北师大版高中数学选修1-1第二章《圆锥曲线与方程》检测(含答案解析)

一、选择题1．设为坐标原点，，是椭圆（）的左、右焦点，若在椭圆上存在点满足，且，则该椭圆的离心率为（）A． B． C． D．2．设双曲线的左焦点为F，直线过点F且与双曲线C在第一象限的交点为P，O为坐标原点，，则双曲线的离心率为（）A． B． C．2 D．3．过椭圆上的焦点作两条相互垂直的直线，交椭圆于两点，交椭圆于两点，则的取值范围是（）A． B． C． D．4．已知椭圆的左焦点为，上顶点为，右顶点为，若为直角三角形，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．5．已知分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上异于顶点的任意一点，若内切圆圆心为，则圆心到圆上任意一点的距离最小值为（）A． B． C． D．6．已知双曲线E：的左，右焦点为，，过作一条渐近线的垂线，垂足为M，若，则E的离心率为（）A． B． C． D．7．已知、分别是双曲线的左右焦点，点在双曲线右支上且不与顶点重合，过作的角平分线的垂线，垂足为，为坐标原点，若，则该双曲线的离心率为（）A． B． C．2 D．8．已知椭圆上一点关于原点的对称点为点，为其右焦点，若，设，且，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A． B． C． D．9．已知双曲线C：(，)的左右焦点分别为，，过的直线交双曲线左支于P，交渐近线于点Q，点在第一象限，且，若，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．10．设双曲线的左、右焦点分别为，若点P在双曲线上，且为锐角三角形，则的取值范围是（）A． B． C． D．11．斜率为的直线与椭圆：相交于，两点，且过的左焦点，线段的中点为，的右焦点为，则的周长为（）A． B． C． D．12．在抛物线型内壁光滑的容器内放一个球，其通过中心轴的纵剖面图如图所示，圆心在轴上，抛物线顶点在坐标原点，已知抛物线方程是，圆的半径为，若圆的大小变化时，圆上的点无法触及抛物线的顶点，则圆的半径的取值范围是（）A． B． C． D．二、填空题13．双曲线右焦点关于直线的对称点Q在双曲线上，则双曲线的离心率是______．14．已知椭圆的左焦点为F，椭圆外一点，直线交椭圆于A、B两点，过P作椭圆C的切线，切点为E，若，则____________．15．已知双曲线(，)的两条渐近线与直线所围成的三角形的面积为4，则双曲线C的离心率为________.16．椭圆的左焦点为，，，分别为其三个顶点.直线与交于点，若椭圆的离心率，则___________.17．在平面直角坐标系中，已知椭圆：的焦距为，直线与椭圆交于，两点，且，过作交于点，点的坐标为，则椭圆的方程为_________．18．已知双曲线，点F为E的左焦点，点P为E上位于第一象限内的点，P关于原点的对称点为Q，且满足，若，则E的离心率为_________.19．对抛物线：，有下列命题：①设直线：，则直线被抛物线所截得的最短弦长为4；②已知直线：交抛物线于、两点，则以为直径的圆一定与抛物线的准线相切；③过点与抛物线有且只有一个交点的直线有1条或3条；④若抛物线的焦点为，抛物线上一点和抛物线内一点，过点作抛物线的切线，直线过点且与垂直，则平分；其中你认为是正确命题的所有命题的序号是______.20．已知下列几个命题：①的两个顶点为，，周长为18，则C点轨迹方程为；②“”是“”的必要不充分条件；③已知命题，，则为真，为假，为假；④双曲线的离心率为．其中正确的命题的序号为_____．三、解答题21．已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆的一个顶点，是等腰直角三角形．（1）求椭圆的方程；（2）过点分别作直线、交椭圆于两点，设两直线、的斜率分别为，且，探究：直线是否过定点，并说明理由．22．已知抛物线的焦点为，过点的直线交于，两点，当与轴垂直时，的周长为.（1）求的方程：（2）在轴上是否存在点，使得恒成立(为坐标原点)？若存在求出坐标，若不存在说明理由.23．已知椭圆的左，右顶点分别为，离心率，椭圆上任意一点到两个焦点，的距离之积的最大值为4.（1）求椭圆的方程；（2）已知点为直线：上的任意一点，直线、与椭圆分别交于两点、（不同于、两点），求证：直线经过定点，并求出该定点的坐标，24．