2025年外研版2024高二数学上册阶段测试试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年外研版2024高二数学上册阶段测试试卷42考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共6题，共12分)1、在等比数列{an}中，a1=8，a4=a3a5，则a7=（）

A.

B.

C.

D.

2、如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点且则下列结论中错误的是（）A.B.C.三棱锥的体积为定值D.异面直线所成的角为定值3、【题文】若是△的一个内角，且则的值为（）A.B.C.D.4、【题文】复数等于A.-iB.1C.-lD.05、马云同学向某银行贷款M万元，用于购买某件商品，贷款的月利率为5%（按复利计算），按照还款合同，马云同学每个月都还款x万元，20个月还清，则下列关系式正确的是（）A.20x=MB.20x=M（1+5%）20C.20x＜M（1+5%）20D.20x＞M（1+5%）206、若p

的否命题是命题q

的逆否命题，则命题p

是命题q

的(

)

A.逆命题B.否命题C.逆否命题D.p

与q

是同一命题评卷人得分二、填空题(共8题，共16分)7、已知函数有极大值又有极小值，则的取值范围是.8、矩阵的逆矩阵是____．9、如果关于x的不等式的解集不是空集，则实数a的取值范围为_____________.10、【题文】的值为_____．11、【题文】函数的最小正周期为____。12、在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=1，O1：（x﹣4）2+y2=4，动点P在直线x+y+b=0上，过P分别作圆O，O1的切线，切点分别为A，B，若满足PB=2PA的点P有且只有两个，则实数b的取值范围是____．13、求函数的值域______．14、已知椭圆的焦点在y轴上，长轴长为20，离心率为则椭圆的标准方程为______．评卷人得分三、作图题(共5题，共10分)15、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

16、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）17、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）18、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）19、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、解答题(共4题，共28分)20、数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an+1=2Sn（n∈N+）．

（Ⅰ）证明数列{Sn}是等比数列；

（Ⅱ）求数列{an}的通项an；

（Ⅲ）求数列{n•an}的前n项和Tn．

21、【题文】正项数列的前n项和为且

（Ⅰ）证明数列为等差数列并求其通项公式；

（2）设数列的前n项和为证明：22、【题文】已知f(x)＝sin(-2x＋)＋x∈R.

(1)求函数f(x)的最小正周期和单调增区间．

(2)函数f(x)的图象可以由函数y＝sin2x(x∈R)的图象经过怎样的变换得到？23、已知定义在R上的函数y=f（x）满足：对∀x；y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）-3，并且当x＞0时，f（x）＜3．

（1）求f（0）的值；

（2）判断f（x）是R上的单调性并作出证明；

（3）若不等式f（（t-2）|x-4|）+3＞f（t2+8）+f（5-4t）对t∈（2，4）恒成立，求实数x的取值范围．评卷人得分五、计算题(共4题，共20分)24、如图，已知正方形ABCD的边长是8，点E在BC边上，且CE=2，点P是对角线BD上的一个动点，求PE+PC的最小值．25、已知等式在实数范围内成立，那么x的值为____．26、1.本小题满分12分）对于任意的实数不等式恒成立,记实数的最大值是（1）求的值；（2）解不等式27、解不等式|x﹣2|+|x﹣4|＞6．评卷人得分六、综合题(共1题，共2分)28、已知f（x）=logax（a＞0，a≠1），设数列f（a1），f（a2），f（a3），，f（an）是首项为4，公差为2的等差数列．参考答案一、选择题(共6题，共12分)1、B【分析】

由等比数列的性质可知，a4=a3a5=

∵a4≠0

∴a4=1

∵a1=8

∴=1

∴a7=

故选B

【解析】【答案】由等比数列的性质可知，a4=a3a5=可求a4，然后由可求。

2、D【分析】本试题主要是考查了正方体中线线的位置关系，线面的平行，以及异面直线的角和体积求解的综合运用。对于A，可得出AC⊥平面BB'D'D，而BE是平面BB'D'D内的直线，因此AC⊥BE成立，故A项不错；对于B，点A到平面BEF的距离也是点A到平面BB'D'D的距离，等于正方体面对角线的一半，而三角形BEF的边EF=且EF到B点距离为1，所以其面积S=为定值，故VA-BEF=故C项不错；对于B，因为平面A'B'C'D'∥平面ABCD，EF⊂平面A'B'C'D'，所以EF∥平面ABCD，故B不错；对于D，当EF变化时，异面直线AE、BF所成的角显然不是一个定值，故D项错误．故选D解决该试题的关键是对于正方体性质的理解和熟练运用。【解析】【答案】D3、D【分析】【解析】∵且∴∴

故【解析】【答案】D4、D【分析】【解析】

试题分析：因为或因为所以选D.复数运算中注意分母实数化时不要出错.

