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文档简介
…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页,总=sectionpages22页第=page11页,总=sectionpages11页2025年粤人版高三数学下册阶段测试试卷含答案考试试卷考试范围:全部知识点;考试时间:120分钟学校:______姓名:______班级:______考号:______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共7题,共14分)1、周长为6,圆心角弧度为1的扇形面积等于()A.1B.C.πD.22、函数y=lg的图象()A.关于x轴对称B.关于原点对称C.关于直线y=x对称D.关于y轴对称3、已知△ABC外接圆O的半径为1,且•=-.∠C=,从圆O内随机取一个点M,若点M取自△ABC内的概率恰为,则△ABC的形状为的形状为()A.直角三角形B.等边三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形4、某学校团委组织演讲比赛,八位评委为某同学的演讲打出的分数的茎叶统计图如图所示,去掉一个最高分和一个最低分后,该同学所剩数据的平均数与方差分别为()A.86,3B.86,C.85,3D.85,5、已知平面上不共线的四点O,A,B,C.若向量则的值为()A.B.C.D.6、若复数是虚数单位,则z在复平面内对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限7、已知sin(娄脕+娄脨5)=33
则cos(2娄脕+2娄脨5)=(
)
A.13
B.33
C.23
D.32
评卷人得分二、填空题(共9题,共18分)8、已知数列{an}满足an+1-an=2n(n∈N*),a1=3,则的最小值为____.9、已知命题“若a=0,则ab=0”,则在该命题的逆命题、否命题和逆否命题这3个命题中,真命题的个数为____.10、“φ=0”是“函数f(x)=sin(x+φ)为奇函数”的____条件.(从“充要”,“充分不必要”,“必要不充分”,“既不充分也不必要”中选择适当的填写)11、(2016春•汕头校级期中)将全体正整数排成一个三角形数阵;根据以上排列规律,数阵中第n(n≥3)行从左至右的第3个数是____.12、已知向量=(-6,y)向量=(-2,1),且,共线,则y=____.13、log93+()=____.14、若等比数列{an}的前n项之积为Tn,则有;类比可得到以下正确结论:若等差数列的前n项之和为Sn,则有____.15、已知奇函数f(x)在(-∞,0)为减函数,f(2)=0,则不等式(x-1)f(x-1)<0的解集为____.16、12、用若干个体积为1的正方体搭成一个几何体,其正视图、侧视图都是如图所示的图形,则这个几何体的最大体积与最小体积的差是____.
评卷人得分三、判断题(共7题,共14分)17、判断集合A是否为集合B的子集;若是打“√”,若不是打“×”.
(1)A={1,3,5},B={1,2,3,4,5,6}.____;
(2)A={1,3,5},B={1,3,6,9}.____;
(3)A={0},B={x|x2+1=0}.____;
(4)A={a,b,c,d},B={d,b,c,a}.____.18、函数y=sinx,x∈[0,2π]是奇函数.____(判断对错)19、判断集合A是否为集合B的子集;若是打“√”,若不是打“×”.
(1)A={1,3,5},B={1,2,3,4,5,6}.____;
(2)A={1,3,5},B={1,3,6,9}.____;
(3)A={0},B={x|x2+1=0}.____;
(4)A={a,b,c,d},B={d,b,c,a}.____.20、已知函数f(x)=4+ax-1的图象恒过定点p,则点p的坐标是(1,5)____.(判断对错)21、已知A={x|x=3k-2,k∈Z},则5∈A.____.22、空集没有子集.____.23、若b=0,则函数f(x)=(2k+1)x+b在R上必为奇函数____.评卷人得分四、计算题(共4题,共8分)24、设a≥0,若函数y=cos2x-asinx+b的值域为[-4;0].
(1)试求a与b的值;
(2)求出使y取得最大值;最小值时的x值;
(3)求函数的单调增区间.25、某公交车站每隔10分钟有一辆汽车到达,乘客到达车站的时刻是任意的,那么一个乘客候车时间不超过6分钟的概率为____.26、复数在复平面内对应的点到原点的距离为____.27、设A={(x,y)|x2+y2=2a2,a>0},,且A∩B≠∅,则实数a的取值范围为____.评卷人得分五、解答题(共4题,共16分)28、已知函数f(x)=(a,b∈R)在x=1处取得极值为2.