已知点是圆与轴负半轴的交点，过点作圆的弦，并使弦的中点恰好落在轴上．（1）求点的轨迹方程；（2）设点的轨迹为曲线，延长交直线于点，延长交曲线于点，曲线在点处的切线交轴于点，求证：．25．设命题方程表示双曲线；命题不等式对恒成立.（Ⅰ）若命题为真，求实数的取值范围；（Ⅱ）若命题为真，命题为假，求实数的取值范围.26．在平面直角坐标系中，动点（）到定点的距离比到轴的距离大1.（1）求动点的轨迹的方程；（2）过点的直线交曲线于，两点，若，求直线的方程.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】根据中线向量可得，平方后结合椭圆的定义可得，在焦点三角形中再利用余弦定理可得，从而可求离心率.【详解】因为为的中点，故，所以，故，故，所以，又，故，故.故选：A.【点睛】方法点睛：与焦点三角形有关的计算问题，注意利用椭圆的定义来转化，还要注意利用余弦定理和向量的有关方法来计算长度、角度等.2．D解析：D【分析】焦点三角形满足，可根据三角形一边的中线是该边的一半，可判断该三角形是直角三角形.算出该三角形的中位线，可得到，根据双曲线定义和勾股定理计算出求解.【详解】直线过点F，可得设右焦点为，的中点为.因为是的中点，且，故三角形为直角三角形.，故由点到直线距离公式有故，，故.可得故选：D【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．3．C解析：C【分析】当直线有一条斜率不存在时，可直接求得，当直线的斜率都存在且不为0时，不妨设直线的斜率为k，则直线的斜率为，则可得直线的方程，与椭圆联立，根据韦达定理及弦长公式，可求得的表达式，同理可求得的表达式，令，则可得，令，根据二次函数的性质，结合t的范围，即可求得的范围，综合即可得答案.【详解】当直线有一条斜率不存在时，不妨设直线斜率不存在，则直线斜率为0，此时，，所以，当直线的斜率都存在且不为0时，不妨设直线的斜率为k，则直线的斜率为，不妨设直线都过椭圆的右焦点，所以直线，直线，联立与椭圆T，可得，，，所以，同理，所以，令，因为，所以，所以=，令，因为，所以，所以，所以，所以，综上的取值范围是.故选：C【点睛】解题的关键是设出直线的方程，结合韦达定理及弦长公式，求得的表达式，再根据二次函数性质求解，易错点为需求直线中有一个不存在时，的值，考查计算求值的能力，属中档题.4．C解析：C【分析】作出图形，可知是以为直角的直角三角形，可得出，可得出、、的齐次等式，进而可求得椭圆的离心率.【详解】如下图所示，可知、均为锐角，所以，是以为直角的直角三角形，由题意可知，点、、，则，，，可得，即，在等式的两边同时除以可得，，解得.故选：C.【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.5．C解析：C【分析】设内切圆与的三边､､的切点分别为､､，根据圆的切线性质，可得，即可得答案.【详解】设的内切圆分别与切于点，与切于点，则，．又点在双曲线右支上，，即，①，又②，由①＋②，解得，又，则，因为双曲线的，所以内切圆圆心与在直线上，设，设圆的圆心为，则，所以，当时，，此时圆上任意一点的距离最小值为．故选：C．【点睛】本题考查双曲线的定义和性质，关键点是由定义和已知得到和，考查了学生分析问题、解决问题的能力，属于中档题.6．A解析：A【分析】由点到直线的距离公式可得，由勾股定理可得，则，，由此利用余弦定理可得到，的关系，由离心率公式计算即可得答案．【详解】由题得，不妨设，则，，，，由余弦定理可知，化为，即有，故选：A．【点睛】方法点睛：离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出；②构造的齐次式，求出；③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解；④根据圆锥曲线的统一定义求解．7．B解析：B【分析】延长交于点，可得，结合双曲线的定义可得的关系，从而求得离心率．【详解】延长交于点，∵是的平分线，∴，，又是中点，所以，且，又，∴，，∴．故选：B．【点睛】关键点点睛：本题考查求双曲线的离心率，解题关键是找到关于的关系，解题方法是延长交于点，利用等腰三角形的性质、平行线的性质得出，然后由双曲线的定义得出关系式，从而求解．8．