2025年北师大版高二数学上册月考试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年北师大版高二数学上册月考试卷618考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共5题，共10分)1、已知回归直线的斜率的估计值是1.23，样本点的中心为则回归直线方程是（）A.B.C.D.2、【题文】如图所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量()A.B.C.D.3、【题文】设是等差数列的前项和，若则（）A.1B.－1C.2D.4、一只蚂蚁从正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点C1位置；则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是（）

A.①②B.①③C.③④D.②④5、“λ＜1”是“数列{n2-2λn}（n∈N*）为递增数列”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件评卷人得分二、填空题(共6题，共12分)6、由命题p：“矩形有外接圆”，q：“矩形有内切圆”组成的复合命题“p或q”“p且q”“非p”形式的命题中真命题是__________．7、若在曲线f（x；y）=0上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f（x，y）=0的“自公切线”．下列方程：

①x2-y2=1；

②y=x2-|x|；

③y=3sinx+4cosx；

④

对应的曲线中存在“自公切线”的有____．8、过抛物线的焦点的一直线交抛物线于两点，若线段的长为则线段的长为____.9、【题文】设函数其中。

（）为已知实常数，

下列所有正确命题的序号是____．

①若则对任意实数恒成立；

②若则函数为奇函数；

③若则函数为偶函数；

④当时，若则10、函y=ex与函数y=+mx+1的图象三个不同交点，实数m的围为______．11、请从正方体ABCD鈭�A1B1C1D1

的8

个顶点中，找出4

个点构成一个三棱锥，使得这个三棱锥的4

个面都是直角三角形，则这4

个点可以是______.(

只需写出一组)

评卷人得分三、作图题(共7题，共14分)12、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

13、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）14、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）15、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

16、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）17、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）18、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、解答题(共4题，共36分)19、已知命题方程所表示的曲线为焦点在轴上的椭圆；命题实数满足不等式（1）若命题为真，求实数的取值范围；（2）若命题是命题的充分不必要条件，求实数的取值范围．20、设函数f(x)=lnx－ax+－1.(1)当a=1时,过原点的直线与函数f(x)的图象相切于点P,求点P的坐标;(2)当0＜a＜时,求函数f(x)的单调区间；(3)当a=时,设函数g(x)=x2－2bx－若对于x1∈[0,1]使f(x1)≥g(x2)成立,求实数b的取值范围.（e是自然对数的底,e＜+1）.21、【题文】已知：且x是第二象限的角；

求：实数a的值。22、【题文】（本小题满分12分）第16届亚运会将于2010年11月12日至27日在中国广州进行；为了搞好接待工作，组委会招募了16名男志愿者和14名女志愿者，调查发现，男；女志愿者中分别有10人和6人喜爱运动，其余不喜爱。

（1）根据以上数据完成以下2×2列联表：

。

喜爱运动。

不喜爱运动。

总计。

男。

10

16

女。

6

14

总计。

30

（2）根据列联表的独立性检验；能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为性别与喜爱运动有关？

（3）从女志原者中抽取2人参加接待工作，若其中喜爱运动的人数为求的分布列和均值。

参考公式：其中

参考数据：

。

0.40

0.25

0.10

0.010

0.708

1.323

2.706

6.635

评卷人得分五、计算题(共4题，共16分)23、已知等式在实数范围内成立，那么x的值为____．24、1.（本小题满分12分）已知函数在处取得极值.(1)求实数a的值；(2)若关于x的方程在[，2]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；(3)证明：(参考数据：ln2≈0.6931).25、解不等式组．26、在（1+x）6（1+y）4的展开式中，记xmyn项的系数为f（m，n），求f（3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）的值．评卷人得分六、综合题(共3题，共12分)27、如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过AB，C三点的抛物的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求当AD+CD最小时点D的坐标；

（3）以点A为圆心；以AD为半径作⊙A．

①证明：当AD+CD最小时；直线BD与⊙A相切；

②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标：____．28、（2009•新洲区校级模拟）如图，已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和x轴、y轴分别交于点A和点B，且OA=OB=1．这条曲线是函数y=的图象在第一象限的一个分支，点P是这条曲线上任意一点，它的坐标是（a、b），由点P向x轴、y轴所作的垂线PM、PN，垂足是M、N，直线AB分别交PM、PN于点E、F．则AF•BE=____．29、已知Sn为等差数列{an}的前n项和，S6=51，a5=13．参考答案一、选择题(共5题，共10分)1、C【分析】【解析】