考点：复数运算【解析】【答案】D.5、B【分析】解：马云同学向某银行贷款M万元；贷款的月利率为5%（按复利计算）；

则20个月后本息和为：M（1+5%）20万元；

马云同学每个月都还款x万元；20个月共还20x万元；

若20个月还清，则20x=M（1+5%）20；

故选：B

根据已知可得20个月后本息和为：M（1+5%）20万元；马云同学共还20x万元，进而得到答案．

本题考查的知识点是函数模型的选择与应用，正确理解复利的实际含义，是解答的关键．【解析】【答案】B6、A【分析】解：因为否命题和逆命题互为逆否命题；

故命题p

是命题q

的逆命题；

故选：A

．

根据四中命题的关系；判断即可．

本题主要考查四种命题及其关系.

要注意命题的否定，命题的否命题是不同的概念.

切莫混淆．【解析】A

二、填空题(共8题，共16分)7、略

【分析】【解析】【答案】8、略

【分析】【解析】【答案】9、略

【分析】表示x轴上的点到点10和20的距离和，因为x轴上的点10和20的距离是10，所以的解集不是空集的话a【解析】【答案】10、略

【分析】【解析】

试题分析：考点：1.两角和的余弦公式；2.特殊角的三角函数值.【解析】【答案】11、略

【分析】【解析】

试题分析：y=（sin2x-cos2x）2=1-sin4x，最小正周期为T=故答案为：

考点：三角函数的周期性及其求法；同角三角函数间的基本关系；二倍角的正弦．【解析】【答案】12、（﹣4，）【分析】【解答】解：由题意O（0，0），O1（4；0），设P（x，y），则∵PB=2PA；

∴（x﹣4）2+y2=4（x2+y2）；

∴x2+y2+x﹣=0；

其圆心坐标为（﹣0），半径为

∵动点P在直线x+y+b=0上；满足PB=2PA的点P有且只有两个；

∴该直线与圆x2+y2+x﹣=0相交；

∴圆心到直线的距离满足d=＜

化简得|b﹣|＜

解得﹣4＜b＜

∴实数b的取值范围是（﹣4，）．

故答案为：（﹣4，）．

【分析】求出P的轨迹方程，由动点P在直线x+y+b=0上；满足PB=2PA的点P有且只有两个；

转化为直线与圆x2+y2+x﹣=0相交，即可求出实数b的取值范围．13、略

【分析】解：令t=（t≥0）；

则x=问题转化为求函数f（t）=-t2-t+1在t≥0上的值域问题；

由于函数f（t）=-t2-t+1=-（t+）2+（t≥0）；

故函数f（t）有最大值f（0）=1．无最小值；

故其值域为（-∞；1]；

即原函数的值域为（-∞；1]．

故答案为：（-∞；1]．

先对根式整体换元（注意求新变量的取值范围）；把原问题转化为一个二次函数在闭区间上求值域的问题即可．

本题主要考查用换元法求值域以及二次函数在闭区间上求值域问题．换元法求值域适合于函数解析式中带根式且根式内外均为一次形式的题目．【解析】（-∞，1]14、略

【分析】解：设椭圆方程为+=1（a＞b＞0）；

由题意可得2a=20；即a=10；

e==可得c=4，b===2

即有椭圆的方程为+=1．

故答案为：+=1．

设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），由题意可得2a=20，即a=10，再由离心率公式和a，b，c的关系，解得b；进而得到椭圆方程．

本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和a，b，c的关系，考查运算能力，属于基础题．【解析】+=1三、作图题(共5题，共10分)15、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

16、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．17、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．18、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．19、解：画三棱锥可分三步完成。

第一步：画底面﹣﹣画一个三角形；

第二步：确定顶点﹣﹣在底面外任一点；

第三步：画侧棱﹣﹣连接顶点与底面三角形各顶点．

画四棱可分三步完成。

第一步：画一个四棱锥；

第二步：在四棱锥一条侧棱上取一点；从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段；

第三步：将多余线段擦去．

【分析】【分析】画三棱锥和画四棱台都是需要先画底面，再确定平面外一点连接这点与底面上的顶点，得到锥体，在画四棱台时，在四棱锥一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段，将多余线段擦去，得到图形．四、解答题(共4题，共28分)20、略

