2025年北师大新版高一数学下册阶段测试试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年北师大新版高一数学下册阶段测试试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共7题，共14分)1、甲乙两人下棋；甲获胜的概率为30%，甲不输的概率为70%，则甲乙两人下一盘棋，最可能出现的情况是（）

A.甲获胜。

B.乙获胜。

C.二人和棋。

D.无法判断。

2、【题文】已知直线与圆交于两点，且则实数的值为()A.2B.-2C.2或-2D.或3、【题文】两条异面直线所成的角为θ，则θ的取值范围是A.B.C.D.4、设两条直线的方程分别为x+y+a=0和x+y+b=0，已知a、b是关于x的方程x2+x+c=0的两个实根，且0≤c≤则这两条直线间距离的最大值和最小值分别为（）A.B.C.D.5、已知函数f（x）=ex﹣1，g（x）=﹣x2+4x﹣3，若有f（a）=g（b），则b的取值范围为（）A.B.（2﹣2+）C.[1，3]D.（1，3）6、函数y=2sinx的定义域为[a，b]，值域为[-2，]，则b-a的最大值和最小值之和等于（）A.4πB.C.D.3π7、若无穷等差数列{an}的公差为d，则{an}有有限个负数项的条件是（）A.a1＞0，d＞0B.a1＞0，d＜0C.a1＜0，d＞0D.a1＜0，d＜0评卷人得分二、填空题(共9题，共18分)8、已知则f（2）=____．9、已知全集U=R，集合A={m|3≤m＜7}，B={m|2＜m≤10}，则A∩（CUB）=____．10、已知函数f(x)＝s1n2x＋2cos2x＋m在区间[0，]上的最大值为3，则（1）m＝；（2）当f(x)在[a，b]上至少含有20个零点时，b－a的最小值为．11、等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d＜0．若存在正整数m（m≥3），使得am=Sm，则当n＞m（n∈N+）时，有an____sn（填“＞”、“＜”、“=”）12、【题文】一个半径为1的小球在一个棱长为的正四面体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是____.13、【题文】已知PA垂直于正方形ABCD所在平面,连接PB、PC、PD、AC、BD,则下列垂直关系中正确的序号是____.

①平面平面PBC②平面平面PAD③平面平面PCD14、函数是幂函数，且在x∈（0，+∞）上是减函数，则实数m=____．15、已知向量=（3，-2），=（-2，1），=（-12，7），若=m+nm，n∈R，则m+n=______．16、m为任意实数时，直线（m-1）x+（2m-1）y=m-5必过定点______．评卷人得分三、计算题(共7题，共14分)17、一组数据：13，15，18，16，21，13，13，11，10．它们的众数是____，中位数是____．18、（1）计算：．

（2）已知a2+2a-=0，求的值．19、已知x1，x2为方程x2+4x+2=0的两实根，则x13+14x2+55=____．20、等腰三角形的底边长20cm，面积为cm2，求它的各内角．21、写出不等式组的整数解是____．22、设，c2-5ac+6a2=0，则e=____．23、已知∠A为锐角且4sin2A-4sinAcosA+cos2A=0，则tanA=____．评卷人得分四、作图题(共4题，共8分)24、如图A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，且知道CD=3千米，现在要在河边CD上建一水厂，向A、B两村送自来水，铺设管道费用为每千米2000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设管道的费用最省，并求出其费用．25、作出下列函数图象：y=26、以下是一个用基本算法语句编写的程序；根据程序画出其相应的程序框图．

27、请画出如图几何体的三视图．

评卷人得分五、综合题(共4题，共16分)28、抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点A（1；-3），B（3，-3），C（-1，5），顶点为M点．

（1）求该抛物线的解析式．

（2）试判断抛物线上是否存在一点P；使∠POM=90°．若不存在，说明理由；若存在，求出P点的坐标．

（3）试判断抛物线上是否存在一点K，使∠OMK=90°，若不存在，说明理由；若存在，求出K点的坐标．29、如图1，点C将线段AB分成两部分，如果，那么称点C为线段AB的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果；那么称直线l为该图形的黄金分割线．

（1）研究小组猜想：在△ABC中；若点D为AB边上的黄金分割点（如图2），则直线CD是△ABC的黄金分割线．你认为对吗？为什么？

（2）研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交AB于点E，再过点D作直线DF∥CE，交AC于点F，连接EF（如图3），则直线EF也是△ABC的黄金分割线．请你说明理由．30、（2011•青浦区二模）如图，已知边长为3的等边三角形ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿着EF折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，且ED⊥BC，则CE的长是____．31、已知：甲；乙两车分别从相距300（km）的M、N两地同时出发相向而行；其中甲到达N地后立即返回，图1、图2分别是它们离各自出发地的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数图象．

