第38讲-点差法与定比点差法(解析版)

加QQ309000116进百度群内容2000G分成20多类自动更新永久服务第38讲点差法与定比点差法参考答案与试题解析一．选择题（共3小题）1．（2021•平顶山期末）已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，．那么的取值范围是A． B． C． D．或【解答】解：设，，，，线段的中点为，，，将，代入椭圆中，可得，，两式相减可得，即，，点在椭圆内，即，解得，．故选：．2．（2021春•新余期末）已知椭圆，过点的直线与椭圆交于，两点，若点恰为弦中点，则直线斜率是A． B． C． D．【解答】解：设，点的坐标分别为，，，，由，在椭圆上，则①，②，①②得：，由的中点坐标为，即，，，直线的斜率，故选：．3．（2021春•桃城区校级月考）已知椭圆内有一定点，过点的两条直线，分别与椭圆交于、和、两点，且满足，，若变化时，直线的斜率总为，则椭圆的离心率为A． B． C． D．【解答】解：设，、，、，、，，由，即，，，则，，由，同理可得：，．则，将点，的坐标代入椭圆方程作差可得：，由题意可得：，．则①，同理可得：，，②①②得：，，，则椭圆的离心率．故选：．二．填空题（共7小题）4．（2021•福田区校级期中）已知椭圆，一组平行直线的斜率是，当它们与椭圆相交时，这些直线被椭圆截得的线段的中点轨迹方程是．【解答】解：设这组平行直线的方程为，联立，整理得，则，所以它们与椭圆交点的中点坐标为，，即这些点均在上，故答案为：．5．（2021•浙江）已知点，椭圆上两点，满足，则当5时，点横坐标的绝对值最大．【解答】解：设，，，，由，，可得，，即有，，又，即为，①，②①②得，可得，解得，，则，即有，即有时，有最大值4，即点横坐标的绝对值最大．故答案为：5．6．（2021•慈溪市校级期中）设，分别为椭圆的左、右焦点，点，在椭圆上，若，则点的坐标是，．【解答】解：因为，分别为椭圆的焦点，则，，，，设，，，．，，，解得，，点，在椭圆上，代入椭圆方程，解得，．，，．故答案为：，．7．（2021•长宁区二模）设、分别为椭圆的左、右焦点，点、在椭圆上，且不是椭圆的顶点．若，且，则实数的值为1．【解答】解：因为，所以，所以，根据椭圆的对称性可知，四边形一定为平行四边形，如图：所以，所以，即，故答案为：1．8．（2021春•郫都区校级期中）过点的直线与椭圆交于点和，且．点满足，若为坐标原点，则的最小值为【解答】解：设，，，，，由，，，则，，即为，，相乘可得，①同理可得，②可得，即，化简可得，即，即的轨迹方程，可得的最小值为．故答案为：．9．（2021•惠农区校级月考）已知椭圆，过点的直线与椭圆交于，两点，若点恰为弦中点，则直线斜率是．【解答】解：设，，，，则由已知可得：，，把，两点的坐标代入椭圆方程可得：，两式作差可得：，即，所以直线的斜率为，故答案为：．10．（2021•金山区校级期末）已知椭圆，过点的直线与椭圆相交于，两点，若弦恰好以点为中点，则直线的方程为．（写成一般式）【解答】解：设，点的坐标分别为，，，，由，在椭圆上，则①，②，①②得：，由的中点坐标为，即，，，由直线的斜率，由直线的点斜式方程可知：，整理得：，故答案为：．三．解答题（共7小题）11．（2021•都匀市校级期末）已知双曲线，过点能否作一条直线，与双曲线交于、两点，且点是的中点？【解答】解：设过点的直线方程为或（1）当存在时，有，，得（1）当直线与双曲线相交于两个不同点，则必有△，，又方程（1）的两个不同的根是两交点、的横坐标，又为线段的中点，即，．，使但使△因此当时，方程（1）无实数解故过点与双曲线交于两点、且为线段中点的直线不存在．（2）当时，直线经过点但不满足条件，综上，符合条件的直线不存在．12．（2021•如皋市校级开学）已知椭圆上两个不同的点，关于直线对称，求实数的取值范围．【解答】解：设，，，，由题意设直线的方程为：，联立整理可得：，△，可得：，①且：，，所以，的中点，，由题意的坐标在直线上，所以，整理可得：，由①得，整理可得：，解得或，即的范围为：或．13．（2021•丹东期末）已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，若线段的中点为，．（1）证明：；（2）设为的右焦点，为上一点，且．证明：，，成等差数列．【解答】解：（1）设，，，，，，两式相减得：，又．，，；（2）．，即，为的右焦点，，．．，，由（1）可知：，所以，即点的横坐标为1，将点的横坐标代入椭圆方程可得，或，，即，在轴上方，点在轴下方，即，，故点为，联立方程，解得，，直线方程为，联立方程，消去得：，，，即，设，由椭圆的离心率定义可得：，，，，，，成等差数列．14．（2021•浙江月考）如图，已知椭圆，且满足，抛物线，点是椭圆与抛物线的交点，过点的直线交椭圆于点，交轴于点．（Ⅰ）若点，求椭圆及抛物线的方程；（Ⅱ）若椭圆的离心率为，点的纵坐标记为，若存在直线，使为线段的中点，求的最大值．【解答】解：（Ⅰ）在抛物线上，可得，即，故抛物线的方程为；由在椭圆上，可得，又，，解得，，可得椭圆的方程为；（Ⅱ）椭圆的离心率为，则，又，，解得，，椭圆的方程为，由题意可得，，又为线段的中点，设，则，，又，在椭圆上，可得①，②，①②可得，即，关于的方程有解，故△，解得，故，可得，的最大值为，当，时取得．15．（2021•浙江）如图，已知椭圆，抛物线，点是椭圆与抛物线的交点，过点的直线交椭圆于点，交抛物线于点，不同于．（Ⅰ）若，求抛物线的焦点坐标；（Ⅱ）若存在不过原点的直线使为线段的中点，求的最大值．【解答】解：（Ⅰ），则，则抛物线的焦点坐标，，（Ⅱ）直线与轴垂直时，此时点与点或点重合，不满足题意，设直线的方程为，，，，，，，由，消可得，△，即，，，，，，点在抛物线上，，，联立，解得，，代入椭圆方程可得，解得，，当且仅当，即，时等号成立，故的最大值为．16．（2021•万州区模拟）如图所示，离心率为的椭圆上的点到其左焦点的距离的最大值为3，过椭圆内一点的两条直线分别与椭圆交于点、和、，且满足，，其中为常数，过点作的平行线交椭圆于、两点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若点，求直线的方程，并证明点平分线段．【解答】解：（Ⅰ）由题得，，联立，解得，，，椭圆方程为（4分）（Ⅱ）方法一：设，，，，由可得．点在椭圆上，故整理得：（6分）又点在椭圆上可知，故有①由，同理可得：②②①得：，即（9分）又，故直线的方程为：，即．由可得：是的中点，即点平分线段（12分）（Ⅱ）方法二：，，，即在梯形中，设中点为，中点为，过作的平行线交，于点，与面积相等，，，三点共线（6分）设，，，，，两式相减得，显然，（否则垂直于轴，不在轴上，此时不可能垂直于轴保持与平行）且（否则平行于轴或经过原点，此时，，三点不可能共线）设直线斜率为，直线斜率为，即①设直线斜率为，直线斜率为同理，，又，，即，，三点共线（8分），，，四点共线，，代入①得（9分）直线的方程为，即联立得点平分线段（12分）17．（2021春•绍兴校级期末）设椭圆过点，离心率为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）当过点的动直