【教无忧】高中数学同步讲义（人教B版2019选择性必修一）重难点12 直线与圆易错题十大题型

重难点12直线与圆易错题十大题型汇总易错一.斜率公式k=y2−y易错二.忽视直线斜率不存在的情况由于直线的斜率k=tanα,α为直线的倾斜角.,当α=90°时k不存在，在解题时容易忽略.易错三.混淆直线斜率与直线倾斜角的关系致错直线的斜率是倾斜角的正切，所有直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率，倾斜角为90°的直线没有斜率.易错四.忽略直线的截距为零的情况在利用截距式xa+易错五.两直线平行时忽略重合的情况在求解两条直线平行的问题是，一定要检验是否平行易错六.忽视两条平行直线距离公式系数统一在运用举例公式时，不要忘记统一系数易错七.半圆问题不要忽略范围数形结合是通过数与形之间的转化，来达到解题的目的，在转化过程中难免会出现范围的变化，在解题过程中，应注意.易错八.圆的一般式方程忽视成立的条件1.当D2＋E2－4F＞0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方程，其圆心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，半径为r＝eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F).当D2＋E2－4F=0时,方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2))).3.当D2＋E2－4F<0时,方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0不表示任何图形.易错九.求过一点的切线方程时忽略斜率不存在求切线方程时，如果需要设直线的斜率时，需要考虑直线的斜率部存在的情况是否满足题意.易错十.两圆相切时忽略内切外切两个情况圆与圆相切时，有两种情况即内切和外切，但是在题设告知相切的情形下，我们往往会考虑其中一种情况，而忽视另外一种情况.题型1忽略斜率公式的应用条件【例题1】（2023上·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市第三十二中学校校考期中）已知直线l:mx+y+1＝0，A1,0A．直线l恒过定点0,1B．当m=1时，直线l的倾斜角为3C．当m=0时，直线l的斜率不存在D．当m=2时，直线l与直线AB不垂直【答案】B【分析】l:mx+y+1＝0中，令x=0时,可求得l的必过点，可判定选项A；根据斜率公式求得直线l的斜率，进而可求得直线l的倾斜角，可判定选项B;当m=0时，求得直线l的斜率，即可判定选项C；当m=2时，求得直线l的斜率，在求得直线【详解】l:mx+y+1＝0中，令x=0时可得l恒过定点0,−1，故选项A错误；当m=1时，直线的斜率为−m=−1，则若倾斜角为α时，tanα=−1，且α∈则α=3当m=0时，直线l为y=−1，斜率为0，故选项C错误；当m=2时，直线l的斜率为−m=−2，又kAB所以kAB则直线l与直线AB垂直，故选项D错误.故选：B.【变式1-1】1.（2022上·江苏连云港·高二期末）若A1,2，B3,m，A．−2 B．2 C．−3 D．3【答案】D【分析】先判定斜率存在，再由三点共线可得，任意两个点组成直线斜率相等即可得结果【详解】因为3≠1，直线AB斜率存在，A，B，C三点共线，则kAB即m−23−1=m+2−2故选：D【变式1-1】2.（2023上·云南曲靖·高三曲靖一中校考阶段练习）若直线x+ysin【答案】π【分析】根据直线斜率求直线倾斜角范围.【详解】设直线倾斜角为θ，斜率为k=tanθ当sinα=0时直线斜率不存在，此时倾斜角θ为π当sinα≠0时，化为斜截式为y=−k=−1sinαα∈R即k∈−∞,−1综上有：θ∈π故答案为：π【变式1-1】3.（2023上·河南三门峡·高二校考阶段练习）过点Am,3，B−1,m两点的直线与直线l垂直，直线l的斜率为-1，则【答案】1【分析】根据直线垂直的条件，可得直线AB的斜率，利用斜率公式列式计算，即得答案.【详解】过点Am,3，B故直线AB的斜率为1，则m≠−1，且3−mm+1故答案为：1【变式1-1】4.（2023上·安徽亳州·高二蒙城县第六中学校考期中）过Aa,0，B1,2的直线的斜率大于【答案】12（满足0<a<1【分析】根据两点的斜率公式计算可得.