2025年沪教版高一数学上册月考试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年沪教版高一数学上册月考试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共6题，共12分)1、在空间四边形ABCD各边AB；BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果与EF，GH能相交于点P，那么（）

A.点P不在直线AC上。

B.点P必在直线BD上。

C.点P必在平面ABC内。

D.点P必在平面ABC外。

2、已知向量=（-1，4），=（2，-1），则•等于（）

A.（-2；-4）

B.9

C.2

D.-6

3、【题文】已知是实数，则“且”是“且”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4、如图；一个正方形OABC在斜二测画法下的直观图是个一条边长为1的平行四边形，则正方形OABC的面积为（）

A.1B.4C.1或4D.不能确定5、定义函数y=f（x），x∈D，若存在常数C，对于任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D，使=C，则称函数f（x）在D上的“均值”为C，已知f（x）=log2x，x∈[2，8]，则函数f（x）在[2，8]上的“均值”为（）A.1B.2C.3D.46、已知集合A={x|x2-2x-3＜0}，集合B={x|2x+1＞1}，则∁BA=（）A.[3，+∞）B.（3，+∞）C.（-∞，-1]∪[3，+∞）D.（-∞，-1）∪（3，+∞）评卷人得分二、填空题(共8题，共16分)7、终边在y轴非负半轴的角的集合是____．8、若三直线2x+3y+8=0，x-y-1=0和x+ky=0相交于一点，则k=____．9、已知则cos2x=____．10、【题文】设命题p：∀a＞0，a≠1，函数f(x)＝ax－x－a有零点．则¬p：________________.11、【题文】若四面体的三组对棱分别相等，即则________.(写出所有正确结论编号)

①四面体每组对棱相互垂直。

②四面体每个面的面积相等。

③从四面体每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于而小于

④连接四面体每组对棱中点的线段互垂直平分。

⑤从四面体每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长12、【题文】顶点在同一球面上的正四棱锥中，则两点间的球面距离为____．13、解关于x的不等式≤2（其中a＞0）．14、直线l1：y=2x与直线l2：ax+by+c=0（abc≠0）相互垂直，当a，b，c成等差数列时，直线l1，l2与y轴围成的三角形的面积S=______．评卷人得分三、计算题(共9题，共18分)15、若a、b互为相反数，则3a+3b-2的值为____．16、先化简，再求值：，其中．17、关于x3-ax2-2ax+a2-1=0只有一个实数根，则a的取值范围是____．18、如图，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过A作⊙O1的切线交⊙O2于E，连接EB并延长交⊙O1于C，直线CA交⊙O2于点D．

（1）当A；D不重合时；求证：AE=DE

（2）当D与A重合时，且BC=2，CE=8，求⊙O1的直径．19、已知方程x2-2x+m+2=0的两实根x1，x2满足|x1|+|x2|≤3，试求m的取值范围．20、一次函数y=3x+m与反比例函数y=的图象有两个交点；

（1）当m为何值时；有一个交点的纵坐标为6？

（2）在（1）的条件下，求两个交点的坐标．21、比较大小：，，则A____B．22、已知关于x的方程：

（1）求证：无论m取什么实数值；这个方程总有两个相异实根；

（2）若这个方程的两个实根x1、x2满足x2-x1=2，求m的值及相应的x1、x2．23、不论实数k为何值，直线（2k+1）x+（1-k）y+7-k=0恒经过的定点坐标是____．评卷人得分四、证明题(共4题，共24分)24、已知D是锐角△ABC外接圆劣弧的中点；弦AD与边BC相交于点E，而且AB：AC=2：1，AB：EC=3：1．求：

（1）EC：CB的值；

（2）cosC的值；

（3）tan的值．25、已知G是△ABC的重心，过A、G的圆与BG切于G，CG的延长线交圆于D，求证：AG2=GC•GD．26、如图；过圆O外一点D作圆O的割线DBA，DE与圆O切于点E，交AO的延长线于F，AF交圆O于C，且AD⊥DE．

