2024-2025学年高一数学同步试题（人教A版2019）1.1 集合的概念（九大题型）

1．1集合的概念目录TOC\o"1-2"\h\z\u【题型归纳】 2题型一：集合的含义 2题型二：元素与集合的关系的判断 3题型三：根据元素与集合的关系求参数 4题型四：集合中元素的特性及应用 5题型五：用列举法表示集合 6题型六：用描述法表示集合 7题型七：集合表示法的综合应用 8题型八：方程与集合的综合应用 10题型九：集合新定义运算 12【重难点集训】 13【高考真题】 18【题型归纳】题型一：集合的含义1．（2024·高一·广东深圳·阶段练习）给出下列说法：①在一个集合中可以找到两个相同的元素；②好听的歌能组成一个集合；③高一（1）班所有姓氏能构成集合；④把1，2，3三个数排列，共有6种情况，因此由这三个数组成的集合有6个.其中正确的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】①集合中的元素不能相同，所以在一个集合中不可以找到两个相同的元素，因此本序号说法不正确；②因为好听的歌标准不确定，所以好听的歌不能组成一个集合，因此本序号的说法不正确；③因为高一（1）班所有姓氏是确定的，所以可以构成一个集合，因此本序号的说法是正确的；④根据集合元素的无序性，由这三个数组成的集合只有一个，因此本序号说法不正确，因此正确的个数为1，故选：B2．（2024·高一·山西吕梁·期中）下列各组对象不能构成集合的是（

）A．上课迟到的学生 B．2023年高考数学难题C．所有有理数 D．小于的正整数【答案】B【解析】根据集合中元素的确定性可知，“2023年高考数学难题”中的“难题”没有评判标准，不具备确定性，因此不能构成集合.故选：B3．（多选题）（2024·高一·全国·课后作业）下列各组对象可以组成集合的是（

）A．数学必修第一册课本中所有的难题B．小于8的所有质数C．直角坐标平面内第一象限的一些点D．周长为10cm的三角形【答案】BD【解析】对于A，“难题”的标准不确定，因而不能构成集合，所以A错误，对于B，小于8的所有质数能构成集合，所以B正确，对于C，“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合，所以C错误，对于D，周长为10cm的三角形具有确定性，能构成集合，所以D正确，故选：BD4．（多选题）（2024·高一·全国·课后作业）考察下列每组对象，能构成集合的是（

）A．中国各地的美丽的乡村B．直角坐标系中横、纵坐标相等的点C．不小于的自然数D．我省参加高考的学生【答案】BCD【解析】对于A，“美丽的”标准不明确，不符合确定性，无法构成集合，A错误；对于B，直角坐标系中横、纵坐标相等的点具有确定性，可以构成集合，B正确；对于C，不小于的自然数具有确定性，可以构成集合，C正确；对于D，我省参加高考的学生具有确定性，可以构成集合，D正确.故选：BCD.题型二：元素与集合的关系的判断5．（多选题）（2024·高一·浙江台州·期中）下列元素与集合的关系中，正确的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】对于A，因为不是自然数，所以A错误；对于B，因为0不是正整数，所以B正确；对于C，因为不是有理数，所以C正确；对于D，因为不是有理数，所以D正确.故选：BCD.6．（多选题）（2024·高一·江西·阶段练习）已知集合，，，且，，，则（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】因为，可设，，，选项A，，则，故A正确；所以，则，故B正确；所以，其中，则，故C错误；所以，其中，则，故D正确.故选：ABD.7．（多选题）（2024·高一·辽宁·阶段练习）已知集合，集合，下列关系正确的是（

）A． B． C． D．【答案】AC【解析】点在函数图像上，有，A选项正确；集合A为数集，集合B为点集，，B选项错误；函数的值域为，则，，C选项正确；集合B为点集，，D选项错误.故选：AC.题型三：根据元素与集合的关系求参数8．（2024·高一·新疆·阶段练习）举例说明：设集合M中含有三个元素3，，：(1)求实数，应满足的条件；(2)若，求实数的值.【解析】（1）据集合中元素的互异性，可知，即且且且且；（2）若，则或，解得：或或，若，则，满足题意；若，则，满足题意；若，则，满足题意；故或或.9．（2024·高一·广东江门·阶段练习）已知集合，，则（

）A． B．或1 C．3 D．【答案】D【解析】因，，故有：或，由解得：或，由解得：，又因时，，与集合元素互异性矛盾，故舍去，而时，符合题意.故选：D.10．（2024·高一·北京东城·期中）已知集合，若，则（