(1)求函数的解析式;
(2)求f(x)的单调区间和极值;
(3)求函数在区间[-3,6]上的最小值.29、求函数y=,x∈(-∞,-2)的值域.30、在边长为3的正三角形ABC中,E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点,满足===,将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置,使二面角A1-EF-B成直二面角,连结A1B,A1P(如图).
(I)求证:A1E⊥平面BEP;
(Ⅱ)求点B到面A1PF的距离;
(Ⅲ)求异面直线BP与A1F所成角的余弦.
31、设不等式鈭�2<|x鈭�1|鈭�|x+2|<0
的解集为Mab隆脢M
.
(
Ⅰ)
证明:|13a+16b|<14
(
Ⅱ)
比较|1鈭�4ab|
与2|a鈭�b|
的大小.评卷人得分六、综合题(共4题,共36分)32、如图,在四棱锥P-ABCD中,AB⊥平面PAD,AB∥CD,△PAD是边长为的正三角形;E是PB的中点,F是CD上的点,AB=2DF=1.
(Ⅰ)证明:EF⊥平面PAB;
(Ⅱ)若FC=2,求点C到平面EBF的距离.33、如图,在几何体ABCDE中,CA=CB=2,CA⊥CB,CD⊥平面ABC,F为线段AB的中点,EF∥CD,EF=CD=.
(Ⅰ)求证:平面ABE⊥平面ADE.
(Ⅱ)求几何体ABCDE的体积.34、在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,过A1,C1,B三点的平面截去长方体的一个角后,得如图所示的几何体ABCD-A1C1D1,且这个几何体的体积为.
(1)求棱A1A的长;
(2)若在线段BC1上存在点P,使直线A1P⊥C1D,求二面角D-A1P-B的大小.35、已知公差不为0的等差数列{an}的首项a1=a(a∈R),设数列{an}的前n项和为Sn,且a1、a2、a4恰为等比数列{bn}的前三项.
(1)求数列{an}的通项公式及Sn;
(2)当n≥2时,比较与的大小.(可使用结论:n≥2时,2n>n+1)参考答案一、选择题(共7题,共14分)1、D【分析】【分析】设出扇形的半径,求出扇形的弧长,利用周长公式,求出半径,然后求出扇形的面积.【解析】【解答】解:设扇形的半径为:R;所以,2R+R=6,所以R=2;
扇形的弧长为:2;半径为2;
扇形的面积为:S=×2×2=2
故选:D.2、B【分析】【分析】先求出函数的定义域,再根据函数的奇偶性极即可判断.【解析】【解答】解:因为f(x)=lg;
所以>0;
即函数的定义域为(-∞;-2)∪(2,+∞),定义域关于原点对称;
所以f(-x)=lg=lg=-lg═f(x);
所以函数为奇函数;
故图象关于原点对称;
故选:B3、B【分析】【分析】根据向量的数量积求得∠AOB=,进而求得AB的长度,利用几何概型的概率公式求出三角形ABC的面积,利用三角形的面积公式即可求出三角形各边的长度即可得到结论.【解析】【解答】解:∵•=-;圆的半径为1;
∴cos∠AOB=-
又0<∠AOB<π;
故∠AOB=;
又△AOB为等腰三角形;
故AB=;
从圆O内随机取一个点,取自△ABC内的概率为;
即=;
∴S;
设BC=a,AC=b.∵C=;
∴;
得ab=3;①
由AB2=a2+b2-2abcosC=3,得a2+b2-ab=3,a2+b2=6②
联立①②解得a=b=.
∴△ABC为等边三角形.
故选:B.4、A【分析】【分析】由茎叶图写出8个数据,去掉76和95,然后利用平均数和方差公式计算.【解析】【解答】解:由茎叶图看出;8个数据的最大值是95,最小值是76,去掉后还剩的数据为:84,84,85,87,88,88.