（1）求证：E为的中点；

（2）若CF=3，DE•EF=，求EF的长．27、已知ABCD四点共圆，AB与DC相交于点E，AD与BC交于F，∠E的平分线EX与∠F的平分线FX交于X，M、N分别是AC与BD的中点，求证：（1）FX⊥EX；（2）FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．评卷人得分五、作图题(共2题，共6分)28、如图A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，且知道CD=3千米，现在要在河边CD上建一水厂，向A、B两村送自来水，铺设管道费用为每千米2000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设管道的费用最省，并求出其费用．29、绘制以下算法对应的程序框图：

第一步；输入变量x；

第二步，根据函数f（x）=

对变量y赋值；使y=f（x）；

第三步，输出变量y的值．评卷人得分六、解答题(共4题，共16分)30、（10分）已知函数的定义域为集合Q,集合（1）若求（2）若求实数的取值范围。31、【题文】（本小题满分12分）

在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ABC=90°，BC=CC1，M、N分别为BB1；

A1C1的中点.

（1）求证：CB1⊥平面ABC1；

（2）求证：MN//平面ABC1.32、设集合A={x|-1≤x≤2}，B={x|x2-（2m+1）x+2m＜0}．

（1）当m＜时；把集合B用区间表达；

（2）若A∪B=A，求实数m的取值范围．33、tanα+=则求tan2α++的值．参考答案一、选择题(共6题，共12分)1、C【分析】

因为EF；GH能相交于点P；

所以P∈EF；且P∈HG；

又因为EF⊂面ABC；所以P∈面ABC；

因为HG⊂面ACD；所以P∈面ACD；

所以P是平面ABC与面ACD的公共点．

因为面ABC∩面ACD=AC．

所以P∈AC．

即点P必在直线AC上；又AC⊂面ABC；

所以点P必在平面ABC内．

故选C．

【解析】【答案】由EF属于面ABC；而HG属于面ACD，且EF和GH能相交于点P，知P在两面的交线上，知点P必在直线AC上．

2、D【分析】

由向量的数量积得坐标表示可得，

故选：D

【解析】【答案】利用向量的数量积的坐标表示可得代入可求答案．

3、C【分析】【解析】

考点：必要条件；充分条件与充要条件的判断．

专题：综合题．

分析：考虑“a＞0且b＞0”与“a+b＞0且ab＞0”的互推性．

解答：解：由a＞且b＞0?“a+b＞0且ab＞0”；

反过来“a+b＞0且ab＞0”?a＞0且b＞0；

∴“a＞0且b＞0”?“a+b＞0且ab＞0”；

即“a＞0且b＞0”是“a+b＞0且ab＞0”的充分必要条件；

故选C

点评：本题考查充分性和必要性，此题考得几率比较大，但往往与其他知识结合在一起考查．【解析】【答案】C4、C【分析】【解答】解：由题意，O1A1=1，或O1C1=1；

所以正方形OABC的边长为1或2；

所以正方形OABC的面积为1或4．

故选：C．

【分析】由题意，O1A1=1，或O1C1=1，可得正方形OABC的边长为1或2，即可求出正方形OABC的面积．5、B【分析】【解答】解：根据定义；函数y=f（x），x∈D；

若存在常数C，对任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D；

使得=C；则称函数f（x）在D上的均值为C．

令x1•x2=2×8=16；

当x1∈[2，8]时，选定x2=∈[2；8]

可得：C=log2（x1x2）=2；

故选：B．

【分析】根据定义，令x1•x2=2×8=16，当x1∈[2，8]时，选定x2=∈[2，8]，可得C的值．6、A【分析】解：A={x|x2-2x-3＜0}={x|-1＜x＜3}；

