2024-2025学年高一数学同步试题（人教A版2019）1．4 充分条件与必要条件（五大题型）

1．4充分条件与必要条件目录TOC\o"1-2"\h\z\u【题型归纳】 2题型一：充分条件与必要条件的判断 2题型二：根据充分条件求参数取值范围 3题型三：根据必要条件求参数取值范围 4题型四：根据充要条件求参数取值范围 5题型五：充要条件的证明 6【重难点集训】 8【高考真题】 14【题型归纳】题型一：充分条件与必要条件的判断1．（2024·山西朔州·模拟预测）设，则“且”是“”的（

）.A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若且，则，即充分性成立；若，例如，满足，但不满足且，即必要性不成立；综上所述：“且”是“”的充分不必要条件.故选：A.2．（2024·高二·福建龙岩·阶段练习）下列不等式中，可以作为的一个必要不充分条件的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】对于A，是的不充分不必要条件，A不是；对于B，是的一个必要不充分条件，B是；对于C，是的一个充分不必要条件，C不是；对于D，是的一个充分不必要条件，D不是.故选：B3．（2024·高二·黑龙江·期末）褐马鸡，属于马鸡的一种，是中国特产珍稀的鸟类.若甲是一只鸟，则“甲是马鸡”是“甲是褐马鸡”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由“甲是马鸡”不能推出“甲是褐马鸡”，由“甲是褐马鸡”可推出“甲是马鸡”，所以“甲是马鸡”是“甲是褐马鸡”的必要不充分条件.故选：B4．（多选题）（2024·高一·浙江温州·阶段练习）已知是的充分不必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，下列命题正确的是（

）A．是的充要条件 B．是的充分不必要条件C．是的必要不充分条件 D．是的充分不必要条件【答案】AB【解析】根据条件弄清楚之间的关系，然后逐一判断即可.由已知有所以且，故A正确，C不正确，B正确，且，D不正确故选：AB题型二：根据充分条件求参数取值范围5．（2024·高一·江苏徐州·期末）已知集合，.(1)求的真子集；(2)若______，求实数的取值集合.从以下两个条件中任选一个补充在横线上，并进行解答.①“”是“”的充分条件；②.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【解析】（1），所以集合的真子集有；（2）选①，因为“”是“”的充分条件，所以，当时，，符合题意，当时，，因为，所以或，所以或，综上所述，实数的取值集合为.选②，因为，所以，当时，，符合题意，当时，，因为，所以或，所以或，综上所述，实数的取值集合为.6．（2024·高一·上海·课堂例题）设α:，，是的充分条件，求实数的取值范围.【解析】因为α:，，是的充分条件，所以，则.所以实数的取值范围mm≥4.7．（2024·高一·山东济南·期末）已知集合.(1)若，求；(2)若是的充分不必要条件，求的取值范围.【解析】（1）解可得，故可知，当时，，所以，；（2）因为是的充分不必要条件，所以⫋，则，解得.题型三：根据必要条件求参数取值范围8．（2024·高一·河北衡水·开学考试）已知集合.(1)若，求；(2)若“”是“”成立的必要条件，求实数的取值范围.【解析】（1）因为当时，，所以.（2）因为“”是“”成立的必要条件，所以，当时，，，满足；当时，，因为，所以解得；综上，实数的取值范围为或.9．（2024·高一·江苏镇江·期中）已知集合，.(1)当时，求；(2)若“”是“”必要不充分条件，求实数的取值范围.【解析】（1）时，，，故或x>5，故或x>5；（2）“”是“”必要不充分条件，故是的真子集，，，故，解得，故实数的取值范围是10．（2024·高一·内蒙古赤峰·期中）已知集合或，.(1)若，求，；(2)若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围.【解析】（1）时，，故或x≥4，，或，故；（2）由题意得是的真子集，若，则，解得，若，则或，解得，故的取值范围是或题型四：根据充要条件求参数取值范围11．（2024·高一·贵州黔西·期末）关于的方程有两个不相等的实数根的充要条件是（