【详解】因为过Aa,0，B1,2的直线的斜率大于2，所以则k=21−a>2故答案为：12（满足0<a<1【变式1-1】5.（2023上·高二课时练习）已知A(1)求直线AB的斜率k；(2)已知实数m∈−33【答案】(1)答案见解析(2)π【分析】（1）分m=−1和m≠−1两种情况，结合斜率公式可得；（2）分m=−1和m≠−1两种情况，当m≠−1时，根据m的取值范围求出斜率k的范围，然后结合正切函数图象可解.【详解】（1）当m=−1时，直线AB的斜率不存在，倾斜角为π2当m≠−1时，由斜率公式得k=3−2（2）当m=−1时，直线AB的倾斜角为π2当m≠−1时，因为m∈−所以m+1∈−所以k∈−由正切函数图象可知，α∈

综上，倾斜角α的取值范围为π4【变式1-1】6.（2023·高二课时练习）已知△ABC中的两个顶点是C0,6,B0,−6，AB边与AC边所在直线的斜率之积是4【答案】去掉顶点的双曲线y【分析】设点Ax,y【详解】解：设点Ax,y，因为△ABC中的两个顶点是C所以，kAB=因为AB边与AC边所在直线的斜率之积是49所以kAB⋅所以，顶点A的轨迹方程为y2所以，顶点A的轨迹是以B,C为焦点，实轴为12，且去掉顶点的双曲线y2题型2忽视直线斜率不存在【例题2】（2023·全国·模拟预测）“a2=1”是“直线x+ay=2与直线【答案】充分不必要【分析】求出无论a为何值，均满足两条直线垂直，从而得到答案.【详解】当a=0时，两条直线方程分别为x=2和y=当a≠0时，直线x+ay=2的斜率k1=−1a，直线k1综上，无论a为何值，均满足两条直线垂直，所以“a2=1”是“直线x+ay=2与直线故答案为：充分不必要【变式2-1】1.（2023上·陕西西安·高二长安一中校考期中）直线l1:ax+y+1=0与直线l2【答案】−2【分析】利用两直线平行时，利用法向量平行求解，求解出实数a的值后需要代入直线验证是否平行，若直线重合则不符合题意应舍去.【详解】法一：直线l1:ax+y+1=0的法向量为：直线l2:4x+ay+2=0的法向量为：由于两直线平行，则法向量平行，所以l1//l当a=2时，两直线重合，不符合题意；当a=−2时，两直线平行，故a=−2；法二：直线l1:ax+y+1=0的斜率为直线l当a=0时，两直线不平行；当a≠0时，斜率为k2因为两直线平行，则k所以−a=−4a当a=2时，两直线重合，不符合题意；当a=−2时，两直线平行，故a=−2故答案为：−2【变式2-1】2.（2020上·天津·高二校联考期中）已知点A(1,3)和点B(5,2)到直线l的距离相等，且l过点(3,−1)，则直线l的方程为．【答案】x=3或x+4y+1=0.【分析】求得AB的中点为M(3,52)及kAB=−14【详解】由题意，点A(1,3)和点B(5,2)，可得AB的中点为M(3,52)因为点A(1,3)和点B(5,2)到直线l的距离相等，且l过点(3,−1)，当直线l过线段AB的中点M(3,52)时，可得直线l的方程为x=3，此时点A,B到l当直线l//AB时，此时直线l的斜率k=−14，可得直线l方程为即x+4y+1=0，此时点A(1,3)和点B(5,2)到直线l的距离相等，故答案为：x=3或x+4y+1=0.【变式2-1】3.（2023上·四川凉山·高二宁南中学校联考期中）已知实数x,y满足x−3y+5=01≤x≤4，则y+1【答案】−【分析】将y+1x−2转化为x−3y+5=01≤x≤4上的点和C【详解】

y+1x−2可以看成x−3y+5=01≤x≤4上的点和C在x−3y+5=01≤x≤4中令x=1得y=2，令x=4则y=3设A1,2，B则kAC=2+1所以y+1x−2的范围为−故答案为：−【变式2-1】4.(多选)（2021上·河北邢台·高二统考阶段练习）某县相邻两镇在一平面直角坐标系下的坐标分别为A−3,−4，B6,3，交通枢纽A．若A，B两个镇到马路l的距离相等，则k=79B．若A，B两个镇到马路l的距离相等，则k=97C．若A，B两个镇位于马路的两侧，则k的取值范围为2D．若A，B两个镇位于马路的两侧，则k的取值范围为−∞,【答案】AD【分析】结合图象，由两点斜率公式求对满足条件的直线的斜率.【详解】若A，B两个镇到马路l的距离相等，当l与直线AB平行时，则k=−4−3当直线AB与l相交时，则直线过AB的中点，又AB的中点为32,−12，所以k=−若A，B两个镇位于马路的两侧，则kAC=−1+43=1故答案为：AD.