B={x|2x+1＞1}={x|x＞-1}；

CBA=[3；+∞）．

故选A．

根据集合A是二次不等式的解集，集合B是指数不等式的解集，因此可求出集合A，B，根据补集的求法求得CBA．

此题是个基础题．考查对集合的理解和二次函数求值域以及对数函数定义域的求法，集合的补集及其运算．【解析】【答案】A二、填空题(共8题，共16分)7、略

【分析】

由象限角、周线角的定义可知终边在y轴非负半轴的角的集合可表示为：{}

故答案为：：{}

【解析】【答案】直接利用象限角；周线角的定义；弦长终边在y轴非负半轴的角的集合，即可得到答案．

8、略

【分析】

联立解得代入直线方程x+ky=0得-1-2k=0，解得k=．

故答案为．

【解析】【答案】利用直线的交点与相应的方程组成的方程组的解的关系即可得出．

9、略

【分析】

cos2x=1-2sin2x=1-2×（）2=

故答案为：．

【解析】【答案】直接利用二倍角的余弦公式，然后将代入即可求出答案．

10、略

【分析】【解析】全称命题的否定为特称命题；¬p：

∃a＞0，a≠1，函数f(x)＝ax－x－a没有零点．【解析】【答案】∃a＞0，a≠1，函数f(x)＝ax－x－a没有零点11、略

【分析】【解析】由题，可知四面体可看成是一个长方体截掉4个顶角后剩下的部分，由此可以判定②④⑤。①不一定对，如果是正四面体则对，③不对，如果是正四面体则夹角和为【解析】【答案】②④⑤12、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】13、略

【分析】

由题原分式不等式；可通分化简为标准的分式不等式，因为含有参数a，需根据两根的大小（有三种情况）进行分类讨论而得出相应的解集；最后综合可得解集．

本题考查了分式不等式的解法以及讨论的数学思想；关键是明确讨论的插入点，正确分类．【解析】解：原不等式可化为即．

当即a=2时；解集为∅；

当即0＜a＜2时，解集为{x|1＜x}；

当即a＜2时，解集为{x|x＜1}；

综上所述0＜a＜2时，解集为{x|1＜x}；

a=2时；解集为∅；

a＞2时，解集为{x|x＜1}．14、略

【分析】解：直线l1：y=2x与直线l2：ax+by+c=0（abc≠0）相互垂直，∴2×（-）=-1，化为b=2a．

当a，b，c成等差数列时，2b=a+c．

∴b=2a；c=3a．

由ax+by+c=0（abc≠0），令x=0，解得y=-．

联立解得x=．

直线l1，l2与y轴围成的三角形的面积S=×==．

故答案为：．

直线l1：y=2x与直线l2：ax+by+c=0（abc≠0）相互垂直，可得2×（-）=-1，化为b=2a．当a，b，c成等差数列时，2b=a+c．由ax+by+c=0（abc≠0），令x=0，解得y．联立解得x=．即可直线l1，l2与y轴围成的三角形的面积S．

本题考查了直线垂直与斜率之间的关系、等差数列的性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【解析】三、计算题(共9题，共18分)15、略

【分析】【分析】根据相反数的定义得到a+b=0，再变形3a+3b-2得到3（a+b）-2，然后把a+b=0整体代入计算即可．【解析】【解答】解：∵a、b互为相反数；

∴a+b=0；

∴3a+3b-2=3（a+b）-2=3×0-2=-2．

故答案为-2．16、略

【分析】【分析】先把括号内通分得原式=•，再把各分式的分子和分母因式分解约分得原式=2（x+2），然后把x=-2代入计算即可．【解析】【解答】解：原式=•

=•

=•

=2（x+2）

=2x+4；

当x=-2；

原式=2（-2）+4=2．17、略

【分析】【分析】先把方程变形为关于a的一元二次方程的一般形式：a2-（x2+2x）a+x3-1=0，然后利用求根公式解得a=x-1或a=x2+x+1；于是有

x=a+1或x2+x+1-a=0，再利用原方程只有一个实数根，确定方程x2+x+1-a=0没有实数根，即△＜0，最后解a的不等式得到a的取值范围．【解析】【解答】解：把方程变形为关于a的一元二次方程的一般形式：a2-（x2+2x）a+x3-1=0；

