2025年北师大新版高一数学上册阶段测试试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年北师大新版高一数学上册阶段测试试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共9题，共18分)1、设M={正四棱柱}；N={直四棱柱}，P={长方体}，Q={直平行六面体}，则四个集合的关系为（）

A.M⊊P⊊N⊊Q

B.M⊊P⊊Q⊊N

C.P⊊M⊊N⊊Q

D.P⊊M⊊Q⊊N

2、下列函数与f（x）=x+1表示同一函数的是（）

A.y=log22x+1

B.．

C.．

D.．

3、已知x，y∈R，条件t：“x≤12或y≤16”和条件b：“x+y≤28或xy≤192”，那么条件t是条件b的（）

A.充分不必要条件。

B.必要不充分条件。

C.充要条件。

D.既不充分也不必要条件。

4、下面四个命题：①若直线平面则内任何直线都与平行；②若直线平面则内任何直线都与垂直；③若平面平面则内任何直线都与平行；④若平面平面则内任何直线都与垂直．其中正确的两个命题是（）Ａ．①与②Ｂ．②与③Ｃ．③与④Ｄ．②与④5、【题文】将直线x＋y－1＝0绕点(1,0)沿逆时针方向旋转15°得到直线l，则直线l与圆(x＋3)2＋y2＝4的位置关系是()A.相交B.相切C.相离D.相交或相切6、已知则的等差中项为（）A.B.C.D.7、将集合表示成列举法，正确的是（）A.{2，3}B.{（2，3）}C.{x=2，y=3}D.（2，3）8、为非零向量，则（）A.且方向相同B.是方向相反的向量C.D.无论什么关系均可9、在Rt鈻�ABC

中，隆脧C=90鈭�AC=4

则AB鈫�?CA鈫�

等于(

)

A.鈭�16

B.鈭�8

C.16

D.8

评卷人得分二、填空题(共8题，共16分)10、函数的最小正周期是____．11、设P和Q是两个集合，定义集合P-Q={x|x∈P，且x∉Q}，如果P={x|log2x＜1}，Q={x|3＜3x＜9}那么P-Q等于____．12、【题文】已知平面和直线给出条件：

①②③④⑤．

（1）当满足条件____时，有（2）当满足条件____时，有．13、【题文】若命题“x∈R,x2＋ax＋1＜0”是真命题，则实数a的取值范围为____。14、【题文】若圆上至少有三个不同点到直线的距离为则直线的斜率的取值范围是____15、【题文】是方程的两实数根；则是的____条件。16、若f（x）=2sin（ωx+Φ）+m，对任意实数t都有且则实数m的值等于____17、已知函数g（x）=（a+1）x﹣2+1（a＞0）的图象恒过定点A，且点A又在函数（x+a）的图象上．则实数a=____．评卷人得分三、解答题(共6题，共12分)18、已知函数是定义在上的奇函数,且若则有（1）判断的单调性,并加以证明；（2）解不等式（3）若对所有恒成立,求实数的取值范围.19、设f（x）和g（x）是定义在R上的两个函数，x1、x2是R上任意两个不等的实根，设|f（x1）+f（x2）|≥|g（x1）+g（x2）|恒成立；且y=f（x）为奇函数，判断函数y=g（x）的奇偶性并说明理由．

20、设为数列的前项和，对任意的N，都有为常数，且．（1）求证：数列是等比数列；（2）设数列的公比与函数关系为数列满足点落在上，N，求数列的通项公式；（3）在满足（2）的条件下，求数列的前项和使恒成立时，求的最小值．[21、已知函数f（x）=loga（x2-a|x|+3）；（a＞0，a≠1）．

（1）若a=4；写出它的单调递增区间；

（2）若对于的任意实数x1，x2都有f（x1）-f（x2）＜0成立；试求实数a的范围．

22、【题文】(本题12分)

如图为正三角形，EC平面ABC，BDCE，且CE=CA=2BD=a,M是EA的中点.（1）求证：(1)DM平面ABC;(2)CMAD;(3)求这个多面体的体积.23、某学校900名学生在一次百米测试中；成绩全部介于13秒与18秒之间，抽取其中50个样本，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[13，14]，第二组[14，15），，第五组[17，18]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．

（1）若成绩小于14秒认为优秀；求该样本在这次百米测试中成绩优秀的人数；

（2）请估计学校900名学生中；成绩属于第四组的人数；

（3）请根据频率分布直方图，求样本数据的众数和中位数．评卷人得分四、计算题(共4题，共12分)24、（1）计算：（）0+︳1-︳-（）2007（）2008-（-1）-3

（2）先化简，再求值（1-）÷其中x=4．25、（2008•宁波校级自主招生）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAD=15°，且AE=AD，则∠CDE=____°．26、等腰三角形的底边长20cm，面积为cm2，求它的各内角．27、已知抛物线y=2x2-4x-1

（1）求当x为何值时y取最小值；且最小值是多少？

（2）这个抛物线交x轴于点（x1，0），（x2，0），求值：

（3）将二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后，所得二次函数图象的顶点为A，请你直接写出点A的坐标．评卷人得分五、作图题(共3题，共30分)28、如图A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，且知道CD=3千米，现在要在河边CD上建一水厂，向A、B两村送自来水，铺设管道费用为每千米2000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设管道的费用最省，并求出其费用．29、请画出如图几何体的三视图．