因为回归直线的斜率的估计值是1.23，样本点的中心为代入方程中则可知回归直线方程是选C【解析】【答案】C2、A【分析】【解析】应选A.【解析】【答案】A.3、A【分析】【解析】

试题分析：利用等差数列求和公式及通项的性质就有

考点：1、等差数列奇数项（前项）求和公式；2、通项的性质.【解析】【答案】A4、D【分析】【解答】解：

①中线段为虚线；

②正确；

③中线段为实线；

④正确；

故选：D

【分析】根据空间几何体的三视图的画法结合正方体判断分析．5、A【分析】解：由“λ＜1”可得an+1-an=[（n+1）2-2λ（n+1）]-[n2-2λn]=2n-2λ+1＞0；

故可推出“数列an=n2-2λn（n∈N*）为递增数列”；故充分性成立．

由“数列an=n2-2λn（n∈N*）为递增数列”

可得an+1-an=[（n+1）2-2λ（n+1）]-[n2-2λn]=2n-2λ+1＞0；

故λ＜

故λ＜不能推出“λ＜1”，故必要性不成立．

故“λ＜1”是“数列an=n2-2λn（n∈N*）为递增数列”的充分不必要条件；

故选：A．

由“λ＜1”可得an+1-an＞0，推出“数列an=n2-2λn（n∈N*）为递增数列”．由“数列an=n2-2λn（n∈N*）为递增数列”；不能推出“λ＜1”，由此得出结论．

本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的定义，数列的单调性的判断方法，属于基础题．【解析】【答案】A二、填空题(共6题，共12分)6、略

【分析】∵命题p为真命题，命题q为假命题，∴根据真值表得命题“p或q”为真命题，命题“p且q”为假命题，“非p”为假命题，故填p或q【解析】【答案】p或q7、略

【分析】

①x2-y2=1是一个等轴双曲线；没有自公切线；

②y=x2-|x|=在x=和x=-处的切线都是y=-故②有自公切线．

③y=3sinx+4cosx=5sin（x+φ），cosφ=sinφ=此函数是周期函数，过图象的最高点的切线都重合或过图象的最低点的切线都重合，故此函数有自公切线．

④由于即x2+2|x|+y2-3=0；结合图象可得，此曲线没有自公切线．

故答案为②③．

【解析】【答案】①x2-y2=1是一个等轴双曲线；没有自公切线；

②在x=和x=-处的切线都是y=-故②有自公切线．

③此函数是周期函数；过图象的最高点的切线都重合或过图象的最低点的切线都重合，故此函数有自公切线．

④结合图象可得；此曲线没有自公切线．

8、略

【分析】【解析】试题分析：根据题意，由于抛物线可知焦点为（1，0），准线x=-1，则由于过抛物线的焦点的一直线交抛物线于两点，那么可知线段的长为那么设出直线PQ：y=k(x-1)与联立方程组得到则可知=故答案为考点：抛物线的定义【解析】【答案】9、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】____④10、略