）．A．1或 B．1 C． D．或0【答案】C【解析】由于，若，则，不合题意；所以，解得，故选：C11．（2024·高一·山西·期中）已知是由0，，这三个元素组成的集合，且，则实数为（）A．2 B．3 C．0或3 D．0，2，3均可【答案】B【解析】因为，所以或．当时，，不合题意，舍去；当时，或，但不合题意，舍去．综上可知，．故选：B．题型四：集合中元素的特性及应用12．（2024·高三·重庆沙坪坝·开学考试）若，则的值是（

）A．0 B．1 C． D．【答案】C【解析】因为，所以①或②，由①得或，其中与元素互异性矛盾，舍去，符合题意，由②得，符合题意，两种情况代入得.故选：C.13．（2024·高一·全国·专题练习）数集中的x不能取的数值的集合是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由解得；由解得．∴x不能取的值的集合为．故选：C．14．（2024·高一·新疆阿克苏·阶段练习）“mooncake”中的字母构成一个集合，该集合的元素个数是（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【解析】因为“mooncake”中的字母有m，o，n，c，a，k，e，其构成的集合为，有7个元素.故选：C.15．（多选题）（2024·高一·广东惠州·阶段练习）由组成一个集合，中含有3个元素，则实数的取值可以是（

）A． B．2 C．3 D．6【答案】ACD【解析】由题意知，，解得且.所以实数的取值可以是，3,6故选：ACD题型五：用列举法表示集合16．（2024·高一·青海西宁·期中）集合用列举法表示为.【答案】【解析】时，；时，；时，；时，；可得.故答案为：17．（2024·高二·浙江宁波·期中）用列举法表示集合的结果为.【答案】【解析】由可知为的约数，所以，因为，所以，此时，集合为.故答案为：.18．（2024·高一·全国·专题练习）用列举法表示下列集合：(1)大于1且小于6的整数；(2)；(3)．(4)．(5)由＋（a，b∈R）所确定的实数组成的集合.【解析】（1）大于1且小于6的整数组成的集合为；（2）（3）（4）（5）由题意，当时，＋；当时，＋；当时，＋；当时，＋，故由＋（a，b∈R）所确定的实数组成的集合为.题型六：用描述法表示集合19．（2024·高一·上海徐汇·期中）被4除余3的所有自然数组成的集合用描述法可表示为.【答案】【解析】根据集合的表示方法，可得被4除余3的所有自然数组成的集合为.故答案为：.20．（2024·高一·云南曲靖·阶段练习）用描述法表示图中的阴影部分（不含边界）可以是．

