2025年粤人版高一数学上册阶段测试试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年粤人版高一数学上册阶段测试试卷556考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共5题，共10分)1、【题文】给出下列命题:

①没有公共点的两条直线平行;

②互相垂直的两条直线是相交直线;

③既不平行也不相交的直线是异面直线;

④不同在任一平面内的两条直线是异面直线.

其中正确命题的个数是()A.1B.2C.3D.42、【题文】下列函数图象与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是()．3、【题文】已知f(x)是以2为周期的偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)＝那么在区间(－1,3)内，关于x的方程f(x)＝kx＋k(k∈R)有4个根，则k的取值范围是()．A.0<k≤或k＝B.0<k≤C.0<k<或k＝D.0<k<4、设f（x）=lg（+a）是奇函数，且在x=0处有意义，则该函数是（）A.（﹣∞，+∞）上的减函数B.（﹣∞，+∞）上的增函数C.（﹣1，1）上的减函数D.（﹣1，1）上的增函数5、已知函数f（x）=则f（﹣）+f（）=（）A.3B.5C.D.评卷人得分二、填空题(共8题，共16分)6、甲、乙、丙、丁四位同学参加校田径运动会4×100米接力跑比赛，如果任意安排四位同学的跑步顺序，那么恰好由甲将接力棒交给乙的概率是____．7、．数列{}是等差数列，=7，则=_________8、【题文】已知不等式成立，则实数a的取值范围是_____________．9、【题文】若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是____.10、【题文】下图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积是________________.11、【题文】已知全集集合则____．12、【题文】已知偶函数在内单调递减，若则之间的大小关系为____。13、设x∈R，向量=（x，1），=（1，-2），且⊥则x=______．评卷人得分三、解答题(共7题，共14分)14、为扩大城市建设规模；保护环境，对某工厂（如图示）的烟囱实施定向爆破．在烟囱AB倒下的BDC方向有一棵树冠半径为10米的古树，测量员在古树下D点测得烟囱顶部的仰角为30°，又在距离D点60米的C点测得烟囱顶部的仰角为15°．请用充分的理由说明当烟囱倒下时能否保障古树的安全．

15、一个袋子内装有若干个黑球，3个白球，2个红球（所有的球除颜色外其它均相同），从中任取2个球，每取得一个黑球得0分，每取一个白球得1分，每取一个红球得2分，已知得0分的概率为用随机变量X表示取2个球的总得分．

（Ⅰ）求袋子内黑球的个数；

（Ⅱ）求X的分布列．

16、已知定点O（0，0），A（3，0），动点P到定点O距离与到定点A的距离的比值是．

（Ⅰ）求动点P的轨迹方程；并说明方程表示的曲线；

（Ⅱ）当λ=4时；记动点P的轨迹为曲线D．

①若M是圆E：（x-2）2+（y-4）2=64上任意一点；过M作曲线D的切线，切点是N，求|MN|的取值范围；

②已知F；G是曲线D上不同的两点，对于定点Q（-3，0），有|QF|•|QG|=4．试问无论F，G两点的位置怎样，直线FG能恒和一个定圆相切吗？若能，求出这个定圆的方程；若不能，请说明理由．

17、（6分）已知数列满足如图所示的程序框图。（I）写出数列的一个递推关系式；并求数列的通项公式（Ⅱ）设数列的前项和证明不等式≤对任意皆成立．18、【题文】某商场在店庆一周年开展“购物折上折活动”：商场内所有商品按标价的八折出售，折后价格每满500元再减100元．如某商品标价为1500元，则购买该商品的实际付款额为1500×0.8-200=1000（元）．设购买某商品得到的实际折扣率．设某商品标价为元，购买该商品得到的实际折扣率为．

（Ⅰ）写出当时，关于的函数解析式；并求出购买标价为1000元商品得到的实际折扣率；

（Ⅱ）对于标价在［2500,3500］的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可得到的实际折扣率低于19、【题文】（本小题满分14分）已知函数且

（1）求的值;（2）判定的奇偶性;20、m为何值时，方程x2+y2-4x+2my+2m2-2m+1=0表示圆，并求半径最大时圆的方程．评卷人得分四、证明题(共4题，共32分)21、如图；在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E为AD的中点，DF⊥BE，垂足为F，CF交AD于点G．

求证：（1）∠CFD=∠CAD；

（2）EG＜EF．22、初中我们学过了正弦余弦的定义，例如sin30°=，同时也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根据如图，设计一种方案，解决问题：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，设AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面积S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．23、如图；过圆O外一点D作圆O的割线DBA，DE与圆O切于点E，交AO的延长线于F，AF交圆O于C，且AD⊥DE．