则△=（x2+2x）2-4（x3-1）=（x2+2）2；

∴a=，即a=x-1或a=x2+x+1．

所以有：x=a+1或x2+x+1-a=0．

∵关于x3-ax2-2ax+a2-1=0只有一个实数根；

∴方程x2+x+1-a=0没有实数根；即△＜0；

∴1-4（1-a）＜0，解得a＜．

所以a的取值范围是a＜．

故答案为a＜．18、略

【分析】【分析】（1）通过证角相等来证边相等．连接AB，那么ABED就是圆O2的内接四边形，根据内接四边形的性质，∠ABC=∠D，那么只要再得出∠DAE=∠ABC即可得证，我们发现∠EAD的对顶角正好是圆O1的弦切角；因此∠DAE=∠ABC，由此便可求出∠DAE=∠D，根据等角对等边也就得出本题要求的结论了；

（2）DA重合时，CA与圆O2只有一个交点，即相切．那么CA，AE分别是⊙O1和⊙O2的直径（和切线垂直弦必过圆心），根据切割线定理AC2=CB•CE，即可得出AC=4，即圆O1的直径是4．【解析】【解答】解：（1）证明：连接AB，在EA的延长线上取一点F，作⊙O1的直径AM；连接CM；

则∠ACM=90°；

∴∠M+∠CAM=90°；

∵AE切⊙O1于A；

∴∠FAM=∠EAM=90°；

∴∠FAC+∠CAM=90°；

∴∠FAC=∠M=∠ABC，

即∠FAC=∠ABC；

∵∠FAC=∠DAE；

∴∠ABC=∠DAE；

而∠ABC是⊙O2的内接四边形ABED的外角；

∴∠ABC=∠D；

∴∠DAE=∠D；

∴EA=ED．

（2）当D与A重合时，直线CA与⊙O2只有一个公共点；

∴直线AC与⊙O2相切；

∴CA，AE分别是⊙O1和⊙O2的直径；

∴由切割线定理得：AC2=BC•CE；

∴AC=4．

答：⊙O1直径是4．19、略

【分析】【分析】由于方程x2-2x+m+2=0的有实根，由此利用判别式可以得到m的一个取值范围，然后利用根与系数的关系讨论|x1|+|x2|≤3就又可以得到m的取值范围，最后取它们的公共部分即可求出m的取值范围．【解析】【解答】解：根据题意可得

△=b2-4ac=4-4×1×（m+2）≥0；

解得m≤-1；

而x1+x2=2，x1x2=m+2；

①当m≤-2时，x1、x2异号；

设x1为正，x2为负时，x1x2=m+2≤0；

|x1|+|x2|=x1-x2==≤3；

∴m≥-；而m≤-2；

∴-≤m≤-2；

②当-2＜m≤-1时，x1、x2同号，而x1+x2=2；

∴x1、x2都为正，那么|x1|+|x2|=x1+x2=2＜3；

符合题意；m的取值范围为-2＜m≤-1．

故m的取值范围为：-≤m≤-1．20、略

【分析】【分析】（1）根据图象；有一个交点的纵坐标为6，即可得出y=6，代入解析式得出二元一次方程组即可求出m的值；

（2）将m的值代入两函数的解析式，并将它们联立，求出方程组的解即可得出交点坐标．【解析】【解答】解：（1）∵图象有一个交点的纵坐标为6；

∴y=6；代入两函数解析式得：

；

∴解得：；

∴当m为5时；有一个交点的纵坐标为6；

（2）∵m=5；代入两函数解析式得出：

；

求出两函数的交点坐标为：

3x+5=；

解得：x1=，x2=-2；

∴将x=-2代入反比例函数解析式得：y==-1；

将x=代入反比例函数解析式得：y==6；

∴两个交点的坐标分别为：（，6），（-2，-1）．21、略

【分析】【分析】利用差减法比较大小．并用字母表示数，再进行分式减法计算．【解析】【解答】解：先设5678901234=a；那么5678901235=a+1；

同样设6789012345=x；那么67890123456=10x+6；

∴A-B=-=；

∵9ax-x=（9a-1）x＞0；

∴A-B＞0；

∴A＞B．

故答案是＞．22、略

【分析】【分析】（1）由于题目证明无论m取什么实数值；这个方程总有两个相异实根，所以只要证明方程的判别式是非负数即可；

（2）首先利用根与系数的关系可以得到x1+x2，x1•x2，然后把x2-x1=2的两边平方，接着利用完全平方公式变形就可以利用根与系数的关系得到关于m的方程，解方程即可解决问题．【解析】【解答】（1）证明：∵=2m2-4m+4=2（m-1）2+2；