【变式2-1】5.（2023上·全国·高二专题练习）直线x+a2y+6=0A．－1或2 B．0或3C．－1或0 D．－1或3【答案】C【分析】两直线无公共点，由两直线平行求解.【详解】当a=0时，这两条直线分别为x+6=0和x=0，无公共点.当a≠0时，a−21解得a=−1.综上，a=0或a=−1.故选：C题型3混淆斜率与倾斜角的关系【例题3】（2023上·辽宁·高二辽宁实验中学校考期中）设直线l的方程为x−ysinθ−2=0，则直线l的倾斜角A．0,π B．C．π4,3【答案】C【分析】分sinθ=0和sin【详解】当sinθ=0时，方程为x=2，倾斜角为当sinθ≠0时，直线的斜率k=因为sinθ∈−1,0∪所以α∈π综上所述：线l的倾斜角α的范围是π4故选：C．【变式3-1】1.（2023上·山东·高二校联考阶段练习）直线sin60A．30∘ B．60∘ C．135∘【答案】C【分析】利用二倍的正弦公式求出斜率的值，再根据其与倾斜角之间的关系即可得到答案.【详解】sin60则斜率为−sin则倾斜角tanα=−1，又因为0∘≤α≤故选：C.【变式3-1】2.（2023上·河北石家庄·高二石家庄二中校考期中）直线4a2−2A．0,π4∪C．0,π2∪【答案】D【分析】求出直线的斜率的取值范围，根据直线斜率与倾斜角的关系可得出该直线倾斜角的取值范围.【详解】设直线4a2−2x−2y+3=0的倾斜角为直线的斜率为tanα=当−1≤tanα<0时，则当tanα≥0时，则0≤α<综上所述，该直线的倾斜角的取值范围是0,π故选：D.【变式3-1】3.（2020上·浙江绍兴·高二统考竞赛）已知点A(cos70°,sin70°)，B(cos【答案】3π4【分析】先根据斜率公式表示出斜率，再利用诱导公式化简，然后由斜率与倾斜角的关系可求得结果.【详解】因为A(cos70°,sin所以直线AB的斜率为k===sin所以tanα=−1因为α∈[0,π)，所以故答案为：3π【变式3-1】4.（2022·高二课时练习）已知点Q(－2，0)，A(1，3)，B(1，－3)，P为动点．当点P在线段AB上运动时，求直线PQ的倾斜角的取值范围．【答案】0°≤α≤30°或150°≤α＜180°.【分析】设直线PQ的倾斜角为α，线段AB与x轴的交点为M，然后结合图象和倾斜角的定义可得答案.【详解】设直线PQ的倾斜角为α，线段AB与x轴的交点为M.当点P在线段AM(含端点)上时，因为∠AQM=30°，所以0°≤α≤30°；当点P在线段BM(含端点B但不含端点M)上时，因为∠BQM=30°，所以150°≤α＜180°.所以α的取值范围为0°≤α≤30°或150°≤α＜180°.题型4截距式忽视过原点【例题4】（多选）（2023上·陕西西安·高二校考期中）下列命题正确的是（

）A．任何直线方程都能表示为一般式B．直线x+2y−4=0与直线2x−y+2=0的交点坐标是0,2C．两条直线相互平行的充要条件是它们的斜率相等D．直线方程ax+(a+1)y=a(a+1)可化为截距式为x【答案】AB【分析】根据一般式方程判断A，求出方程组的解，即可判断B，根据两直线平行的充要条件判断C，利用特殊值判断D.【详解】对于A：直线的一般是方程为：Ax+By+C=0，当A=0,B≠0时，方程表示垂直y轴的直线；当A≠0,B=0时，方程表示垂直x轴的直线；当A≠0,B≠0时，方程表示任意一条不垂直于x轴和y轴的直线；故A正确.对于B：联立x+2y−4=02x−y+2=0，解得x=0对于C：两条直线相互平行的充要条件是它们的斜率相等（或斜率均不存在）且不重合，故C错.对于D：若a=0或a=−1时，式子xa+1故选：AB.【变式4-1】1.（多选）（2023上·安徽铜陵·高二校联考期中）过点P(2,1)且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程为（