（1）求证：E为的中点；

（2）若CF=3，DE•EF=，求EF的长．24、如图；已知AB是⊙O的直径，P是AB延长线上一点，PC切⊙O于C，AD⊥PC于D，CE⊥AB于E，求证：

（1）AD=AE

（2）PC•CE=PA•BE．评卷人得分五、作图题(共1题，共8分)25、绘制以下算法对应的程序框图：

第一步；输入变量x；

第二步，根据函数f（x）=

对变量y赋值；使y=f（x）；

第三步，输出变量y的值．评卷人得分六、计算题(共2题，共14分)26、已知等边三角形ABC内一点P，PA、PB、PC的长分别为3厘米、4厘米、5厘米，那么∠APB为____．27、比较大小：，，则A____B．参考答案一、选择题(共5题，共10分)1、B【分析】【解析】没有公共点的两条直线平行或异面,故命题①错;互相垂直的两条直线相交或异面,故命题②错;既不平行也不相交的直线是异面直线,不同在任一平面内的两条直线是异面直线,命题③④正确,故选B.【解析】【答案】B2、C【分析】【解析】只有零点两侧的函数值符号相反且在零点附近连续时才可用二分法．【解析】【答案】C3、B【分析】【解析】因为直线y＝kx＋k过定点(－1,0)，画出函数f(x)在区间(－1,3)的图象，要使方程f(x)＝kx＋k(k∈R)有4个根，即直线y＝kx＋k和函数f(x)在区间(－1,3)的图象有4个交点，显然当0<k≤时满足条件，假若当直线y＝kx＋k和函数f(x)的图象在区间(2,3)上相切时也满足条件，但是这是不可能的，因为联立得ky2－y＋3k＝0，令Δ＝0得k＝或k＝－(舍去)，当k＝时，解得x＝5∉(2,3)，所以0<k≤【解析】【答案】B4、D【分析】【解答】由于f（x）=lg（+a）是奇函数；且在x=0处有意义；

故有f（0）=0；即lg（2+a）=0，解得a=﹣1．

故f（x）=lg（﹣1）=lg（）．

令＞0；求得﹣1＜x＜1，故函数f（x）的定义域为（﹣1，1）．

再根据f（x）=lg（）=lg（﹣1﹣），函数t=﹣1﹣在（﹣1；1）上是增函数；

可得函数f（x）在（﹣1；1）上是增函数；

故选D．

【分析】由f（0）=0，求得a的值，可得f（x）=lg（）；由此求得函数f（x）的定义域．再根据f（x）=

lg（﹣1﹣），以及t=﹣1﹣在（﹣1，1）上是增函数，可得结论．5、A【分析】【解答】解：∵函数f（x）=

∴f（﹣）=f（）﹣1=﹣1=1；

f（）==2；

∴f（﹣）+f（）=1+2=3．

故选：A．

【分析】利用分段函数的性质求解．二、填空题(共8题，共16分)6、略

【分析】【分析】列举出所有情况，让恰好由甲将接力棒交给乙的情况数除以总情况数即为所求的概率．【解析】【解答】解：画树状图得：

∴一共有24种情况；恰好由甲将接力棒交给乙的有6种情况；

∴恰好由甲将接力棒交给乙的概率是=0.25．

故答案为：0.25．7、略

【分析】【解析】

因为数列{}是等差数列，=7，则=7=49.【解析】【答案】498、略

【分析】【解析】

试题分析：由绝对值的几何意义，所以恒成立，须恒成立.所以故答案为

考点：绝对值的几何意义，对数函数的性质.【解析】【答案】9、略

【分析】【解析】由三视图可知此几何体是一个平躺的直三棱柱，所以【解析】【答案】1.10、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】11、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】12、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】____13、略

【分析】解：x∈R，向量=（x，1），=（1，-2），且⊥

可得：x-2=0；解得x=2．

故答案为：2．

利用向量垂直；列出方程求解即可．

本题考查向量的垂直的充要条件的应用，是基础题．【解析】2三、解答题(共7题，共14分)14、略

【分析】【分析】由∠C=15°，∠ADB=30°，可得AD=CD，在Rt△ABD中，利用三角函数即可求得AB与BD的长，则可求得当烟囱倒下时能否保障古树的安全．【解析】【解答】解：∵∠C=15°；∠ADB=30°．