∵无论m为什么实数时，总有2（m-1）2≥0；

∴2（m-1）2+2＞0；

∴△＞0；

∴无论m取什么实数值；这个方程总有两个相异实根；

（2）解：∵x2-x1=2；

∴（x2-x1）2=4，而x1+x2=m-2，x1•x2=-；

∴（m-2）2+m2=4；

∴m=0或m=2；

当m=0时，解得x1=-2，x2=0；

当m=2时，解得x1=-1，x2=1．23、略

【分析】【分析】因为不论实数k为何值，直线（2k+1）x+（1-k）y+7-k=0恒经过一定点，可设k为任意两实数（-，1除外），组成方程组求出x，y的值即可．【解析】【解答】解：①特殊值法：设k1=2，k2=0，代入函数关系式得：

解得：．

②分离参数法：由（2k+1）x+（1-k）y+7-k=0；

化简得k（2x-y-1）+x+y+7=0，无论k取何值，只要成立；则肯定符合直线方程；

解得：．

故直线经过的定点坐标是（-2，-5）．四、证明题(共4题，共24分)24、略

【分析】【分析】（1）求出∠BAD=∠CAD，根据角平分线性质推出=；代入求出即可；

（2）作BF⊥AC于F；求出AB=BC，根据等腰三角形性质求出AF=CF，根据三角函数的定义求出即可；

（3）BF过圆心O，作OM⊥BC于M，求出BF，根据锐角三角函数的定义求出即可．【解析】【解答】解：（1）∵弧BD=弧DC；

∴∠BAD=∠CAD；

∴；

∴．

答：EC：CB的值是．

（2）作BF⊥AC于F；

∵=，=；

∴BA=BC；

∴F为AC中点；

∴cosC==．

答：cosC的值是．

（3）BF过圆心O；作OM⊥BC于M；

由勾股定理得：BF==CF；

∴tan．

答：tan的值是．25、略

【分析】【分析】构造以重心G为顶点的平行四边形GBFC，并巧用A、D、F、C四点共圆巧证乘积．延长GP至F，使PF=PG，连接FB、FC、AD．因G是重心，故AG=2GP．因GBFC是平行四边形，故GF=2GP．从而AG=GF．又∠1=∠2=∠3=∠D，故A、D、F、C四点共圆，从而GA、GF=GC•GD．于是GA2=GC•GD．【解析】【解答】证明：延长GP至F；使PF=PG，连接AD，BF，CF；

∵G是△ABC的重心；

∴AG=2GP；BP=PC；

∵PF=PG；

∴四边形GBFC是平行四边形；

∴GF=2GP；

∴AG=GF；

∵BG∥CF；

∴∠1=∠2

∵过A；G的圆与BG切于G；

∴∠3=∠D；

又∠2=∠3；

∴∠1=∠2=∠3=∠D；

∴A；D、F、C四点共圆；

∴GA；GF=GC•GD；

即GA2=GC•GD．26、略

【分析】【分析】要证E为中点，可证∠EAD=∠OEA，利用辅助线OE可以证明，求EF的长需要借助相似，得出比例式，之间的关系可以求出．【解析】【解答】（1）证明：连接OE