）A．x+y−3=0 B．x+y+3=0 C．x−y−1=0 D．x−2y=0【答案】ACD【分析】利用截距式的求法，讨论截距的绝对值相等的情况，在进行截距式假设时，分截距为0，截距不为0进行假设.【详解】当直线的截距不为0时，设直线的截距式方程为xa由题可得2所以2a+解得a=3,b=3或所以直线方程为x+y−3=0或x−y−1=0，故A，C正确；当直线的截距为0时，设直线方程为y=kx，由题可知k=12，故直线方程为故选：ACD【变式4-1】2.（多选）（2023上·浙江·高二校联考期中）直线l经过点(2,A．3x+2y=0 B．2x+3y=0 【答案】ACD【分析】分直线过原点和不过原点两种情况，分别设直线方程，代入点的坐标，即可求解.【详解】当直线过原点时，设直线y=kx，则−3=2k，得k=−3即y=−32x当直线不过原点时，在两坐标轴上的截距相等时，设直线xa则2a+−3a=1当直线不过原点时，在两坐标轴上的截距相反时，设直线xa则2a+−3−a=1故选：ACD【变式4-1】3.（2023上·湖北·高二郧阳中学校联考期中）已知直线l：a+2x+1−ay+a−7=0(1)证明：直线l过定点P，并求出P点的坐标；(2)直线l与坐标轴分别交于点A，B，当截距相等时，求直线l的方程．【答案】(1)证明见解析，P2,3(2)y=32x【分析】（1）变形给定方程，求出定点坐标即得.（2）按直线l是否过原点，结合直线的截距式方程求解即得.【详解】（1）方程a+2x+1−ay+a−7=0由x−y+1=02x+y−7=0解得x=2,y=3，显然对任意实数a，当x=2,y=3所以直线l恒过定点P2,3（2）由（1）知直线l过点P2,3当截距为0时，即直线l过原点，直线l方程为：y=3当截距不为0时，设直线l方程为：xa+ya=1此时直线l的方程为：x+y−5=0，所以直线l的方程为：y=32x【变式4-1】4.（2023上·黑龙江哈尔滨·高二黑龙江省哈尔滨市双城区兆麟中学校考期中）已知2,m为直线l:x+y+1=0的方向向量，M1,0(1)求出点A的坐标；(2)若直线l'过点A，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的12，求直线【答案】(1)−2,−1(2)x−2y=0或x+2y+4=0【分析】（1）根据直线的方向向量与斜率之间的关系可得m=−2，再结合中点坐标公式运算求解；（2）分类讨论直线l'【详解】（1）因为直线l:x+y+1=0的斜率k=−1，由题意可得：m2=−1，解得则M1,0,N−5,−2，所以MN的中点A的坐标为1+（2）因为直线l'过点A−2,−1，设直线l'在x轴上的截距为a则当直线l'过坐标原点时，符合题意，此时直线方程为y=12当直线l'的横纵截距均不为零时，设直线l'的方程为代入点−2,−1，得−2a+−1此时直线l'的方程为x−4+综上所述：直线l'的方程为x−2y=0或x+2y+4=0题型5平行问题忽视重合【例题5】（2023上·四川凉山·高二统考期中）直线l1：2x+ay+2=0，l2：a−1x+y−2=0，则“a=2A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】C【分析】根据两条直线平行的条件，求得a的值，再根据a=2判定两直线的位置关系，进而判断两命题的关系.【详解】∵l1//l2∴2a=a−11所以a=2a=2时，l1:x+y+1=0;故选：C.【变式5-1】1.（2023上·山东潍坊·高二统考期中）已知直线l1：m+1x+y+m=0，l2A．若l1与l2相交，则m≠−2 B．若l1与C．若l1与l2垂直，则m=−1 D．若l1与【答案】C【分析】先根据l1//l2求解出m的可能值，然后检验是否可能两直线重合，由此可判断ABD；然后根据【详解】当l1//l2时，m+12若m=0，则l1:x+y=0,l若m=−2，则l1:−x+y−2=0,l由上可知：l1若l1与l2相交，则m≠−2且若l1//l2，则若l1⊥l2，则有故选：C.【变式5-1】2.（2023上·福建泉州·高二泉州市城东中学校联考期中）已知直线l1：x−a−1y−a−2=0与l2：A．1 B．2 C．1或2 D．−1或2【答案】D【分析】依题意可得1×−2=−a−1【详解】因为直线l1：x−a−1y−a−2=0与l所以1×−2=−a−1a，解得当a=−1时直线l1：x+2y−1=0与l2：当a=2时直线l1：x−y−4=0与l2：所以a=−1或a=2.故选：D【变式5-1】3.（2023上·河南·高二校联考期中）“a=4”是“直线l1:a+2A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据两直线平行的条件及充分条件、必要条件判断即可.