以