）A．或 B．或C． D．【答案】A【解析】由方程关于的方程有两个不相等的实数根，则满足，解得或，即方程有两个不相等的实数根的充要条件是或.故选：A.12．（2024·高一·陕西西安·开学考试）命题p：一次函数的图像经过一、二、四象限的充要条件是．【答案】【解析】因为一次函数的图像经过一、二、四象限，则满足，解得，即一次函数的图像经过一、二、四象限的充要条件是.故答案为：.13．（2024·高三·全国·专题练习）已知命题，若是的充要条件，则．【答案】-1【解析】由题意得，，得，设，，由是的充要条件，得，即，得．故答案为：-114．（2024·高一·江苏苏州·阶段练习）已知集合，集合，若命题“”是命题“”的充要条件，则实数a的值是．【答案】【解析】由，可得，解得，所以，又命题“”是命题“”的充要条件且，则，所以.故答案为：题型五：充要条件的证明15．（2024·高一·全国·专题练习）设a，b，c分别是△ABC的三条边，且．则△ABC为直角三角形的充要条件是．试用边长a，b，c探究△ABC为锐角三角形的一个充要条件，并证明．【解析】设a，b，c分别是△ABC的三条边，且，△ABC为锐角三角形的充要条件是．充分性：在△ABC中，若，则不是直角，假设为钝角，如图①，作，交BC延长线于点D，则由勾股定理得，，即，与“”矛盾，故为锐角，即△ABC为锐角三角形，故充分性成立；必要性：在△ABC，是锐角，作，D为垂足，如图②，则由勾股定理得，，即，故必要性成立．故△ABC为锐角三角形的充要条件为．16．（2024·高一·江苏南京·阶段练习）求证：“关于x的方程有一个根为2”的充要条件是“”．【解析】必要性：若有一个根为2，则满足方程，即，充分性：若，则，即满足方程，则关于x的方程有一个根为2；综上命题得证．17．（2024·高一·全国·课堂例题）已知，求证：成立的充要条件是.【解析】先证充分性：因为，所以，所以.再证必要性：因为，所以，又，所以且，所以，所以，即.综上可知，当时，成立的充要条件是.【重难点集训】1．（2024·高一·四川泸州·期末）已知实数x，y，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当,取,可得,充分条件不成立;,必要条件成立;故选：B.2．（2024·高一·广东江门·期中）设，当时；当时.例如，则“，或，”是“”的（

）条件.A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要【答案】A【解析】当，或，时，，由时知，，当时，根据定义可知，所以，故只要满足且即可，显然不止，或，这种情况，比如，等也满足，所以“，或，”是“”的充分不必要条件.故选：A3．（2024·高二·江西宜春·期末）已知，且是的充分条件，则实数可以是（

）A．3 B．1 C． D．【答案】A【解析】由题意，若是q:x<a的充分条件，则当且仅当，对比选项可知实数可以是3.故选：A.4．（2024·高一·上海·期中）已知命题：“非空集合的元素都是集合的元素”是假命题，给出下列命题，其中真命题的个数是（

）①中的元素都不是的元素；②中有不属于的元素；③中有的元素；④中的元素不都是的元素.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】根据命题"非空集合的元素都是集合的元素"是假命题，可得不是的子集对于①，集合虽然不是所有元素都在中，但有可能有属于的元素，因此①是假命题；对于②，因为不是的子集，所以必定有不属于的元素，故②是真命题；同理不能确定有没有的元素，故③是假命题；对于④，由子集的定义可得，既然不是的子集，那么必定有一些不属于的元素，因此的元素不都是的元素，可得④是真命题.故选：B.5．（2024·高一·江苏·专题练习）的一个必要条件但不是充分条件是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】选项A：是的充要条件.判断错误；选项B：是的必要条件但不是充分条件.判断正确；选项C：是的充分不必要条件条件.判断错误；选项D：是的既不充分也不必要条件.判断错误.故选：B6．（2024·高一·广西南宁·阶段练习）已知：，：，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】设，B=x1-m≤x≤1+m因为是的必要不充分条件，所以，所以，解得，当时，B=x-2≤x≤4所以.故选：A.7．（2024·高三·河南焦作·开学考试）对于任意实数，用表示不大于的最大整数，例如：，，，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】对任意的，记，则，若，则，即，则，因为，，则，由不等式的基本性质可得，所以，，所以，，即，所以，“”“”；若，如取，，则，故“”“”.因此，“”是“”的充分不必要条件.故选：A.8．（2024·高一·辽宁·期中）使得不等式“”成立的一个必要不充分条件是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，可得，所以，解得，即成立的充要条件为：，对于A，由，得，是“”成立的充分不必要条件；对于B，由，得，是“”成立的充要条件；对于C，是“”成立的必要不充分条件；对于D，，得或，是“”成立的既不充分也不必要条件.故选：C.9．（多选题）（2024·高一·广西玉林·期中）已知表示不超过的最大整数，例如：，，下列说法正确的是（

）A．集合B．集合的非空真子集的个数是30个C．若“”是“”的充分不必要条件，则D．若，则【答案】CD【解析】时，时，，时，，时，，时，，时，，，集合的非空真子集有个，所以A，B错误．又若“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集，所以，C正确．若，则时，；时，，综上，D正确．故选：CD.10．（多选题）（2024·高一·河北·阶段练习）设计如图所示的四个电路图，条件：“开关闭合”；条件：“灯泡亮”，则是的必要条件的图为（