B解析：B【分析】由题意设椭圆的左焦点为N，连接AN，BN，因为AF⊥BF，所以四边形AFBN为长方形，再根据椭圆的定义化简得，得到离心率关于的函数表达式，再利用辅助角公式和三角函数的单调性求得离心率的范围.【详解】由题意椭圆上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，设左焦点为N，连接AN，BN，因为AF⊥BF，所以四边形AFBN为长方形．根据椭圆的定义：，由题∠ABF＝α，则∠ANF＝α，所以，利用，∵，∴，，即椭圆离心率的取值范围是，故选B.【点睛】本题主要考查了椭圆的离心率的取值范围问题，其中解答中合理利用椭圆的定义和题设条件，得到,再利用三角函数的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.9．A解析：A【分析】由得出，求出点坐标为，利用表示出点坐标，代入双曲线方程得关于的等式，变形后可求得．【详解】∵，是中点，∴，设（），则，又，故解得，即，，则，，解得，又在双曲线上，∴，解得（舍去）．故选：A．【点睛】关键点点睛：本题考查求双曲线的离心率，解题关键是找到关于的齐次式，本题利用在双曲线上列式，由得，由表示出点坐标，代入双曲线方程即可求解．10．D解析：D【分析】由题意画出图形，不妨设在第一象限，点在与之间运动，求出和为直角时的值，可得为锐角三角形时的取值范围．【详解】为锐角三角形，不妨设在第一象限，点在与之间运动，如图，当在处，，又由，，可得，此时；当在处，，，易知则此时∴为锐角三角形，则的取值范围是，故选：D．【点晴】关键点点晴：本题的关键在于求出和为直角时的值.11．C解析：C【分析】由已知得直线的方程可得，设代入椭圆的方程做差可得，然后利用可得，再利用椭圆定义可得答案.【详解】易得直线的方程为，当时，，所以，设，，则，则，整理得，解得，则的周长为.故选：C.【点睛】本题考查了椭圆的定义、直线和椭圆的位置关系，在解答平面解析几何中的某些问题时，如果能适时运用点差法，可以达到“设而不求”的目的，同时，还可以降低解题的运算量，优化解题过程，这类问题通常与直线斜率和弦的中点有关或借助曲线方程中变量的取值范围求出其他变量的范围.12．A解析：A【分析】设圆心为，（），半径为，是抛物线上任一点，求出，当的最小值在原点处取得时，圆过原点，可得此时圆半径的范围，半径不在这个范围内的圆不过原点．【详解】设圆心为，（），半径为，是抛物线上任一点，，若的最小值不在处取得，则圆不过原点，所以，即，此时圆半径为．因此当时，圆无法触及抛物线的顶点．故选：A．【点睛】关键点点睛：本题考查圆与抛物线的位置关系，题中圆不过原点，说明抛物线上的点到圆心距离的最小值不是在原点处取得，由此得到解法，即设圆心为，抛物线上点的坐标为，求出，然后确定其最小值，由最小值点不是原点可得结论．二、填空题13．【分析】由题意可得Q点坐标代入双曲线方程计算即可得出离心率【详解】设则中点由题意可得由在双曲线上可得两边同除可得解得（舍）故答案为：【点睛】关键点点睛：齐次式方程两边同除可得关于离心率的方程即可求出解析：【分析】由题意可得Q点坐标，代入双曲线方程，计算即可得出离心率.【详解】设，则中点，由题意可得，由在双曲线上，可得两边同除，可得，解得（舍）故答案为：【点睛】关键点点睛：齐次式方程，两边同除可得关于离心率的方程，即可求出离心率.本题考查了计算能力和逻辑推理能力，属于中档题目.14．【分析】设交点由两点得直线方程由直线方程与椭圆方程联立消去后应用韦达定理得可计算代入在上半椭圆用函数解析式表示出上半椭圆并求导数设切点为求出切线方程切点坐标可用表示从而求得代入已知等式后求得值【详解解析：【分析】设交点，由两点得直线方程，由直线方程与椭圆方程联立，消去后应用韦达定理得，可计算，代入，在上半椭圆，用函数解析式表示出上半椭圆，并求导数，设切点为，求出切线方程，切点坐标可用表示，从而求得，代入已知等式后求得值．【详解】由题意，直线方程为，设，由，得，，，∵同向，∴，设，过点的切线方程为，，切点在轴上方，由得，∴，切线方程为，化简得，直线过，则，，由椭圆方程得，，∵，∴，化简得，∵，∴．故答案为：．【点睛】关键点点睛：本题考查直线与椭圆相交、相切问题，解题方法是设而不求的思想方程，即设交点，由直线方程与椭圆方程联立，消去后应用韦达定理得，然后计算，设切点坐标，用导数求出切线斜率，得切线方程，代入坐标可求得切点坐标（用表示），求出，再结合已知条件求出结果．