（1）试求线段AB所对应的函数关系式；并写出自变量的取值范围；

（2）当它们行驶到与各自出发地距离相等时，用了（h）；求乙车的速度；

（3）在（2）的条件下，求它们在行驶的过程中相遇的时间．参考答案一、选择题(共7题，共14分)1、C【分析】

由题意甲乙两人下棋；甲获胜的概率为30%，甲不输的概率为70%；

由此可求得和棋的概率是0.4；故甲即乙获胜的概率是0.3

比较三个数据知；甲乙两人下一盘棋，最可能出现的情况是和棋。

故选C

【解析】【答案】甲乙两人下棋；甲获胜的概率为30%，甲不输的概率为70%，由此可求得和棋的概率是0.4，求出甲输的概率，对三个数据比较即可得到最可能出现的情况。

2、C【分析】【解析】由知：

圆心到直线的距离是故选C【解析】【答案】C3、B【分析】【解析】本题考查两条异面直线所成的角的范围。

异面直线是空间中不在任一平面内的直线.设是空间中两条异面直线，在空间任取一点过点作直线则所成的锐角或直角即为异面直线所成的角，其范围为

故正确答案为

。【解析】【答案】B4、D【分析】【解答】解：因为a，b是方程x2+x+c=0的两个实根；

所以a+b=﹣1，ab=c，两条直线之间的距离d=

所以d2==

因为0≤c≤

所以≤1﹣4c≤1；

即d2∈[]，所以两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是．

故选：D．

【分析】利用方程的根，求出a，b，c的关系，求出平行线之间的距离表达式，然后求解距离的最值．5、B【分析】【解答】解：∵f（a）=g（b）；

∴ea﹣1=﹣b2+4b﹣3

∴﹣b2+4b﹣2=ea＞0

即b2﹣4b+2＜0，求得2﹣＜b＜2+

故选B

【分析】利用f（a）=g（b），整理等式，利用指数函数的性质建立不等式求解即可．6、C【分析】解：由于函数y=2sinx的最大值为2；最小值为-2；

而函数y=2sinx的定义域为[a，b]，值域为[-2，]；

不妨假设[a，b]中含有-

当b-a最大值时，a=-b=此时，b-a=

当b-a最小值时，a=-b=此时，b-a=

故b-a的最大值和最小值之和等于=

故选：C．

由题意结合三角函数的图象，求得b-a的最大值和b-a的最小值；可得结论．

本题考查三角函数的图象和性质，涉及三角函数的最值，属于中档题．【解析】【答案】C7、C【分析】解：∵无穷等差数列{an}的公差为d；

∴当a1＞0；d＞0时，数列单调递增；

∴{an}没有负数项；故A错误；

当a1＞0；d＜0时，数列单调递减；

∴{an}没有无限个负数项；故B错误；

当a1＜0；d＞0时，数列单调递增；

∴{an}有有限个负数项；故C正确；

当a1＜0；d＜0时，数列单调递减；

∴{an}全是负数项；故D错误．

故选：C．

由等差数列的单调性结合题意；逐个选项验证可得．

本题考查等差数列的通项公式，涉及数列的单调性，逐个选项验证是解决问题的关键，属基础题．【解析】【答案】C二、填空题(共9题，共18分)8、略

【分析】

∵

∴f（2）=f（）==．

故答案为：．

【解析】【答案】根据把f（2）等价转化为f（）；由此能求出结果．

9、略

【分析】

由全集U=R，B={m|2＜m≤10}，所以CUB={m|m≤2或m＞10}．

又A={m|3≤m＜7}，所以A∩（CUB）={m|3≤m＜7}∩{m|m≤2或m＞10}=∅．

故答案为∅．

【解析】【答案】直接利用交；并、补集的运算求解．

10、略

【分析】试题分析：（1）在区间[0，]上的函数值范围为又最大值为3，刚(2)原函数周期与函数在每个周期内有两个零点，结合图像，b－a的最小值为考点：二倍角公式，辅助角公式，的图角与性质.【解析】【答案】（1）3（2）11、略

【分析】

由am=Sm=a1+a2++am-1+am=Sm-1+am；

得到Sm-1=0，又d＜0，得到am＜0，an＜0，且am到an所有项都小于0；

则Sn=a1+a2++am-1+am+am+1++an=am+am+1++an＜an．

故答案为：＞

【解析】【答案】根据am=Sm，利用等差数列的前m项和的公式化简后，解得Sm-1=0，有因为公差d小于0，所以得到从am开始到an的各项都为负数，然后列举出Sn的各项，根据前m项和为0，以后的项都为负数，根据两负数比较大小的方法即可得到Sn＜an．

12、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】13、略

【分析】【解析】

试题分析：易证平面则平面平面又∥故平面则平面平面因此①②正确.