【详解】当a=4时，l1:3x+2y+1=0，l2当两直线平行时，由(a+2)(a−2)−a(a−1)=0，即a−4=0，解得a=4，经检验a=4时，两直线平行，故a=4.综上可知，“a=4”是“直线l1:a+2故选：C【变式5-1】4.（2023上·江苏徐州·高二统考期中）已知直线l1:x+m+1【答案】9【分析】利用两直线平行的性质即可判断m=1，然后利用平行线间的距离公式求解即可.【详解】已知两直线平行,则1×4−2m×m+1=0，解得m=−2或当m=−2时，两直线方程相同，舍去，当m=1时，l1:x+2y−1=0，则两直线间距离为−1−81+故答案为：9【变式5-1】5.（多选）（2023上·四川凉山·高二宁南中学校联考期中）已知直线l1:x+a−1A．l1在x轴上的截距为-1 B．l2C．若l1∥l2，则a=−1或a=2 D．若l【答案】ABD【分析】利用截距的定义可判定A，利用直线方程可判定B，利用两直线位置关系可判定C、D.【详解】直线l1:x+a−1直线l2:ax+2y+2=0中若两直线平行，则有1×2=aa−1,1×2≠a×1，可得若两直线垂直，则有1×a+2a−1故选：ABD【变式5-1】6.（2022上·安徽黄山·高二校联考期中）已知直线l1:(2a+1)x−(a+2)y+3=0，直线(1)若l1//l(2)若l1⊥l【答案】(1)a=0(2)a=52【分析】（1）l1:A1x+B1y+C1（2）l1:A1x+B1y+C1【详解】（1）因为l1//l整理得：a2+5a=0，即：aa+5=0，解得：当a=0时，l1:x−2y+3=0，l2当a=−5时，l1:−9x+3y+3=0，即l2:−6x+2y+2=0，即3x−y−1=0，此时l1所以a=0.（2）因为l1⊥l整理得：2a2−3a−5=0，即：2a−5a+1=0所以a=52或题型6平行线距离公式忽视系数统一【例题6】（2023上·四川凉山·高二宁南中学校联考期中）两条平行直线x+2y−1=0与ax+4y−3=0之间的距离为（

）A．455 B．255 C．【答案】C【分析】根据两直线平行得到a=2，然后利用两平行线间的距离公式计算即可.【详解】因为两直线平行，所以a1=4所以直线ax+4y−3=0为2x+4y−3=0，即x+2y−3所以两平行线之间的距离d=−1+故选：C.【变式6-1】1.（2023上·四川凉山·高二统考期中）已知点P是直线l：3x−y−6=0与x轴的交点，直线l绕点P逆时针方向旋转45°得到直线l1，则直线l1与直线A．55 B．955 C．5【答案】D【分析】设直线3x−y−6=0的倾斜角为α，可得tanα=3和P(2,0)，根据两角和的正切公式，求得直线l1的斜率为【详解】由直线3x−y−6=0，令y=0，解得x=2，即直线与x轴的交点为P(2,0)，设直线l的倾斜角为α，可得tanα=3则tan(α+即把l绕点P按逆时针方向旋转45∘得到直线l1的斜率为所以直线l1的方程为y=−2x−2，即直线4x+2y+1=0的斜率为−2，则直线l1与直线4x+2y+1=0则直线l1与直线4x+2y+1=0之间的距离为d=故选：D【变式6-1】2.（多选）（2023上·云南昆明·高一校考期中）已知直线l1：ax+y−1=0，l2=2x+A．a=−2 B．a=1C．l1与直线x+2y=0垂直 D．l1与l【答案】ACD【分析】根据两直线平行的系数要求，求出a的值，然后根据垂直要求判断直线是否垂直，根据平行线间距离公式求其距离.【详解】当l1//l2时，则aa+1若a=1，则l1：x+y−1=0，l2：x+y−1=0，l1，l若a=−2，则l1：2x−y+1=0，l2：2x−y+4=0，l1//l2，所以由−2×1+1×2=0，得l1与直线x+2y=0故选：ACD.【变式6-1】3.（多选）（2023上·广东广州·高二校联考期中）已知a∈R，直线l1：x+ay−a=0，直线l2：A．若l1//l2，则a=1或−3 B．若l1//C．若l1⊥l2，则a=0或2 【答案】BC【分析】利用直线的平行、直线的垂直、平行直线的距离公式、直线的一般式方程和截距式方程逐项分析运算判断即可得解.【详解】对于选项A，由题意，若l1//l解得：a=1或−3，当a=1时，直线l1：x+y−1=0和直线l2：当a=−3时，直线l1：x−3y+3=0和直线l2：综上，a=−3，故A错误；对于选项B，由A知，当a=−3时，直线l1：x−3y+3=0和直线l2：直线l2方程可化为x−3y+l1与l2间距离为对于选项C，直线l1：x+ay−a=0和直线l2：则有1×a+a×−2a−3=0，解得：a=0或2，所以，a=0对于选项D，当a=2时，直线l2：2x−y=0当a≠2时，直线l2方程可化为截距式方程x2−aa解得：a=1，综上，若l2在x轴和y轴上的截距相等，则a=2或a=1故选：BC.