15．【分析】求出双曲线的渐近线方程求解时的值然后求解三角形的面积推出离心率即可【详解】双曲线的渐近线方程为将代入中解得故故故双曲线的离心率故答案为：【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的离心率常用的方法有：（1解析：【分析】求出双曲线的渐近线方程，求解时，的值，然后求解三角形的面积，推出离心率即可．【详解】双曲线的渐近线方程为，将代入中，解得，故，故，故双曲线的离心率．故答案为：【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的离心率常用的方法有：（1）公式法（求出的值再代离心率的公式求解）；（2）方程法（根据已知找到关于离心率的方程再解方程得解）.要根据已知条件灵活选择方法求解.16．【分析】做出图像可知：利用两角和的正切表示有根据离心率可求出代入正切公式即可求出结果【详解】由图像可知：所以因为离心率可设那么极有代入上式得故答案为：【点睛】本题考查了椭圆的基本性质与平面几何的转化解析：【分析】做出图像可知：，利用两角和的正切表示，有，根据离心率可求出，，代入正切公式即可求出结果.【详解】由图像可知：所以因为离心率，可设，，那么，极有，，代入上式得．故答案为：【点睛】本题考查了椭圆的基本性质与平面几何的转化，考查了两角和的正切公式的应用，属于中档题型，思路点睛：（1）根据平面几何将所求角进行转化，；（2）结合两角和的正切公式，直角三角形内求角的正切，将问题转化为的比值问题．（3）根据离心率求出的比值，代入可求.17．【分析】先利用点坐标和垂直关系求得直线的斜率并写出直线方程联立直线与椭圆利用韦达定理和垂直的向量关系得到的关系式再结合焦距的关系式解出即得方程【详解】依题意椭圆的焦距为即即由点的坐标为知直线OD的斜解析：【分析】先利用点坐标和垂直关系求得直线的斜率，并写出直线方程，联立直线与椭圆，利用韦达定理和垂直的向量关系得到的关系式，再结合焦距的关系式解出，即得方程.【详解】依题意，椭圆的焦距为，即，，即，由点的坐标为，知直线OD的斜率，又，知直线的斜率为，即直线的方程为，即.设联立方程得，故，即，由知，，即，所以，又，消去得，，解得或（舍去），故，椭圆的方程为.故答案为：.【点睛】思路点睛：求解椭圆中的直线垂直问题时，一般利用直线的斜率之积为-1，或者直线上的向量的数量积为0来处理，再联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，即可求出结果.18．【分析】由题意设即有由双曲线定义及已知可得且结合点在曲线上联立方程得到关于的齐次方程即可求得离心率【详解】令则且①由题意知：E的左准线为结合双曲线第二定义知：又∴解得②∵知：∴联立①②得：整理得∴故解析：【分析】由题意设，即有，由双曲线定义及已知可得且，结合点在曲线上联立方程得到关于的齐次方程，即可求得离心率.【详解】令，则且①，由题意知：E的左准线为，结合双曲线第二定义知：，，又，∴，解得②，∵知：，∴联立①，②得：，整理得，∴.故答案为：【点睛】关键点点睛：根据双曲线第二定义：曲线上的点到焦点距离与该点到对应准线的距离之比为常数，可得点的横坐标为；结合点在曲线上及勾股定理即可得关于的齐次方程求离心率即可.19．①②④【分析】①将抛物线与直线联立消去利用根与系数关系求出再由弦长公式即可求出弦长进而可求出弦长的最小值即可判断①的正误；②利用中点坐标公式求出以为直径的圆的圆心的纵坐标判断圆心到直线的距离与半径的解析：①②④【分析】①将抛物线与直线联立消去，利用根与系数关系求出，，再由弦长公式即可求出弦长，进而可求出弦长的最小值，即可判断①的正误；②利用中点坐标公式，求出以为直径的圆的圆心的纵坐标，判断圆心到直线的距离与半径的大小关系，即可判断②的正误；③将代入，可得在抛物线上，此时当直线的斜率不存在时，只有一个交点，当直线与抛物线相切时，也只有一个交点，故与抛物线只有一个交点的直线有可能有2条，可判断③错误；④设的方程为，将直线与抛物线联立消去，利用判别式即可求出，进而可求出直线的倾斜角，即可判断④的正误.