【答案】【解析】由图知，，，所以由集合的描述法可知.故答案为：.21．（2024·高一·江苏·专题练习）试用描述法表示下列集合.(1)大于3的全体偶数构成的集合；(2)平面直角坐标系中，轴上的所有点.【解析】（1）大于3的全体偶数构成的集合为.（2）平面直角坐标系中，轴上的所有点为22．（2024·高一·江苏·专题练习）试用描述法表示下列集合.(1)方程的所有实数根组成的集合；(2)由大于10且小于20的所有整数组成的集合；(3)二次函数图象上的所有点组成的集合.【解析】（1）设方程的实数根为，并且满足条件，用描述法表示为.（2）设大于10且小于20的整数为x，它满足条件，且，故用描述法表示为.（3）二次函数图象上的所有的点用描述法表示为.题型七：集合表示法的综合应用23．（2024·高一·湖南长沙·阶段练习）设非空集合中的元素都是实数，且满足：若，则．（1）若，求出中的另外两个元素；（2）给出命题“中至少有三个元素”，判断该命题是否正确，并证明你的判断；（3）若中的元素个数不超过个，所有元素之和为，所有元素的积恰好等于中某个元素的平方，求集合．【解析】（1），所以另外两个元素为.（2）该命题正确，证明如下：设，则，则，均无解，所以“中至少有三个元素”正确.（3）由（2）知，若，那么、.若中的元素不超过个，那么，且.所有元素的乘积为，不妨设，所以中有三个元素，所以，解得或或.所以.24．（2024·高一·河北沧州·阶段练习）已知集合，求证：(1)；(2)偶数不属于.【解析】（1）因为，所以.（2）因为，，，当，都为偶数或奇数时，和都为偶数，所以为4的倍数；当，为一个偶数，一个奇数时，和都为奇数，所以为奇数.显然都不满足，所以.25．（2024·高一·全国·课后作业）集合M满足：若，则（且）已知，试求集合M中一定含有的元素.【解析】，，，，，∴在M中还有元素，，.故集合M一定含有的元素有.题型八：方程与集合的综合应用26．（2024·高一·江苏·假期作业）已知集合关于的方程有唯一实数解，试用列举法表示集合．【解析】当时，化方程为．方程有唯一实数根，由判别式为零可得，得，此时的解为，符合题意．当时，有唯一实数解．当时，有唯一实数解．，，．27．（2024·高一·江苏连云港·期中）已知集合.(1)若A中只有一个元素，求的值；(2)若A中至少有一个元素，求的取值范围.【解析】（1）由题意，当时，，得，集合A只有一个元素，满足条件；当时，为一元二次方程，，得，集合A只有一个元素，A中只有一个元素时或.（2）由A中至少有一个元素包含两种情况，一个元素和两个元素，A中有两个元素时，并且，得且，再结合A中一个元素的情况，的取值范围为.28．（2024·高一·上海普陀·阶段练习）已知集合．(1)若中只有1个元素，求实数的取值范围；(2)若关于的方程存在两个不相等实根且．求实数的值与集合．【解析】（1）当时，，解得，符合题意，当时，，解得，符合题意，故实数的取值范围为；（2）（2）∵关于的方程存在两个不相等实根，∴，且，则，即，故或，当时，，当时，．29．（2024·高一·全国·专题练习）若集合中，仅有一个元素，求、的值.【解析】集合中，仅有一个元素，且，解得，．故、的值分别为，.30．（2024·高一·全国·专题练习）已知集合，其中.若1是集合中的一个元素，则集合（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，集合中的方程为，解得或，，故选：C．31．（2024·高一·全国·课后作业）已知．根据下列条件，求实数a的值构成的集合．(1)当；(2)当M是单元素集（只含有一个元素的集合）；(3)当M是两个元素的集合.【解析】（1），，，所以的范围是；（2）时，，满足题意，，，此时，满足题意，（3）由题意方程有两个不等实根，且，解得且，所以的范围是，．题型九：集合新定义运算32．（2024·高一·上海嘉定·阶段练习）定义集合运算：，设，，则所有元素之和为个.【答案】3【解析】由题可知：当时，当时，当时，当时，所以，所以所有元素之和为3故答案为：333．（2024·高一·全国·期末）定义运算，若集合，则.【答案】【解析】依题意，由，当时，，则，当时，，则，当时，，则，所以.故答案为：34．（2024·高一·上海·专题练习）设，，定义，则中元素的个数为（

）A．4 B．5 C．19 D．20【答案】C【解析】当时，集合中元素为，，，，共个，当时，集合中元素为，，，，共个，当时，集合中元素为，，，，共个，当时，集合中元素为，，，共个，所以集合中共有个，故选：C.35．（2024·高一·广东阳江·开学考试）对于任意两个正整数m、n，定义某种运算，当m、n都为正偶数或正奇数时，；当m、n中一个为正奇数，另一个为正偶数时，.则在上述定义下，，集合M中元素的个数为（）A．40 B．48 C．39 D．41【答案】D【解析】当x、y都为正偶数或正奇数时，，集合M中的元素有，共35个；当x、y中一个为正奇数，另一个为正偶数时，，，集合M中的元素有共6个，所以集合M中元素的个数为，故选：D【重难点集训】1．（2024届河南省新乡市高三第三次模拟考试数学试卷）下列集合中有无数个元素的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】对于A，因为，，则，，故A错误；对于B，因为，，则，所以，故B错误；对于C，，，所以，故C错误；对于D，有无数个元素.故D正确.故选：D.2．（贵州省凯里市第一中学2024届高三模拟考试（二模）数学试题）若对任意，，则称A为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】对于选项A：因为，但，不符合题意，故A错误；对于选项B：因为，但无意义，不符合题意，故B错误；对于选项C：例如，但，不符合题意，故C错误，对于选项D：对任意，均有，符合题意，故D正确；故选：D.3．（湖南省岳阳市平江县第三中学等多校联考2023-2024学年高二普通高中学业水平合格性考试仿真模拟（专家卷二）数学试题）已知，且，则（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【解析】因为，且，所以.故选：A.4．（1号卷�2024届全国高考最新原创冲刺试卷（二）理科数学试题）若，则的取值集合为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】当时，，不满足集合中元素的互异性，舍去；当时，则，符合题意，当时，有或，已知当时符合题意，当时，则，符合题意，故的取值集合为.故选：C.5．（黑龙江省哈尔滨市香坊区2024届高三期末联考数学试题）已知集合，集合，则集合（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意知，当时，，当时，，当时，，当时，，所以.故选：D6．（浙江省衢温51联盟创新班2023-2024学年高一期末联考数学试题）已知集合，集合，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以.故选：C.7．（江西省五市九校协作体2024届高三第二次联考数学试题）已知实数集合，若，则（