【变式6-1】4.（2023上·贵州·高二校联考期中）已知两条平行直线l1：2x+y+1=0，l2：ax+2y+c=0间的距离为5，则【答案】−4或16【分析】可先通过两直线平行求出参数a，接着将两直线的变量系数化为一致，再利用距离公式求解即可.【详解】因为l1//l2，所以则l2：4x+2y+c=0，可化直线l1为所以l1与l2的距离为c−242则a+c=−4或a+c=16．【变式6-1】5.（2023上·四川内江·高二校考期中）两平行直线l1：2x+y+1=0，l2：【答案】5【分析】通过平行的条件求出a，然后利用平行线直接的距离公式求解即可.【详解】两条直线l1：2x+y+1=0与l2：ax+2y+3=0平行，可得所以a=4，所以l2：4x+2y+3=0即2x+y+则l1与l2间的距离是：故答案为：5题型7半圆问题忽视范围【例题7】（2023上·江苏无锡·高二校联考期中）若直线y=−x+b与曲线x=1−A．−2,2 B．−1,2 C．【答案】C【分析】由题意作图，根据直线与圆的位置关系，可得答案.【详解】由曲线x=1−y2，可得x2+y2（1）直线与半圆相切，根据d=r，所以d=b2=1（2）直线与半圆的下半部分相交于一个交点，由图可知b∈[−1,1).综上可知：b∈[−1,1)∪2故选：C.【变式7-1】1.（2023上·广东广州·高二校联考期中）已知直线y=kx+1与曲线y=4−x−2A．0,255C．−255【答案】A【分析】根据直线过定点，曲线为半圆，数形结合求解即可.【详解】由y=4−x−22又直线y=kx+1过定点(−1,0)作直线与曲线图象，如图，当直线与圆相切时，AB=3,故可得直线斜率k=AC由图象知，当直线斜率0≤k<2故选：A【变式7-1】2.（2021·高二课时练习）若直线l:kx−y−2=0与曲线C:1−A．43,2 B．43,4 C．【答案】A【分析】根据题意分析可得曲线C是以1,1为圆心，1为半径的右半圆，结合图象分析求解.【详解】由C:1−y−12=x−1，可得所以曲线是以1,1为圆心，1为半径为的右半圆，直线过定点0,−2，斜率为k，如图，

当直线过1,0时，l与曲线C有两个不同的交点，可得k=2,当直线与曲线相切时，则k−31+k所以实数k的取值范围为43故选：A.【变式7-1】3.（2023上·河北保定·高二统考期中）已知直线l:kx−y−3k+4=0与曲线y=9−【答案】2【分析】结合题设可知直线l过定点A3,4，曲线y=【详解】由l:kx−y−3k+4=0，即kx−3所以直线l过定点A3,4由y=9−x2所以曲线y=9−如图所示，设l:kx−y−3k+4=0与曲线y=9−x2曲线y=9−x2与x

则kAB由4−3kk2+1=3，解得要使直线l:kx−y−3k+4=0与曲线y=9−则k>23或即k的取值范围为23故答案为：23【变式7-1】4.（2023上·甘肃白银·高二校考期中）关于x的方程1−x2−kx+k−1=0【答案】0,【分析】方程有两个不等的实数根转化为半圆y=1−x2【详解】关于x的方程1−x2−kx+k−1=0有两个不等的实数根即为半圆y=作出半圆和直线，如图，半圆在x轴上点为A(−1,0),B(1,0)，直线过定点P(1,1)，由图可知：kPA=1−0当0<k≤12时，直线y=kx−k+1与半圆故答案为：(0,1

题型8圆的一般方程忽视成立条件【例题8】（2023上·河北·高二校联考期中）若方程x2A．−∞,−5 B．−5,+∞ C．−【答案】B【分析】根据圆的一般式满足的条件即可列不等式求解.【详解】因为方程x2+y2+4x+2y−m=0故选：B【变式8-1】1.（2023上·湖北武汉·高二华中师大一附中校考期中）“k>4”是“方程x2A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据x2+y2+kx+【详解】若x2+y2+kx+k−2y+5=0k>4可以推出x2x2+y所以k>4是x2故选：A.【变式8-1】2.（2023上·北京丰台·高二统考期中）已知圆C:x2+y2A．−3 B．−1 C．3 D．