【详解】①联立方程，消去可得，恒成立，设两交点坐标分别为，，所以由根与系数的关系得，，故，当时，取得最小值4，所以最短弦长为4，故①正确，②由①可知，则，故以为直径的圆的圆心坐标为，半径，抛物线的准线方程为，故圆心到准线的距离，所以以为直径的圆一定与抛物线的准线相切，故②正确，③将代入，解得，所以当时，即在抛物线上，当直线的斜率不存在时，方程为，此时只有一个交点，当直线斜率存在且只与抛物线只有一个交点时，当且仅当该直线为切线时满足条件，所以过点只与抛物线只有一个交点的直线有可能有2条，故③错误，④因为抛物线的焦点为，又，，所以三角形为直角三角形且过的切线斜率一定存在，设的方程为，代入，可得，由可得，即直线的倾斜角为，因为直线过点且与垂直，所以一定平分，故④正确.故答案为：①②④【点睛】思路点睛：直线与抛物线交点问题的解题思路：(1)求交点问题，通常解直线方程与抛物线方程组成的方程组；(2)与交点相关的问题通常借助根与系数的关系或用向量法解决．20．③④【分析】根据椭圆定义可对①进行判断；根据必要不充分条件定义可对②进行判断；根据复合命题的真假可对③进行判断；根据双曲线的离心率公式可对④进行判断【详解】①的两个顶点为周长为18则C点轨迹方程为当解析：③④【分析】根据椭圆定义可对①进行判断；根据必要不充分条件定义可对②进行判断；根据复合命题的真假可对③进行判断；根据双曲线的离心率公式可对④进行判断.【详解】①的两个顶点为，，周长为18，则C点轨迹方程为，当时，构不成三角形，错误；②当时，，所以不一定有，错误；③已知命题是真命题，是假命题，根据复合命题的真假判断，为真，为假，为假，正确；④双曲线，，所以，，正确．其中正确的命题的序号是③④，故答案为：③④.【点睛】本题考查了椭圆定义、双曲线离心率、必要不充分条件及复合命题真假的判断，属于基础题.三、解答题21．（1）；（2）直线过定点，理由见解析【分析】（1）通过点是椭圆的一个顶点，是等腰直角三角形，可求得，从而可求椭圆方程；（2）若直线的斜率存在，设方程代入椭圆方程，利用韦达定理及，可得直线的方程，从而可得直线过定点；若直线的斜率不存在，设方程为，求出直线的方程，即可得到结论.【详解】（1）由点是椭圆的一个顶点，可知，又是等腰直角三角形，可得，即，所以，所以椭圆的标准方程为；（2）若直线的斜率存在，设方程为，依题意，联立，得由已知，设，由韦达定理得：，，整理得故直线方程为，即，所以直线过定点；若直线的斜率不存在，设方程为，设，由已知得，解得，此时直线方程为，显然过点；综上，直线过定点.【点睛】方法及易错点睛：对题目涉及的变量巧妙的引进参数(如设动点坐标、动直线方程等)，利用题目的条件和椭圆方程组成二元二次方程组，再化为一元二次方程，从而利用根与系数的关系对题目条件进行化简计算，从而可得出结论，另外设直线方程时常常不要忽略斜率是否存在的问题．22．（1）；（2）存在，点坐标为.【分析】（1）利用焦半径公式表示，代入坐标，求的长度，并表示的周长，求；（2）假设存在点，设，与抛物线方程联立，利用根与系数的关系表示，求定点的值.【详解】（1）当与轴垂直时，，，从而有解得，所以的方程为；（2）设，，，由题可知直线斜率不为零，设，代入抛物线方程消去，得，从而，，①由可得，而将①代入，从而得恒成立，所以，因此存在点满足题意，点坐标为.【点睛】思路点睛：定点问题解决步骤：（1）设直线代入二次曲线方程，整理成一元二次方程；（2）韦达定理列出两根和及两根积；（3）写出定点满足的关系，整体代入两根和及两根积；（4）整理（3）所得表达式探求其恒成立的条件.23．（1）；（2）证明见解析，.【分析】（1）利用椭圆的定义可得，根据基本不等式求出，再由离心率求出，由即可求解.（2）当点是椭圆上顶点时，求出，进而求出点，写出直线的方程，得出直线经过定点，设上任意点，设，，写出直线的方程，将直线与椭圆联立，求出，同理求出，若直线经过定点，只需三点共线，利用向量共线的坐标表示即可求解.【详解】（1）由椭圆的定义知，所以，已知，所以，.因为，所以.因为，所以，所以椭圆的方程为.（2）当点是椭圆上顶点时，直线的方程为，可得，则与联立解得，所以直线的方程为：，由椭圆的对称性可知，直线经过轴上的定点，所以直线经过定点.以下证明一般性：设上任意点，设，则直线的方程为联立消去得由韦达定理得，解得因为直线的方程为联立消去得由韦达定理得，解得直线经过定点，即三点共线因为，因为所以，那么三点共线所以直线经过定点，【点睛】关键点点睛：本题考查了直线与椭圆的位置关系，解题的关键是利用点是椭圆上顶点时，求出定点，再证明一般性，借助三点共线求解，考查了运算求解能力.24．（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）设，利用在圆上及弦