∴∠CAD=∠C=15°；

∴AD=CD=60米，AB=30米，DB=30米；

∵30-10＞30；

即AB＜BD-10；

∴当烟囱倒下时，不会伤及古树．15、略

【分析】

（Ⅰ）设袋中黑球的个数为n，则Pp（ξ=0）==

化简得：n2-3n-4=0；解得n=4或n=-1（舍去），即有4个黑球．（6分）

（Ⅱ）p（ξ=0）=p（ξ=1）==

P（ξ=2）==p（ξ=3）==

P（ξ=4）==（10分）

∴ξ的分布列。ξ1234P（12分）

【解析】【答案】（I）由题意设袋中黑球的个数为n个，由于p（ξ=0）==化简即可得到n的方程求解即可；

（II）由题意由于随机变量ξ表示取2个球的总得分；根据题意可以得到ξ=0，1，2，3，4，利用随机变量的定义及等可能事件的概率公式求出每一个值下的概率，列出其分布列．

16、略

【分析】

（Ⅰ）设动点P的坐标为（x，y），则由得λ（x2+y2）=（x-3）2+y2；

整理得：（λ-1）x2+（λ-1）y2+6x-9=0．

∵λ＞0；∴当λ=1时，则方程可化为：2x-3=0，故方程表示的曲线是线段OA的垂直平分线；

当λ≠1时，则方程可化为即方程表示的曲线是以为圆心，为半径的圆．5分。

（Ⅱ）当λ=4时，曲线D的方程是x2+y2+2x-3=0；故曲线D表示圆，圆心是D（-1，0），半径是2．

①由及5＜8-2有：两圆内含，且圆D在圆E内部．

如图所示，由|MN|2=|MD|2-|DN|2有：|MN|2=|MD|2-4，故求|MN|的取值范围就是求|MD|的取值范围．

而D是定点，M是圆上的动点，故过D作圆E的直径，得|MD|min=8-5=3，|MD|max=8+5=13，故5≤|MN|2≤165，．9分。

②解法一：设点Q到直线FG的距离为d；∠FQG=θ；

则由面积相等得到|QF|•|QG|sinθ=d|FG|，且圆的半径r=2．

即．于是顶点Q到动直线FG的距离为定值；

即动直线FG与定圆（x+3）2+y2=1相切．

②解法二：设F，G两点的坐标分别为F（x1，y1），G（x2，y2）；

则由|QF|•|QG|=4有：结合有：

若经过F；G两点的直线的斜率存在；设直线FG的方程为y=mx+n；

由消去y有：（1+m2）x2+（2mn+2）x+n2-3=0，则

所以

由此可得8m2-6mn+n2=1，也即（3m-n）2=1+m2，（※）．

假设存在定圆（x-a）2+（y-b）2=r2；总与直线FG相切，则。

是定值r，即d与m，n无关，与（※）对比，有

此时故存在定圆（x+3）2+y2=1；

当直线FG的斜率不存在时，x1=x2=-2；直线FG的方程是x=-2，显然和圆相切．

故直线FG能恒切于一个定圆（x+3）2+y2=1．14分．

【解析】【答案】（Ⅰ）设动点坐标，利用动点P到定点O距离与到定点A的距离的比值是建立方程，化简即可得到动点P的轨迹方程，从而可得方程表示的曲线；

（Ⅱ）当λ=4时；确定动点P的轨迹方程．

①确定两圆内含，且圆D在圆E内部．由|MN|2=|MD|2-|DN|2有：|MN|2=|MD|2-4；故求|MN|的取值范围就是求|MD|的取值范围；

②解法一：设点Q到直线FG的距离为d；∠FQG=θ，由面积相等得到顶点Q到动直线FG的距离为定值，从而可得结论；

解法二：假设存在；设出直线方程，利用直线与圆相切，得出圆心到直线的距离等于半径，即可得到结论．

17、略

【分析】本试题主要是考查了框图的知识，以及数列的通项公式和求和的综合运用。（1）由程序框图可知,数列{an}的一个递推关系式:．又所以数列是首项为且公比为的等比数列，可得结论。（2）由（Ⅰ）可知数列的前项和对任意的所以不等式对任意皆成立．只要作差可以得到参数的取值范围。解（Ⅰ）由程序框图可知,数列{an}的一个递推关系式:1分．又所以数列是首项为且公比为的等比数列，3分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知数列的前项和4分对任意的所以不等式对任意皆成立．6分【解析】【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析。18、略

【分析】【解析】

试题分析：（Ⅰ）按折扣率公式计算即可；但要注意分段；（Ⅱ）按折扣率公式计算，解不等式即可.