考点：线面垂直、面面垂直。【解析】【答案】①②14、2【分析】【解答】解：是幂函数。

∴m2﹣m﹣1=1

解得m=2或m=﹣1

当m=2时，f（x）=x﹣3在x∈（0；+∞）上是减函数，满足题意．

当m=﹣1时，f（x）=x0在x∈（0；+∞）上不是减函数，不满足题意．

故答案为：2．

【分析】根据幂函数的定义，令幂的系数为1，列出方程求出m的值，将m的值代入f（x），判断出f（x）的单调性，选出符和题意的m的值．15、略

【分析】解：向量=（3，-2），=（-2，1），=（-12；7）；

∴m+n=（3m-2n；-2m+n）；

∵=m+n

∴（-12；7）=（3m-2n，-2m+n）；

∴

解得

∴m+n=1；

故答案为：1．

根据已知条件，平面向量坐标的运算可得解方程组即可得到m，n的值，从而求出m+n=1．

本题考查平面向量的坐标运算，解方程组等知识，属于基础题．【解析】116、略

【分析】解：方程（m-1）x+（2m-1）y=m-5可化为（x+2y-1）m+（x+y-5）=0

∵对于任意实数m，当时；直线（m-1）x+（2m-1）y=m-5恒过定点。

由得．

故定点坐标是（9；-4）．

故答案为（9；-4）．

对于任意实数m；直线（m-1）x+（2m-1）y=m-5恒过定点，则与m的取值无关，则将方程转化为（x+2y-1）m+（x+y-5）=0．让m的系数和常数项为零即可．

本题通过恒过定点问题来考查学生方程转化的能力及直线系的理解．【解析】（9，-4）三、计算题(共7题，共14分)17、略

【分析】【分析】本题考查了众数和中位数的定义，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．【解析】【解答】解：13出现的次数最多；故众数是13；

按照从小到大的顺序排列为10；11，13，13，13，15，16，18，21；

∴中位数是13；

故答案为13、13．18、略

【分析】【分析】（1）根据负整数指数的含义；零指数幂的含义以及特殊三角函数值进行计算即可；

（2）先把括号内通分，然后约分得到原式=，再把a2+2a=整体代入进行计算即可．【解析】【解答】解：（1）原式=-1++1-×

=；

（2）原式=[-]•

=•

=；

∵a2+2a-=0；

∴a2+2a=；

∴原式==．19、略

【分析】【分析】由于x1，x2为方程x2+4x+2=0的两实根，由此得到x12+4x1+2=0，x1+x2=-4，x1•x2=2，而x13=x12•x1，然后代入所求代数式即可求解．【解析】【解答】解：∵x1，x2为方程x2+4x+2=0的两实根；

∴x12+4x1+2=0，x1+x2=-4，x1•x2=2；

∴x12=-4x1-2；

而x13=x12•x1；

∴x13+14x2+55

=x12•x1+14x2+55

=（-4x1-2）•x1+14x2+55

=-4x12-2x1+14x2+55

=-4（-4x1-2）-2x1+14x2+55

=14（x1+x2）+8+55

=14×（-4）+63

=7．

故答案为：7．20、略

【分析】【分析】先在△ABC中底边上作高AD，然后利用面积公式求出高的长度，再利用三角函数公式求出其中一个角，其它角就很容易得出了．【解析】【解答】解：如图；在△ABC中，AB=AC，BC=20；

设等腰三角形底边上的高为xcm；底角为α；

则有x•20=；

∴x=；

∵tanα==；

∴∠α=30°；

顶角为180°-2×30°=120°．

∴该等腰三角形三个内角为30°，30°，120°．21、略

【分析】【分析】先解两个不等式，再求不等式组的解集，从而得出正整数解．【解析】【解答】解：；

解①得；x≤1；

解②得；x＞-2；

不等式组的解集为-2＜x≤1；

∴不等式组的整数解为-1；0，1．

故答案为-1，0，1．22、略

【分析】【分析】根据题意，将等式c2-5ac+6a2=0两边同时除以a2，得出关于e的一元二次方程，求解即可．【解析】【解答】解：∵c2-5ac+6a2=0；

∴（c2-5ac+6a2）÷a2=0；

即（）2-5×+6=0；

∵；

∴e2-5e+6=0

因式分解得；（e-2）（e-3）=0；

解得e=2或3．

故答案为2或3．23、略

【分析】【分析】先根据解一元二次方程的配方法，得出2sinA-cosA=0，再根据tanA的定义即可求出其值．【解析】【解答】解：由题意得：（2sinA-cosA）2=0；