平均数=(84+84+85+87+88+88)=86;
方差为S2=[2(84-86)2+(85-86)2+(87-86)2+2(88-86)2]=3.
故选A.5、A【分析】【解析】试题分析:所以的值为考点:本小题主要考查向量的线性运算以及向量的模的运算求解.【解析】【答案】A6、A【分析】解:∵
∴z在复平面内对应的点的坐标为(3;2),在第一象限.
故选:A.
直接利用复数代数形式的乘除运算化简;求出z的坐标得答案.
本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的代数表示法及其几何意义,是基础题.【解析】【答案】A7、A【分析】解:由题意:sin(娄脕+娄脨5)=33
隆脿cos(2娄脕+2娄脨5)=cos2(娄脕+娄脨5)=1鈭�2sin2(娄脕+娄脨5)=1鈭�2隆脕(33)2=13
.
故选A.
利用二倍角公式求解即可.
本题考查了二倍角公式的运用拢隆
构造思想.
属于比较基础的题.【解析】A
二、填空题(共9题,共18分)8、略
【分析】【分析】数列{an}满足an+1-an=2n(n∈N*),a1=3,利用an=(an-an-1)+(an-1-an-2)++(a2-a1)+a1可得an,再利用不等式的性质、数列的单调性即可得出.【解析】【解答】解:∵数列{an}满足an+1-an=2n(n∈N*),a1=3;
∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)++(a2-a1)+a1
=2(n-1)+2(n-2)++2×1+3
=2×+3
=n2-n+3.
则==n+-1≥-1=2-1,等号不成立,当且仅当n=2时,的最小值为.
故答案为:.9、略
【分析】【分析】分别写出原命题的逆命题、否命题与逆否命题,再判断它们的真假即可.【解析】【解答】解:∵命题“若a=0,则ab=0”;
∴它的逆命题是“若ab=0;则a=0”,它是假命题;
否命题是“若a≠0,则ab≠0”;它是假命题;
逆否命题是“若ab≠0;则a≠0”,它是真命题;
∴这3个命题中;真命题的个数为1.
故答案为:1.10、略
【分析】【分析】根据φ=0;得函数f(x)=sin(x+φ)=sinx,运用奇偶性定义判断,再由函数f(x)=sin(x+φ)为奇函数得出sinφ=0,即,φ=kπ,k∈z;
可以判断答案.【解析】【解答】解:∵φ=0;∴函数f(x)=sin(x+φ)=sinx;
f(-x)=sin(-x)=-sin(x)=-f(x)
∴f(x)为奇函数;
∵函数f(x)=sin(x+φ)为奇函数;
∴sin(-x+φ)=-sin(x+φ)
sinφcosx-cosφsinx=-sinxcosφ-cosxsinφ
sinφcosx=-cosxsinφ;
即sinφ=0;φ=kπ,k∈z;
根据充分必要条件的定义可判断:
“φ=0”是“函数f(x)=sin(x+φ)为奇函数”的充分不必要条件;
故答案为:充分不必要.11、略
【分析】【分析】先找到数的分布规律,求出第n行结束的时候一共出现的数的个数,再求第n+1行从左向右的第3个数即可.【解析】【解答】解:由排列的规律可得,第n-1行结束的时候排了1+2+3++(n-1)=个数.
所以n行从左向右的第3个数+3=.
故答案为.12、略
【分析】【分析】直接利用向量共线定理列出方程求解即可.【解析】【解答】解:向量=(-6,y)向量=(-2,1),且,共线;
所以-6×1=-2y;解得y=3.
故答案为:3.13、略
【分析】【分析】利用指数与对数的运算法则即可得出.【解析】【解答】解:原式=
=
=2.
故答案为:2.14、S3n=3(S2n-Sn)【分析】【分析】本小题主要考查类比推理,由等差和等比数列的通项和求和公式及类比推理思想可得结果.【解析】【解答】解:在等差数列中S3n=Sn+(S2n-Sn)+(S3n-S2n)=(a1+a2++an)++(S2n-Sn)+(a2n+1+a2n+2++a3n)
因为a1+a3n=a2+a3n-1==an+a2n+1=an+1+a2n
所以Sn+(S3n-S2n)=2(S2n-Sn),所以S3n=3(S2n-Sn).