【分析】

（Ⅰ）∵an+1=2Sn，∴Sn+1-Sn=2Sn，∴．

又∵S1=a1=1；

∴数列{Sn}是首项为1，公比为3的等比数列，Sn=3n-1（n∈N*）．（4分）

（Ⅱ）当n≥2时，an=2Sn-1=2•3n-2（n≥2）；

（8分）

（Ⅲ）Tn=a1+2a2+3a3++nan；

当n=1时，T1=1；

当n≥2时，Tn=1+4•3+6•31++2n•3n-2；①

3Tn=3+4•31+6•32++2n•3n-1；②（11分）

①-②得：-2Tn=-2+4+2（31+32++3n-2）-2n•3n-1

=

∴．（13分）

又∵T1=a1=1也满足上式；

∴．（14分）

【解析】【答案】（Ⅰ）要证一个数列为等比数列；就是要证明这个数列的每一项与它的前一项的之比是一个常数．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知Sn=3n-1（n∈N*），又an+1=2Sn（n∈N+）可求n≥2时an通项，知a1=1，所以可求n∈N*时an通项．

（Ⅲ）在Tn的等式两边同乘以3得到一个新的等式，两式左右两边分别相减，再用等比数列的前n项和可求Tn

21、略

【分析】【解析】

试题分析：（Ⅰ）证明数列为等差数列并求其通项公式由已知这是由求可根据来求，因此当时，解得当时，整理得从而得数列是首项为１，公差为２的等差数列，可写出数列的通项公式；（Ⅱ）设数列的前n项和为证明：首先求出的通项公式，分母是等差数列连续两项积，符合利用拆项相消法求和，即这样求得和利用数列的单调性，可证结论．

试题解析：（Ⅰ）由得：当时，得

当时，

整理得又为正项数列；

故（），因此数列是首项为1；公差为2的等差数列；

（6分）

（Ⅱ）

∴

∵∴（8分）

∴数列是一个递增数列∴

综上所述，（12分）

考点：等差数列的判断，求数列的通项公式，数列求和．【解析】【答案】（Ⅰ）详见解析，（Ⅱ）详见解析．22、略

【分析】【解析】

试题分析：(1)利用复合函数单调性知：分解为内外层函数求函数的单调递增区间，要求内外层单调性一致，内层为减函数，所以外层也为减函数，所以

(2)根据左加右减变换到然后根据上加下减再变换到再做关于y轴的对称变换，得到

试题解析：（1）最小正周期为令则在上为增函数，即＜＜∴＜＜

的增区间为

（2）

。

。

考点：1.的性质；2.的图像变换.【解析】【答案】（1）（2）详见解析.23、略

【分析】

（1）利用赋值法；令x=0，y=0，结合f（x+y）=f（x）+f（y）-3，可求f（0）的值；

（2）在R上设出两个变量；利用当x＞0时，f（x）＜3，确定函数值的大小关系，即可证得结论；

（3）利用单调性；转化为具体不等式，再分离参数，利用基本不等式，即可求得实数x的取值范围．

本题考查抽象函数，考查赋值法的运用，考查函数单调性的证明，考查恒成立问题，考查分离参数、基本不等式的运用，正确分离参数，求出最值是关键．【解析】解：（1）令x=0；y=0，则f（0+0）=f（0）+f（0）-3；

∴f（0）=3；

（2）f（x）是R上的减函数；证明如下：

设x1＞x2，f（x1）-f（x2）=f（x1-x2+x2）-f（x2）=f（x1-x2）+f（x2）-3-f（x2）=f（x1-x2）-3；

∵x1-x2＞0；

∴f（x1-x2）＜3；

∴f（x1）＜f（x2）；即f（x）是R上的减函数；

（3）由（2）知f（x）是R上的减函数；

∴（t-2）|x-4|＜t2-4t+13对t∈（2；4）恒成立；

∴对t∈（2；4）恒成立；

∴|x-4|＜

∴

设当t∈（2，4）时

于是解得：．五、计算题(共4题，共20分)24、略

【分析】【分析】要求PE+PC的最小值，PE，PC不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PE，PC的值，从而找出其最小值求解．【解析】【解答】解：如图；连接AE；

因为点C关于BD的对称点为点A；

所以PE+PC=PE+AP；

根据两点之间线段最短可得AE就是AP+PE的最小值；

∵正方形ABCD的边长为8cm；CE=2cm；

∴BE=6cm；

∴AE==10cm．

∴PE+PC的最小值是10cm．25、略

【分析】【分析】先移项并整理得到=，然后两边进行6次方，求解即可．【解析】【解答】解：原式可化为=；

6次方得，（x-1）3=（x-1）2；

即（x-1）2（x-2）=0；

∴x-1=0；x-2=0；

解得x=1或x=2．

故答案为：1或2．26、略

【分析】【解析】

（1）由绝对值不等式，有那么