）A．-1 B．0 C．1 D．2【答案】A【解析】当，时，，或任意，（舍去）；当，时，，，不成立，所以，，.故选：A.8．设集合​,若​,则​的值为（

）A．​ B．-3 C．​ D．​【答案】D【解析】由集合中元素的确定性知​或​.当​时,​或​;当​时,​.当​时,​不满足集合中元素的互异性,故​舍去;当​时,​满足集合中元素的互异性,故​满足要求;当​时,​满足集合中元素的互异性,故​满足要求.综上,​或​.故选:D.9．（多选题）（2024·高一·湖南株洲·开学考试）已知集合，则下列说法中错误的是（

）A．若A中只有一个元素，则 B．若A中至少有一个元素，则C．若A中至多有一个元素，则 D．若A中恰有两个元素，则【答案】ACD【解析】对于选项A：若A中只有一个元素，即方程有一个根，或两个相等实根，当时，原方程变为，此时符合题意，当时，方程有两个相等实根，所以，即，所以当A中只有一个元素时，则或，故A错误；对于选项B：若A中至少有一个元素，即A中有一个元素或两个元素，当A中有一个元素时，由前面可知，或；当A中有两个元素时，方程有两个不等实根，所以即且，所以若A中至少有一个元素，则，故B正确；对于选项C：若A中至多有一个元素，即A中有一个元素或没有元素，当A中有一个元素时，由前面可知，或；当A中没有元素时，即方程无实根，所以即，所以若A中至多有一个元素，则或；故C错误；对于选项D：若A中恰有两个元素，由前面可知，且，故D错误；故选：ACD10．（山东省菏泽市2024届高三二模数学试题）已知，集合．则集合中所有元素之和为．【答案】5【解析】由题意，得，则集合中所有元素之和为.故答案为：511．（江苏省南京市2024届高三第二次模拟考试数学试题）已知集合，，则集合的元素个数为．【答案】2【解析】当时，，2，4，分别为,均不能满足，当时，时可满足，时，，时，均不满足，当时，可满足，时，，时，均不满足，所以，故集合的元素有2个，故答案为：212．（河南省洛阳市、平顶山市、许昌市、济源市2024届高三第四次质量检测数学试题）定义集合运算：，若集合，，则集合中所有元素之和为．【答案】4【解析】，，当，时，；当，时，；当，时，.所以，所以集合中所有元素之和为.故答案为：413．（上海市静安区2024届高三期中教学质量调研数学试卷）中国国旗上所有颜色组成的集合为．【答案】{红,黄}；【解析】中国国旗上所有颜色组成的集合为红,黄．故答案为：红，黄．14．（辽宁省丹东市2024届高三总复习质量测试（一）数学试卷）若为完全平方数，则正整数x的取值组成的集合为．【答案】【解析】由题意设，则，注意到是偶数，所以与的奇偶性相同，（否则若和中，有一个是奇数，有一个是偶数，则它们的和是奇数，这与是偶数矛盾），注意到是偶数，所以与必然都是偶数，考虑80的分解方式，满足题意的数组只可能是三种情况，所以x的取值可能是.故答案为：.15．已知集合，且，则.【答案】【解析】因为，所以或，解得或，当时，，，集合不满足元素的互异性，所以舍去；当时，经检验，符合题意，所以．故答案为：．【高考真题】1．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标II卷））已知集合，则中元素的个数为（

）A．9 B．8 C．5 D．4【答案】A【解析】当时，；当时，；当时，；所以共有9个，故选：A.2．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（山东卷））设集合,则集合中元素的个数是A． B． C． D．【答案】C【解析】∵A={0，1，2}，B={x﹣y|x∈A，y∈A}，∴当x=0，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为0，﹣1，﹣2；当x=1，