故答案为:S3n=3(S2n-Sn).15、略
【分析】
作函数f(x)的“概念图”如右。
先求不等式xf(x)<0的解;
当x>0时(y轴右侧);f(x)<0(x轴下方),∴x>2
当x<0时(y轴左侧);f(x)>0(x轴下方),∴x<-2
可见不等式xf(x)<0的解为:x<-2或x>2
再将x换成x-1;
得:x-1<-2或x-1>2即x<-1或x>3
故答案为{x|x<-1或x>3}.
【解析】【答案】求不等式(x-1)f(x-1)<0的解集;先转化为求不等式xf(x)<0的解集,根据奇函数的单调性作出“概念图”,分类讨论即可解决.
16、略
【分析】
由正视图;侧视图可知;体积最小时,底层有3个小正方体,上面有2个,共5个;
体积最大时;底层有9个小正方体,上面有2个,共11个;
故这个几何体的最大体积与最小体积的差是6.
故答案为6
【解析】【答案】由题意根据正视图;侧视图都是如图所示的图形;推出几何体的最小体积,最大体积,然后求出它们的差即可.
三、判断题(共7题,共14分)17、√【分析】【分析】根据子集的概念,判断A的所有元素是否为B的元素,是便说明A是B的子集,否则A不是B的子集.【解析】【解答】解:(1)1;3,5∈B,∴集合A是集合B的子集;
(2)5∈A;而5∉B,∴A不是B的子集;
(3)B=∅;∴A不是B的子集;
(4)A;B两集合的元素相同,A=B,∴A是B的子集.
故答案为:√,×,×,√.18、×【分析】【分析】根据奇函数的定义进行判断即可得到答案.【解析】【解答】解:∵x∈[0;2π],定义域不关于原点对称;
故函数y=sinx不是奇函数;
故答案为:×19、√【分析】【分析】根据子集的概念,判断A的所有元素是否为B的元素,是便说明A是B的子集,否则A不是B的子集.【解析】【解答】解:(1)1;3,5∈B,∴集合A是集合B的子集;
(2)5∈A;而5∉B,∴A不是B的子集;
(3)B=∅;∴A不是B的子集;
(4)A;B两集合的元素相同,A=B,∴A是B的子集.
故答案为:√,×,×,√.20、√【分析】【分析】已知函数f(x)=ax-1+4,根据指数函数的性质,求出其过的定点.【解析】【解答】解:∵函数f(x)=ax-1+4;其中a>0,a≠1;
令x-1=0,可得x=1,ax-1=1;
∴f(x)=1+4=5;
∴点P的坐标为(1;5);
故答案为:√21、×【分析】【分析】判断5与集合A的关系即可.【解析】【解答】解:由3k-2=5得,3k=7,解得k=;
所以5∉Z;所以5∈A错误.
故答案为:×22、×【分析】【分析】根据空集的性质,分析可得空集是其本身的子集,即可得答案.【解析】【解答】解:根据题意;空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集;
即空集是其本身的子集;则原命题错误;
故答案为:×.23、√【分析】【分析】根据奇函数的定义即可作出判断.【解析】【解答】解:当b=0时;f(x)=(2k+1)x;
定义域为R关于原点对称;
且f(-x)=-(2k+1)x=-f(x);
所以函数f(x)为R上的奇函数.