OA=OE=＞∠OAE=∠OEA

DE切圆O于E=＞OE⊥DE

AD⊥DE=＞∠EAD+∠AED=90°

=＞∠EAD=∠OEA

⇒OE∥AD

=＞E为的中点．

（2）解：连CE；则∠AEC=90°，设圆O的半径为x

∠ACE=∠AED=＞Rt△ADE∽Rt△AEC=＞

DE切圆O于E=＞△FCE∽△FEA

∴，

∴

即DE•EF=AD•CF

DE•EF=；CF=3

∴AD=

OE∥AD=＞=＞=＞8x2+7x-15=0

∴x1=1，x2=-（舍去）

∴EF2=FC•FA=3x（3+2）=15

∴EF=27、略

【分析】【分析】（1）在△FDC中；由三角形的外角性质知∠FDC=∠FAE+∠AED①，同理可得∠EBC=∠FAE+∠AFB②；由于四边形ABCD内接于圆，则∠FDC=∠ABC，即∠FDC+∠EBC=180°，联立①②，即可证得∠AFB+∠AED+2∠FAE=180°，而FX；EX分别是∠AFB和∠AED的角平分线，等量代换后可证得∠AFX+∠AEX+∠FAE=90°；可连接AX，此时发现∠FXE正好是∠AFX、∠AEX、∠FAE的和，由此可证得∠FXE是直角，即FX⊥EX；

（2）由已知易得∠AFX=∠BFX，欲证∠MFX=∠NFX，必须先证得∠AFM=∠BFN，可通过相似三角形来实现；首先连接FM、FN，易证得△FCA∽△FDB，可得到FA：FB=AC：BD，而AC=2AM，BD=2BN，通过等量代换，可求得FA：FB=AM：BN，再加上由圆周角定理得到的∠FAM=∠FBN，即可证得△FAM∽△FBN，由此可得到∠AFM=∠BFN，进一步可证得∠MFX=∠NFX，即FX平分∠MFN，同理可证得EX是∠MEN的角平分线．【解析】【解答】证明：（1）连接AX；

由图知：∠FDC是△ACD的一个外角；

则有：∠FDC=∠FAE+∠AED；①

同理；得：∠EBC=∠FAE+∠AFB；②

∵四边形ABCD是圆的内接四边形；

∴∠FDC=∠ABC；

又∵∠ABC+∠EBC=180°；即：∠FDC+∠EBC=180°；③

①+②；得：∠FDC+∠EBC=2∠FAE+（∠AED+∠AFB）；

由③；得：2∠FAE+（∠AED+∠AFB）=180°；

∵FX；EX分别是∠AFB、∠AED的角平分线；

∴∠AFB=2∠AFX；∠AED=2∠AEX，代入上式得：

2∠FAE+2（∠AFX+∠AEX）=180°；

即∠FAE+∠AFX+∠AEX=180°；

由三角形的外角性质知：∠FXE=∠FAE+∠FAX+∠EAX；

故FXE=90°；即FX⊥EX．

（2）连接MF；FN；ME、NE；

∵∠FAC=∠FBD；∠DFB=∠CFA；

∴△FCA∽△FDB；

∴；

∵AC=2AM；BD=2BN；

∴；

又∵∠FAM=∠FBN；

∴△FAM∽△FBNA；得∠AFM=∠BFN；

又∵∠AFX=∠BFX；

∴∠AFX-∠AFM=∠BFX-∠BFN；即∠MFX=∠NFX；

同理可证得∠NEX=∠MEX；

故FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．五、作图题(共2题，共6分)28、略

【分析】【分析】作点A关于河CD的对称点A′，当水厂位置O在线段AA′上时，铺设管道的费用最省．【解析】【解答】解：作点A关于河CD的对称点A′；连接A′B，交CD与点O，则点O即为水厂位置，此时铺设的管道长度为OA+OB．

∵点A与点A′关于CD对称；

∴OA′=OA；A′C=AC=1；

∴OA+OB=OA′+OB=A′B．

过点A′作A′E⊥BE于E；则∠A′EB=90°，A′E=CD=3，BE=BD+DE=3+1=4；

∴在Rt△A′BE中，A′B==5（千米）；

∴2000×5=10000（元）．

答：铺设管道的最省费用为10000元．29、解：程序框图如下：

【分析】【分析】该函数是分段函数，当x取不同范围内的值时，函数解析式不同，因此当给出一个自变量x的值时，必须先判断x的范围，然后确定利用哪一段的解析式求函数值，因为函数解析式分了三段，所以判断框需要两个，即进行两次判断，于是，即可画出相应的程序框图．六、解答题(共4题，共16分)30、略

【分析】试题分析