解得：2sinA-cosA=0；2sinA=cosA；

∴tanA===0.5．

故答案为：0.5．四、作图题(共4题，共8分)24、略

【分析】【分析】作点A关于河CD的对称点A′，当水厂位置O在线段AA′上时，铺设管道的费用最省．【解析】【解答】解：作点A关于河CD的对称点A′；连接A′B，交CD与点O，则点O即为水厂位置，此时铺设的管道长度为OA+OB．

∵点A与点A′关于CD对称；

∴OA′=OA；A′C=AC=1；

∴OA+OB=OA′+OB=A′B．

过点A′作A′E⊥BE于E；则∠A′EB=90°，A′E=CD=3，BE=BD+DE=3+1=4；

∴在Rt△A′BE中，A′B==5（千米）；

∴2000×5=10000（元）．

答：铺设管道的最省费用为10000元．25、【解答】幂函数y={#mathml#}x32

{#/mathml#}的定义域是[0；+∞），图象在第一象限，过原点且单调递增，如图所示；

【分析】【分析】根据幂函数的图象与性质，分别画出题目中的函数图象即可．26、解：程序框图如下：

【分析】【分析】根据题目中的程序语言，得出该程序是顺序结构，利用构成程序框的图形符号及其作用，即可画出流程图．27、解：如图所示：

【分析】【分析】由几何体是圆柱上面放一个圆锥，从正面，左面，上面看几何体分别得到的图形分别是长方形上边加一个三角形，长方形上边加一个三角形，圆加一点．五、综合题(共4题，共16分)28、略

【分析】【分析】（1）将A（1，-3），B（3，-3），C（-1，5）三点坐标代入y=ax2+bx+c中，列方程组求a、b；c的值；得出抛物线解析式；

（2）抛物线上存在一点P，使∠POM=90˚．设（a，a2-4a）；过P点作PE⊥y轴，垂足为E；过M点作MF⊥y轴，垂足为F，利用互余关系证明Rt△OEP∽Rt△MFO，利用相似比求a即可；

（3）抛物线上必存在一点K，使∠OMK=90˚．过顶点M作MN⊥OM，交y轴于点N，在Rt△OMN中，利用互余关系证明△OFM∽△MFN，利用相似比求N点坐标，再求直线MN解析式，将直线MN解析式与抛物线解析式联立，可求K点坐标．【解析】【解答】解：（1）根据题意，得，解得；

∴抛物线的解析式为y=x2-4x；

（2）抛物线上存在一点P；使∠POM=90˚．

x=-=-=2，y===-4；

∴顶点M的坐标为（2；-4）；

设抛物线上存在一点P，满足OP⊥OM，其坐标为（a，a2-4a）；

过P点作PE⊥y轴；垂足为E；过M点作MF⊥y轴，垂足为F．

则∠POE+∠MOF=90˚；∠POE+∠EPO=90˚．

∴∠EPO=∠FOM．

∵∠OEP=∠MFO=90˚；

∴Rt△OEP∽Rt△MFO．

∴OE：MF=EP：OF．

即（a2-4a）：2=a：4；

解得a1=0（舍去），a2=；

∴P点的坐标为（，）；

（3）过顶点M作MN⊥OM；交y轴于点N．则∠FMN+∠OMF=90˚．

∵∠MOF+∠OMF=90˚；

∴∠MOF=∠FMN．

又∵∠OFM=∠MFN=90˚；

∴△OFM∽△MFN．

∴OF：MF=MF：FN．即4：2=2：FN．∴FN=1．

∴点N的坐标为（0；-5）．

设过点M，N的直线的解析式为y=kx+b，则；

解得，∴直线的解析式为y=x-5；

联立得x2-x+5=0，解得x1=2，x2=；

∴直线MN与抛物线有两个交点（其中一点为顶点M）．

另一个交点K的坐标为（，-）；

∴抛物线上必存在一点K，使∠OMK=90˚．坐标为（，-）．29、略

【分析】【分析】（1）设△ABC的边AB上的高为h，由三角形的面积公式即可得出=，=，再由点D为边AB的黄金分割点可得出=；故可得出结论；

（2）由DF∥CE可知△DEC和△FCE的公共边CE上的高也相等，故S△DEC=S△FCE，设直线EF与CD交于点G，由同底等高的三角形的面积相等可知S△DEG=S△FEG，故可得出S△ADC=S四边形AFGD+S△FCG=S△AEF，再由S△BDC=S四边形BEFC，再由=可知=，故直线EF也是△ABC的黄金分割线．【解析】【解答】解：（1）直线CD是△ABC的黄金分割线．理由如下：

设△ABC的边AB上的高为h．

∵S△ADC=AD•h，S△BDC=BD•h，S△ABC=AB•h；

∴=，=；

又∵点D为边AB的黄金分割点；

∴=；

∴=；

∴直线CD是