故答案为:√.四、计算题(共4题,共8分)24、略
【分析】【分析】(1)令sinx=t;由二次函数区间的最值,分类讨论可得;
(2)由(1)可得y=-(t+1)2;由二次函数和三角函数知识易得;
(3)由正弦函数的单调性结合复合函数单调性可得.【解析】【解答】解:(1)令sinx=t;当x∈R时,t∈[-1,1];
换元可得y=1-t2-at+b=-(t+)2++b+1;
∵a≥0,∴二次函数的对称轴t=-≤0;
结合抛物线开口向下可得当-≤-1即a≥2时;
t=-1时,ymax=a+b=0,t=1时,ymin=-a+b=-4;
联立解得a=2,b=-2符合题意;
当-1<-≤0即0≤a<2时;
t=-时,ymax=+b+1=0,t=1时,ymin=-a+b=-4;
联立解得a=-6且b=-10,或a=2且b=-2均不符合题意;
综上可得a为2且b为-2;
(2)由(1)可得y=-(t+1)2;
故当t=sinx=1即x=2kπ+(k∈Z)时;函数取最小值-4;
当t=sinx=-1即x=2kπ-(k∈Z)时;函数取最大值0;
(3)由复合函数单调性可知,当x∈[2kπ-,2kπ+]时;t=sinx单调递增,原函数单调递减;
当x∈[2kπ+,2kπ+]时,t=sinx单调递减,原函数单调递增.25、略
【分析】【分析】由乘客到达车站的时刻是任意的知这是一个几何概型,公共汽车站每隔10分钟有一辆汽车到达知事件总数包含的时间长度是10,而满足一个乘客候车时间不超过7分钟的事件包含的时间长度是6,代入数据,得到结果.【解析】【解答】解:由题意知这是一个几何概型;
∵公共汽车站每隔10分钟有一辆汽车到达;
∴事件总数包含的时间长度是10;
∵乘客到达车站的时刻是任意的;
∴满足一个乘客候车时间不超过6分钟的事件包含的时间长度是6;
由几何概型公式得到P=0.6;
故答案为:0.6.26、略
【分析】【分析】根据复数的四则运算,利用复数的几何意义求得对应的点的坐标即可.【解析】【解答】解:=;
则对应的点的坐标为P(0;-1);
∴|OP|=1;
故答案为:1.27、【分析】【分析】题中条件:“A∩B≠∅,”表示两个集合的交集的结果不是空集,利用两圆的位置关系即可求解实数a的取值范围.【解析】【解答】解:将集合A;B看成是圆上的点的集合;
由条件:“A∩B≠∅;”说明两圆相交;
∴圆心距≤两圆的半径之和;
即:2≤a+a;
解得:a≥2-2;
则实数a的取值范围为.
故答案为:.五、解答题(共4题,共16分)28、略
【分析】【分析】(1)先求出函数f(x)的导数,得到方程组,求出a,b的值;从而求出函数的解析式;
(2)先求出函数的单调区间;从而求出函数的极值;
(3)先求出函数f(x)在[-3,6]上的单调性,从而求出函数的最小值.【解析】【解答】解:(1);
根据题意得,解得a=4,b=1;
所以;
(2)由(1)得:f(x)=,∴f′(x)=;
令f′(x)>0;解得:-1<x<1,令f′(x)<0,解得:x<-1或x>1;
∴函数f(x)的增区间(-1;1),减区间(-∞,-1),(1,+∞);
∴f(x)极小值=f(-1)==-2,f(x)极大值=f(1)==2;
(3)由(2)知;f(x)在(-3,-1),(1,6)上递减,在(-1,1)上递增;
∴f(x)的极小值是f(-1);
又f(6)=;f(-1)=-2;
∴f(x)的最小值是-2.29、略
【分析】【分析】将原函数变成:,根据x的取值范围即可求出y的取值范围,即函数y的值域.【解析】【解答】解:y=;
∵x<-2,∴;
∴;
∴原函数的值域为.30、略
【分析】【分析】(I)利用面面垂直的性质定理判断;
(Ⅱ)点B到面A1PF的距离进行转化,B到面面A1PF的距离即为E到面面A1PF的距离,E到面A1PF的距离即为△A1EF中E到A1F的距离;
(Ⅲ)DF∥BP∴∠DFA1即为所求角【解析】【解答】(本小题满分12分)证明:(I)在图1中;取BE的中点D,连DF
∵;∵AF=AD=2,又∠A=60°∴△ADF为正三角形。
又∵AE=ED=1∴EF⊥AD∴在图2中有A1E⊥EF;BE=EF
∴∠A1EB为二面角A1-EF-B的平面角∵二面角A1-EF-B为直二面角∴A1E⊥BE
又∵BE∩EF=E,∴A1E⊥面BEF,即A1E⊥面BEP(4分)
(Ⅱ)∵BE∥PF∴BE∥面A1PF,∵B到面面A1PF的距离即为E到面面A1PF的距离;
∵BE⊥面A1EF,又BE∥PF,∴PF⊥面A1EF
∴面A1EF⊥面A1PF∵E到面A1PF的距离即为△A1EF中E到A1F的距离。
d=A1E×∴点B到面A1PF的距离为(8分)
(Ⅲ)∵DF∥BP∴∠DFA1即为所求角。
△A1DF中A1D=,DF=2,A1F=2,
∴异面直线BP与A1F所成角的余弦值为(12分)31、略
【分析】
(
Ⅰ)
利用绝对值不等式的解法求出集合M
利用绝对值三角不等式直接证明;
(
Ⅱ)
利用(
Ⅰ)
的结果,说明ab
的范围,比较|1鈭�4ab|
与2|a鈭�b|
两个数的平方差的大小;即可得到结果.