【分析】解：由y=+mx+1=得mx+1-ex0；

当x≠0；h（）＞1；

当x=0；g′（）=x（e-1）=；

∴当x＞0时；g（x）0，当x＜时，x＜0；

则等为当时；函f（x）有两个不同的零点；

则m1；

综当≠0时g′（x）＞0；

设g（）=ex-x2-x+1；g′（）x（ex-）；

f（x）=+mx+1-x；则条等为函数f（）有三个不同零；

∵g（）=-e0+1-1=0；

即mx--1+e；

即当x＞0；h′（）x0时，h′（x）＜0；

使（x）有三个不同的零；

当x时，方程价为m=-x-+=

当x＞0时；x＞则（x）=x（ex-1）＞0；

∴要使当x≠0时；数f（x）有两个不；

当时；ex＜1，则g′x）=xex-1）＞0；

故答案为：（+∞）

据数与之关系利参数离法进行转化；构造函数，求函数导数，利用导数和极限进求解即可到结论．

本题主要查函与程的应用，利用参数分离法构造，利求函数的数和求极限是解决本的关键．综性强，难度大．【解析】（1，+∞）11、略

【分析】解：隆脽

正方体ABCD鈭�A1B1C1D1

中；CD隆脥

平面ADD1A1

隆脿A1D隆脥CDAD隆脥CDAA1隆脥CD

隆脽

正方体ABCD鈭�A1B1C1D1

中；AA1隆脥

平面ABCD

隆脿AA1隆脥ADAA1隆脥AC

隆脿

从正方体ABCD鈭�A1B1C1D1

的8

个顶点中；找出4

个点A1ACD

构成一个三棱锥A1鈭�ACD

这个三棱锥的4

个面都是直角三角形．

故答案为：A1ACD

．

正方体ABCD鈭�A1B1C1D1

中；由CD隆脥

平面ADD1A1AA1隆脥

平面ABCD

得到从正方体ABCD鈭�A1B1C1D1

的8

个顶点中，找出4

个点A1ACD

构成一个三棱锥A1鈭�ACD

这个三棱锥的4

个面都是直角三角形．

本题正方体的八个顶点中能构成4

个面都是直角三角形的三棱锥的顶点的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、函数与方程思想，是中档题．【解析】A1ACD

三、作图题(共7题，共14分)12、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

13、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．14、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．15、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

16、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．17、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．18、解：画三棱锥可分三步完成。

第一步：画底面﹣﹣画一个三角形；

第二步：确定顶点﹣﹣在底面外任一点；

第三步：画侧棱﹣﹣连接顶点与底面三角形各顶点．

画四棱可分三步完成。

第一步：画一个四棱锥；

第二步：在四棱锥一条侧棱上取一点；从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段；

第三步：将多余线段擦去．

【分析】【分析】画三棱锥和画四棱台都是需要先画底面，再确定平面外一点连接这点与底面上的顶点，得到锥体，在画四棱台时，在四棱锥一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段，将多余线段擦去，得到图形．四、解答题(共4题，共36分)19、略

【分析】试题分析：(1)命题为真应满足解不等式即可求解；(2)本题可转化为满足真的的取值集合，是满足为真的的取值集合的真子集，可以考虑借助二次函数与二次不等式的关系求解.试题解析：（1）∵方程所表示的曲线为焦点在轴上的椭圆∴解得：（2）∵命题是命题的充分不必要条件∴是不等式＝解集的真子集法一：因方程＝两根为故只需法二：令因故只需解得：考点：1.椭圆的标准方程；2.命题真假的判断；3.充分必要条件；4.二次不等式.【解析】【答案】（1）（2）20、略

【分析】【解析】试题分析：函数的定义域为（2分）（1）设点当时，则∴（3分）解得故点P的坐标为（4分）（2）∵∴（6分）∴当或时当时，故当时，函数的单调递增区间为单调递减区间为（8分）（3）当时，由（Ⅱ）可知函数在上是减函数，在上为增函数，在上为减函数，且∵又∴∴故函数在上的最小值为（10分）若对于使≥成立在上的最小值不大于在上的最小值（*）（11分）又①当时，在上为增函数，与（*）矛盾②当时，由及得，③当时，在上为减函数，此时综上，的取值范围是（14分）考点：曲线的切线，函数单调性最值【解析】【答案】(1)(2)增区间为减区间为(3)21、略