）A．

B．

C．

D．

【答案】BC【解析】对于，开关闭合灯亮，反过来灯泡亮，也可能是开关闭合，是的充分不必要条件；对于，只有一个开关，灯如果要亮，开关必须闭合，是的充要条件；对于灯亮必须和同时闭合，是的必要不充分条件；对于，灯一直亮，跟开关没有关系，是的既不充分也不必要条件.故选：BC.11．（多选题）（2024·高一·安徽亳州·阶段练习）已知，，则“”是真命题的一个充分不必要条件是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】因为，，若“”是真命题，当时，则，即，解得或，当时，则由题意可得方程有两个非负实数根，所以，解得，综上，的取值范围是，即是真命题的充要条件为，故其充分不必要条件为它的真子集，故B、C、D均符合题意.故选：BCD12．（2024·高一·全国·课后作业）下列不等式：①；②；③；④；⑤．其中可以作为的充分不必要条件的所有序号为．【答案】②③【解析】由解得．对于①，是的必要不充分条件；对于②，是的充分不必要条件；对于③，是的充分不必要条件；对于④，是的充要条件；对于⑤，是的必要不充分条件．故选:②③．13．（2024·高一·北京·阶段练习）小华同学学完集合的基本运算后，自己定义了如下集合运算：且，小华列举了如下命题：①任意集合②任意集合③任意集合④若，则其中，所有正确命题的序号是.【答案】①③④【解析】对于命题①，由新定义，若，则当且仅当且，而这显然不可能，这表明了此时不存在，即，故命题①正确；对于命题②，不妨设，由新定义，，这表明了此时，故命题②不正确；对于命题③，由新定义，若，则一定有且，这表明了此时集合是集合的子集，即，故命题③正确；对于命题④，若，则当且仅当，即若，则一定有，由新定义，若，则当且仅当且，而这显然不可能，这表明了此时不存在，即若，则，故命题④正确.综上所述：所有正确命题的序号是①③④.故答案为：①③④.14．（2024·高一·上海宝山·阶段练习）已知，.若是的充分非必要条件，则实数m的取值范围是.【答案】15．（2024·高一·全国·课堂例题）已知，，其中，若“”是“”的充分而不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围.【解析】由题意得⫋.所以或，解得，即实数m的取值范围是.16．（2024·高一·江苏镇江·阶段练习）已知集合，，全集.(1)当时，求；(2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围.【解析】（1）当时，集合，则或，所以.（2）若“”是“”的必要条件，则，因为，则，可知，可得，解得，所以实数的取值范围.17．（2024·高一·江苏无锡·阶段练习）已知非空集合，.(1)若，求；(2)若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围.【解析】（1）当时，，所以或，又，所以或.（2）因为是的充分不必要条件，所以A是B的真子集，又A是非空集合，所以，解得，所以实数a的取值范围为.18．（2024·高一·广东广州·阶段练习）设集合．(1)，求；(2)若“”是“”的必要条件，求m的取值范围．【解析】（1）当时，，故或，又，故（2）“”是“”的必要条件，故，当时，，∴，符合题意；当时，需满足，解得综上所述，m的取值范围为或.【高考真题】1．（2023年北京高考数学真题）若，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】解法一：因为，且，所以，即，即，所以.所以“”是“”的充要条件.解法二：充分性：因为，且，所以，所以，所以充分性成立；必要性：因为，且，所以，即，即，所以.所以必要性成立.所以“”是“”的充要条件.解法三：充分性：因为，且，所以，所以充分性成立；必要性：因为，且，所以，所以，所以，所以，所以必要性成立.所以“”是“”的充要条件.故选：C2．（2023年天津高考数学真题）已知，“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】B【解析】由，则，当时不成立，充分性不成立；由，则，即，显然成立，必要性成立；所以是的必要不充分条件.故选：B3．（2022年新高考天津数学高考真题）“为整数”是“为整数”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由为整数能推出为整数，故“为整数”是“为整数”的充分条件，由,为整数不能推出为整数，故“为整数”是“为整数”的不必要条件，综上所述，“为整数”是“为整数”的充分不必要条件，故选：A.4．（2008年普通高等学校招生考试数学（文）试题（安徽卷））是方程有一个负数根的（

）A．必要不充分条件 B．充分必要条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】方程有一个负数根，若，此时，不成立，舍去；若，则，此时方程在R上无解，舍去；若，则，故，满足题意，综上：是方程有一个负数根的充分必要条件.故选：B5．（2005年普通高等学校招生考试数学（文）试题（湖北卷））对任意实数，，，给出下列命题：①“”是“”充要条件；②“是无理数”是“是无理数”的充要条件；③“”是“”的充分条件；④“”是“”的必要条件．其中真命题的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】①中“”“”为真命题，但当时，“”“”为假命题，故“”是“”的充分不必要条件，故①为假命题；②中“是无理数”“是无理数”为真命题，“是无理数”“是无理数”也为真命题，故“是无理数”是“是无理数”的充要条件，故②为真命题；③中“”“”为假命题，如、满足，但是，“”“”也为假命题，如、满足，但是，故“”是“”的即充分也不必要条件，故③为假命题；④中，故“”是“”的必要条件，故④为真命题．故真命题的个数为2故选：B．6．（2004年普通高等学校招生考试数学试题（上海卷））若非空集合，则“或”是“”的（

）A．必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【答案】A【解析】依题意，非空集合，所以，“或”即，所以“或”是“”的必要条件.故选：A7．（2019年浙江省高考数学试卷）若，则“”是“”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C