试题解析：（Ⅰ）∵∴

当时，即购买标价为1000元的商品得到的实际折扣率为0.7．

（Ⅱ）当时，

①当即时，解得∴

②当即时，解得∴

综上，或

即顾客购买标价在间的商品，可得到的实际折扣率低于．

考点：函数的应用、分段函数、解不等式.【解析】【答案】（Ⅰ）0.7；（Ⅱ）19、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】

解：（1）因为所以4分。

7分。

（2）由（1）得∴的定义域为9分。

又所以是奇函数。14分20、略

【分析】

方程即（x-2）2+（y+m）2=-m2+2m+3，它表示圆时，应有-m2+2m+3＞0，求得m的范围．当半径最大时，应有-m2+2m+3最大；利用二次函数的性质求得此时m的值，可得对应的圆的方程．

本题主要考查圆的标准方程，求二次函数的最大值，属于基础题．【解析】解：方程x2+y2-4x+2my+2m2-2m+1=0即（x-2）2+（y+m）2=-m2+2m+3；它表示圆时；

应有-m2+2m+3＞0；求得-1＜m＜3．

当半径最大时，应有-m2+2m+3最大，此时，m=1，圆的方程为x2+y2-4x+2y+1=0．四、证明题(共4题，共32分)21、略

【分析】【分析】（1）连接AF，并延长交BC于N，根据相似三角形的判定定理证△BDF∽△DEF，推出，=；再证△CDF∽△AEF，推出∠CFD=∠AFE，证出A；F、D、C四点共圆即可；

（2）根据已知推出∠EFG=∠ABD，证F、N、D、G四点共圆，推出∠EGF=∠AND，根据三角形的外角性质推出∠EGF＞∠EFG即可．【解析】【解答】（1）证明：连接AF，并延长交BC于N，

∵AD⊥BC；DF⊥BE；

∴∠DFE=∠ADB；

∴∠BDF=∠DEF；

∵BD=DC；DE=AE；

∵∠BDF=∠DEF；∠EFD=∠BFD=90°；

∴△BDF∽△DEF；

∴=；

则=；

∵∠AEF=∠CDF；

∴△CDF∽△AEF；

∴∠CFD=∠AFE；

∴∠CFD+∠AEF=90°；

∴∠AFE+∠CFE=90°；

∴∠ADC=∠AFC=90°；

∴A；F、D、C四点共圆；

∴∠CFD=∠CAD．

（2）证明：∵∠BAD+∠ABD=90°；∠CFD+∠EFG=∠EFD=90°，∠CFD=∠CAD=∠BAD；

∴∠EFG=∠ABD；

∵CF⊥AD；AD⊥BC；

∴F；N、D、G四点共圆；

∴∠EGF=∠AND；

∵∠AND＞∠ABD；∠EFG=∠ABD；

∴∠EGF＞∠EFG；

∴DG＜EF．22、略

【分析】【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E；根据正弦的定义可以表示出CE的长度，然后利用三角形的面积公式列式即可得解；

（2）根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根据正弦与余弦的定义分别把BD、AD、CD，AB，AC转化为三角形函数，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）过点C作CE⊥AB于点E；

则CE=AC•sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB•CE=c•bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根据题意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB•ACsin（α+β）=BD•AD+CD•AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．23、略

【分析】【分析】要证E为中点，可证∠EAD=∠OEA，利用辅助线OE可以证明，求EF的长需要借助相似，得出比例式，之间的关系可以求出．【解析】【解答】（1）证明：连接OE

OA=OE=＞∠OAE=∠OEA

DE切圆O于E=＞OE⊥DE

AD⊥DE=＞∠EAD+∠AED=90°

=＞∠EAD=∠OEA

⇒OE∥AD

=＞E为的中点．

（2）解：连CE；则∠AEC=90°，设圆O的半径为x

∠ACE=∠AED=＞Rt△ADE∽Rt△AEC=＞

DE切圆O于E=＞△FCE∽△FEA

∴，

∴

即DE•EF=AD•CF

DE•EF=；CF=3

∴AD=

OE∥AD=＞=＞=＞8x2+7x-15=0

∴x1=1，x2=-（舍去）

∴EF2=FC•FA=3x（3+2）=15

∴EF=24、略

【分析】【分析】（1）连AC；BC；OC，如图，根据切线的性质得到OC⊥PD，而AD⊥PC，则OC∥PD，得∠ACO=∠CAD，则∠DAC=∠CAO，根据三角形相似的判定易证得Rt△ACE≌Rt△ACD；

即可得到结论；

（2）根据三角形相似的判定易证Rt△PCE∽Rt△PAD，Rt△EBC∽Rt△DCA，得到PC：PA=CE：AD，BE：CE=CD：AD，而CD=CE，即可得到结论．【解析】【解答】证明：（1）连AC、BC，OC，如图，

∵PC是⊙O的切线；

∴OC⊥PD；

而AD⊥PC；

∴OC∥PD；

∴∠ACO=∠CAD；

而∠ACO=∠OAC；

∴∠DAC=∠CAO；

又∵CE⊥AB；

∴∠AEC=90°；

∴Rt△ACE≌Rt△ACD；

∴CD=CE；AD=AE；

（2）在Rt△PCE和Rt△PAD中；∠CPE=∠APD；