【分析】【解析】解：∵

∴

解得：（舍去）【解析】【答案】22、略

【分析】【解析】解：（1）

。

喜爱运动。

不喜爱运动。

总计。

男。

10

6

16

女。

6

8

14

总计。

16

14

30

2分。

（2）假设：是否喜爱运动与性别无关；由已知数据可求得：

因此；在犯错的概率不超过0.10的前提下不能判断喜爱运动与性别有关6分。

（3）喜爱运动的人数为的取值分别为：0；1，2，其概率分别为：

8分。

喜爱运动的人数为的分布列为：

。

0

1

2

P

10分。

所以喜爱运动的人数的值为：

12分【解析】【答案】

在犯错的概率不超过0.10的前提下不能判断喜爱运动与性别有关。

的分布列为：

。

0

1

2

P

五、计算题(共4题，共16分)23、略

【分析】【分析】先移项并整理得到=，然后两边进行6次方，求解即可．【解析】【解答】解：原式可化为=；

6次方得，（x-1）3=（x-1）2；

即（x-1）2（x-2）=0；

∴x-1=0；x-2=0；

解得x=1或x=2．

故答案为：1或2．24、略

【分析】【解析】

(1)f'(x)＝1＋，由题意，得f'(1)＝0Þa＝02分(2)由(1)知f(x)＝x－lnx∴f(x)＋2x＝x2＋bóx－lnx＋2x＝x2＋bóx2－3x＋lnx＋b＝0设g(x)＝x2－3x＋lnx＋b(x＞0)则g'(x)＝2x－3＋＝4分当x变化时，g'(x)，g(x)的变化情况如下表。x(0，)(，1)1(1，2)2g'(x)＋0－0＋G(x)↗极大值↘极小值↗b－2＋ln2当x＝1时，g(x)最小值＝g(1)＝b－2，g()＝b－－ln2，g(2)＝b－2＋ln2∵方程f(x)＋2x＝x2＋b在[，2]上恰有两个不相等的实数根高考+资-源-网由ÞÞ＋ln2≤b≤28分(3)∵k－f(k)＝lnk∴nk＝2ó(n∈N，n≥2)设Φ(x)＝lnx－(x2－1)则Φ'(x)＝－＝当x≥2时，Φ'(x)＜0Þ函数Φ(x)在[2，＋∞)上是减函数，∴Φ(x)≤Φ(2)＝ln2－＜0Þlnx＜(x2－1)∴当x≥2时，∴＞2[(1－)＋(－)＋(－)＋(－)＋()]＝2(1＋－)＝.∴原不等式成立.12分'【解析】【答案】(1)a＝0(2)＋ln2≤b≤2(3)原不等式成立.25、解：由{#mathml#}x+3x+1

{#/mathml#}≤2得：{#mathml#}x−1x+1

{#/mathml#}≥0，解得x＜﹣1或x≥1；由x2﹣6x﹣8＜0得：3﹣{#mathml#}17

{#/mathml#}＜x＜3+{#mathml#}17

{#/mathml#}，

∴不等式组得解集为（3﹣{#mathml#}17

{#/mathml#}，﹣1）∪[1，3+{#mathml#}17

{#/mathml#}）【分析】【分析】分别解不等式≤2与x2﹣6x﹣8＜0，最后取其交集即可．26、解：（1+x）6（1+y）4的展开式中，含x3y0的系数是：C63C40=20．f（3，0）=20；含x2y1的系数是C62C41=60；f（2，1）=60；

含x1y2的系数是C61C42=36；f（1，2）=36；

含x0y3的系数是C60C43=4；f（0，3）=4；

∴f（3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）=120【分析】【分析】由题意依次求出x3y0，x2y1，x1y2，x0y3，项的系数，求和即可．六、综合题(共3题，共12分)27、略

【分析】【分析】（1）由待定系数法可求得抛物线的解析式．

（2）连接BC；交直线l于点D，根据抛物线对称轴的性质，点B与点A关于直线l对称，∴AD=BD．

∴AD+CD=BD+CD；由“两点之间，线段最短”的原理可知：D在直线BC上AD+CD最短，所以D是直线l与直线BC的交点；

设出直线BC的解析式为y=kx+b；可用待定系数法求得BC直线的解析式，故可求得BC与直线l的交点D的坐标．

（3）由（2）可知，当AD+CD最短时，D在直线BC上，由于已知A，B，C，D四点坐标，根据线段之间的长度，可以求出△ABD是直角三角形，即BC与圆相切．由于AB⊥l，故由垂径定理知及切线长定理知，另一点D与现在的点D关于x轴对称，所以另一点D的坐标为（1，-2）．【解析】【解答】解：

（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）．（1分）

将（0；3）代入上式，得3=a（0+1）（0-3）．

解；得a=-1．（2分）∴抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-3）．

即y=-x2+2x+3．（3分）

（2）连接BC；交直线l于点D．

∵点B与点A关于直线l对称；

∴AD=BD．（4分）

∴AD+CD=BD+CD=BC．

由“两点之间；线段最短”的原理可知：

此时AD+CD最小；点D的位置即为所求．（5分）

设直线BC的解析式为y=kx+b；

由直线BC过点（3；0），（0，3）；

得

解这个方程组，得

∴直线BC的解析式为y=-x+3．（6分）

由（1）知：对称轴l为；即x=1．

将x=1代入y=-x+3；得y=