−1或【答案】C【分析】根据圆的对称性得出圆心C在直线l上，求出圆心坐标代入直线方程计算并检验即可.【详解】由题意可知，m2且圆心Cm2,−32或m=3.故选：C【变式8-1】3.（多选）（2023上·江苏徐州·高二统考期中）已知曲线C：mx2+ny2A．若m=n>0，则曲线C表示圆B．若mn>0，则曲线C表示椭圆C．若mn<0，则曲线C表示双曲线D．若mn=0，m+n>0，则曲线C表示两条直线【答案】ACD【分析】利用圆、椭圆、双曲线的标准方程一一判定即可.【详解】对于A项，由m=n⇒x2+对于B项，显然m=n>0时，不是椭圆，故B错误；对于C项，若m>0,n<0⇒x21对于D项，若m=0,n>0⇒y=±1n，若故选：ACD.【变式8-1】4.（多选）（2023上·广东江门·高二校考期中）若方程a2x2A．3 B．2 C．−2 D．−3【答案】AC【分析】根据圆的一般方程，建立系数方程，经检验，可得答案.【详解】解：由圆的一般方程形式知x2，y则a2=a+6，∴当a=−2时，方程为x−1当a=3时，方程为x+1故选：AC.【变式8-1】5.（多选）（2023上·河南·高二校联考期中）若关于x,y的方程x2+λyA．当λ=−1时，C表示双曲线B．当λ=0时，C表示两条直线C．当λ=1时，C表示圆D．当λ=2时，C表示关于坐标轴对称的椭圆【答案】ABC【分析】根据各个选项的条件，得出相应关于x,y的方程，再根据方程和双曲线、直线、圆及椭圆的特征，即可得出结果.【详解】对于选项A，当λ=−1时，x,y的方程为x2可变形为(x+12)2−对于选项B，当λ=0时，x,y的方程为x2可变形为(x+2)(x−1)+y(x−1)=0，即(x+y+2)(x−1)=0，故x+y+2=0或x−1=0，所以选项B正确；对于选项C，当λ=1时，x,y的方程为x2因为D2+E对于选项D，当λ=2时，x,y的方程为x2故选：ABC.【变式8-1】6.（2023上·甘肃白银·高二甘肃省靖远县第一中学校联考期中）已知圆C:x(1)求a的取值范围；(2)若倾斜角为60°的直线l:y=kx与圆C相交于A，B两点，且AB=3，求【答案】(1)−(2)a=0或a=16+43【分析】（1）方法一：根据D2+E（2）首先求出直线l的方程，从而求出圆心到直线的距离，再由垂径定理与勾股定理表示出弦长，即可求出a.【详解】（1）方法一：D2+E2−4F=a2方法二：由x2+y由a2−4a+44=a−224（2）因为直线l的倾斜角为60°，所以k=3，则直线l:y=圆C的圆心−a2,1到直线l所以AB=2整理得14即a2−16+43题型9圆的切线方程忽视斜率不存在【例题9】（多选）（2023上·福建厦门·高二校考期中）过点P2,4作圆x−1A．3x+4y−4=0 B．4x−3y+4=0C．x=2 D．y=2【答案】BC【分析】根据题意，分为切线的斜率存在与不存在两种情况讨论，分别求出切线的方程．【详解】圆x−12+y−12=1若切线的斜率不存在，此时切线的方程为x=2，符合题意；若切线的斜率存在，设切线方程为y−4=kx−2，即kx−y−2k+4=0由圆心到切线的距离等于半径，得|k−1−2k+4|k2+1所以切线方程为4x−3y+4=0，综上可知，切线方程为x=2或4x−3y+4=0．故选：BC【变式9-1】1.（2023上·陕西西安·高三长安一中校考开学考试）已知圆C的方程为x2(1)求过点P(1,2)且与圆C相切的直线l的方程；(2)直线m过点P(1, 2)，且与圆C交于A，B两点，若|AB|=2【答案】(1)x=1或3x−4y+5=0(2)x−y+1=0或7x−y−5=0【分析】（1）分直线的斜率不存在与存在两种情况讨论，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y−2=k(x−1)，利用圆心到直线的距离等于半径得到方程，即可求出k；（2）结合（1）可知直线的斜率存在，由弦长求出圆心到直线的距离，设直线m的方程为y−2=n(x−1)，利用点到直线的距离公式求出n，即可得解.【详解】（1）根据题意，得点P在圆C外，分两种情况讨论：当直线l的斜率不存在时，过点P(1,2)的直线方程是x=1，与圆C:x当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y−2=k(x−1)，即kx−y−k+2=0，因为直线l与圆C相切，所以圆心(0,0)到直线l的距离为|2−k|k2+1此时，直线l的方程为3x−4y+5=0.