本题考查不等式的证明,绝对值不等式的解法,考查计算能力.【解析】解:(
Ⅰ)
记f(x)=|x鈭�1|鈭�|x+2|={3,x鈮�鈭�1鈭�2x鈭�1,鈭�1<x<1鈭�3,x鈮�1
由鈭�2<鈭�2x鈭�1<0
解得鈭�12<x<12
则M=(鈭�12,12).(3
分)
隆脽ab隆脢M隆脿|a|<12|b|<12
隆脿|13a+16b|鈮�13|a|+16|b|<14.(6
分)
(
Ⅱ)
由(
Ⅰ)
得a2<14b2<14
.
因为|1鈭�4ab|2鈭�4|a鈭�b|2=(1鈭�8ab+16a2b2)鈭�4(a2鈭�2ab+b2)
=(4a2鈭�1)(4b2鈭�1)>0(9
分)
所以|1鈭�4ab|2>4|a鈭�b|2
故|1鈭�4ab|>2|a鈭�b|.(10
分)
六、综合题(共4题,共36分)32、略
【分析】【分析】(Ⅰ)取PA中点M;连接MD,ME,证明四边形MEDF是平行四边形,可得EF∥MD,再证明MD⊥平面PAB,即可证明EF⊥平面PAB.
(Ⅱ)若FC=2,利用等体积求点C到平面EBF的距离.【解析】【解答】(Ⅰ)证明:如图;取PA中点M,连接MD,ME;
∵E是PB的中点;
∴ME∥AB,ME=AB;
∵AB=2DF;AB∥CD;
∴ME∥DF;ME=DF
∴四边形MEDF是平行四边形;
∴EF∥MD;
∵PD=AD;∴MD⊥PA;
∵AB⊥平面PAD;∴MD⊥AB;
∵PA∩AB=A;∴MD⊥平面PAB;
∴EF⊥平面PAB.
(Ⅱ)解:由题意,△EBF中,EF=,EB=,BF=;
∴EF2+EB2=BF2;
∴S△EBF==;
设点C到平面EBF的距离为h;则。
∵FC=2,AD=,∴S△BFC=;
∵E到平面BFC的距离为;
∴由等体积可得;
∴h=.33、略
【分析】【分析】(Ⅰ)证明平面ABE⊥平面ADE;只需证明DE⊥平面ABE,即证明CF⊥平面ABE,DE∥CF.
(Ⅱ)证明AB⊥平面EFCD,利用VABCDE=VA-EFCD+VB-EFCD,求几何体ABCDE的体积.【解析】【解答】(Ⅰ)证明:∵CA=CB;F为线段AB的中点;
∴CF⊥AB;
∵CD⊥平面ABC;EF∥CD;
∴EF⊥平面ABC;
∵CF⊂平面ABC;
∴EF⊥CF;
∵EF∩AB=F;EF⊥CF,CF⊥AB
∴CF
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