所以满足条件的直线l的方程是x=1或3x−4y+5=0.（2）根据题意，若|AB|=2则圆心到直线m的距离d=1结合（1）知直线m的斜率一定存在.设直线m的方程为y−2=n(x−1)，即nx−y−n+2=0，则d=|2−n|n2+1=所以满足条件的直线m的方程是x−y+1=0或7x−y−5=0【变式9-1】2.（2023上·江苏宿迁·高二统考期中）已知圆C：x−a2+y−22=4，直线l：x−y+3=0，l与圆C相交于A(1)求实数a的值；(2)当a>0时，求过点−1,6并与圆C相切的直线方程．【答案】(1)a=1或a=−3(2)x=−【分析】（1）根据圆的半径以及直线与圆相交所得的弦长求解出圆心到直线的距离，由此列出关于a的方程即可求解出结果；（2）分别考虑直线的斜率存在与不存在两种情况，直线斜率不存在时直接求解，直线斜率存在时利用圆心到直线的距离等于半径进行求解.【详解】（1）因为圆的半径r=2，|AB|=22所以圆心到直线的距离d=2所以d=a−2+31+1=所以a=1或a=−3.（2）因为a>0，所以C:x−1当直线的斜率不存在时，直线方程为x=−1，圆心到x=−1的距离为1−−1=2=r，所以当直线的斜率存在时，设直线方程为y−6=kx+1，即kx−y+k+6=0因为直线与圆相切，所以k−2+k+6k所以k=−34，所以直线方程为所以过点−1,6并与圆C相切的直线方程为x=−1【变式9-1】3.（2023上·河北唐山·高二校联考期中）已知点M在圆D:x2+y2+2x−3=0上运动，点N4,0(1)求曲线C的轨迹方程．(2)过点Q52,2作曲线C的切线l【答案】(1)x2(2)x=52或【分析】（1）设Px,y,Mx0,y0，根据已知得x（2）由（1）并讨论切线l斜率存在性，结合点线距离公式求参数，即可得切线方程.【详解】（1）设Px,y,Mx0,所以x=x0+4因为点M在圆D:x所以(2x−4)2+(2y)所以曲线C的轨迹方程为x2（2）由（1）知曲线C的轨迹为以E3当切线l斜率不存在时：x=5当切线l斜率存在时，设l:y−2=kx−52由l与圆C相切，得32k+2−5所以切线l的方程为y−2=34x−综上，切线l的方程为x=52或【变式9-1】4.（2023上·天津·高二天津市第一百中学校联考期中）已知圆心为C的圆经过点A1,−1和B4,2，且圆心C在直线(1)求圆C的标准方程.(2)过点M−2,1(3)求x轴被圆所截得的弦长MN【答案】(1)x−1(2)x=−2或4x+3y+5=0(3)2【分析】（1）设出圆心坐标，根据AC=（2）分别考虑切线的斜率存在和不存在，斜率不存在时直接分析，斜率存在时根据圆心到直线的距离等于半径完成计算；（3）先计算出圆心到x轴的距离d，然后根据半径、d、半弦长之间的关系求解出x轴被圆所截得的弦长即可.【详解】（1）设圆心Cm,m+1，则AC所以m−12解得m=1，所以圆心为1,2，半径r=1−4所以圆C的标准方程为x−12（2）当切线斜率不存在时，切线方程为x=−2，圆心到直线的距离为1−−2当切线斜率存在时，设切线方程为y−1=kx+2，即kx−y+1+2k=0所以k−2+1+2kk2+1=3，解得所以切线方程为x=−2或4x+3y+5=0；（3）因为圆心1,2到x轴(y=0)的距离为d=2，且r2所以MN=2所以x轴被圆所截得的弦长为25【变式9-1】5.（2023上·北京顺义·高二校考期中）已知圆C：x(1)求圆的圆心和半径；(2)求经过点3,−2的圆C的切线方程；(3)求直线l：2x−y+2=0被圆C截得的弦长.【答案】(1)圆心C1,2，半径(2)x=3或3x+4y−1=0(3)8【分析】（1）将圆的方程化为标准方程即可；（2）分切线斜率存在和不存在两种情况讨论，结合点到直线的距离公式计算即可；（3）利用圆的弦长公式求解即可.【详解】（1）将圆C的方程化为标准方程得x−12故圆的圆心C1,2，半径r=2（2）当切线的斜率不存在时，方程为x=3，圆心C1,2到直线x=3的距离等于2当切线的斜率存在时，设方程为y+2=kx−3，即kx−y−3k−2=0则有k−2−3k−2k2+1所以切线方程为3x+4y−1=0，综上所述，切线方程为x=3或3x+4y−1=0；（3）圆心C1,2到直线l：2x−y+2=0的距离d=所以直线l：2x−y+2=0被圆C截得的弦长为2r题型10圆与圆相