30、某潜艇为躲避反潜飞机的侦查，紧急下潜50m后，又以15km/h的速度，沿北偏东45°前行5min，又以10km/h的速度，沿北偏东60°前行8min，最后摆脱了反潜飞机的侦查．试画出潜艇整个过程的位移示意图．参考答案一、选择题(共9题，共18分)1、B【分析】

M={正四棱柱}；底面是正方形的直棱柱；

N={直四棱柱}：是侧棱与底面垂直的四棱柱；底面是四边形即可；

P={长方体}：底面是矩形侧棱垂直底面的四棱柱；

Q={直平行六面体}：是侧棱垂直底面的四棱柱；

故选B．

【解析】【答案】明确正四棱柱；直四棱柱、长方体、直平行六面体间的概念的内涵；四个定义中底面的形状的要求，侧棱和底面的关系，容易得到答案．

2、A【分析】

函数f（x）=x+1的定义域为R；

A、∵函数y的定义域为R，y=log22x+1=x+1．满足题意．

B、∵函数的定义域是R；解析式是y=|x|+1，不满足题意；

C、函数的定义域是x≥-1；不满足题意；

D、函数的定义域是x＞-1；不满足题意；

故选A．

【解析】【答案】先判断两个函数的定义域是否相同；再判断两个函数的解析式是否可以化为一致．

3、B【分析】

若x≤12，y≤16，则x+y≤28且（x-12）（y-16）≥0，这两个之间是充要条件．从x≤12，y≤16是无法得到xy≤192，反之，条件b：“x+y≤28或xy≤192”成立时；必有：“x≤12或y≤16”成立。

故选B．

【解析】【答案】若x≤12，y≤16，则x+y≤28，但无法得到xy≤192，反之，条件b：“x+y≤28或xy≤192”成立时；必有：“x≤12或y≤16”成立，注意中间是或，故可得解．

4、B【分析】【解析】

因为①若直线平面则内任何直线都与平行；错误②若直线平面则内任何直线都与垂直；成立③若平面平面则内任何直线都与平行；成立若平面平面则内任何直线都与垂直．错误【解析】【答案】B5、B【分析】【解析】

试题分析：直线l的方程为即圆心到该直线的距离：所以相切.

考点：直线与圆的方程及其位置关系.【解析】【答案】B6、A【分析】【解答】∵∴的等差中项为故选A

【分析】熟练掌握等差中项的概念是解决此类问题的关键，属基础题7、B【分析】解：解方程组：

可得：

∴集合．

故选B．

本题考查的是集合的表示方法．在解答时应先分析元素所具有的公共特征；通过解方程组即可获得问题的解答．注意元素形式为有序实数对．

本题考查的是集合的表示方法．在解答的过程当中充分体现了集合元素特征的挖掘、结合元素的确定以及解方程组的知识．值得同学们体会和反思．【解析】【答案】B8、A【分析】解：∵为非零向量，且|

∴方向相同；

∴∥

故选：A．

利用同向向量的性质判断即可．

本题考查同向向量模的性质、熟练掌握向量的性质是解题的关键，本题是一道基础题．【解析】【答案】A9、A【分析】解：Rt鈻�ABC

中，隆脧C=90鈭�AC=4

则AB鈫�?CA鈫�=(CB鈫�鈭�CA鈫�)?CA鈫�=CB鈫�?CA鈫�鈭�CA鈫�2=0鈭�42=鈭�16

故选：A

．

依题意，CB鈫�隆脥CA鈫�

即CB鈫�?CA鈫�=0

利用向量减法运算法则可得AB鈫�=CB鈫�鈭�CA鈫�

于是AB鈫�?CA鈫�=(CB鈫�鈭�CA鈫�)?CA鈫�

展开计算可得答案．

本题考查平面向量的数量积的运算，考查转化思想与数形结合思想的运用，属于中档题．【解析】A

二、填空题(共8题，共16分)10、略

【分析】

根据y=Asin（ωx+φ）的周期为可得函数的最小正周期是=π；

故答案为π．

【解析】【答案】根据y=Asin（ωx+φ）的周期为运算求得结果．

11、略

【分析】

由log2x＜1=log22解得0＜x＜2；∴P={x|0＜x＜2}．

由3＜3x＜9；解得1＜x＜2，∴Q={x|1＜x＜2}．

∴P-Q={x|0＜x≤1}．

故答案为{x|0＜x≤1}．

【解析】【答案】先分别化简集合P；Q；然后利用新定义即可求出．

12、略

【分析】【解析】

试题分析:若m⊂α；α∥β，则m∥β；

若m⊥α；α∥β，则m⊥β．

故答案为：（i）③⑤（ii）②⑤

考点：直线与平面垂直的判定与性质【解析】【答案】(1)③⑤;(2)②⑤13、略

【分析】【解析】

试题分析：∵命命题“存在实数x，使x2＋ax＋1＜0”的否定是假命题，∴原命题为真命题，即“存在实数x，使x2＋ax＋1＜0”为真命题，∴△=a2-4＞0=∴a＜-2或a＞2；故答案为：a＜-2或a＞2.

考点：命题的真假判断与应用.【解析】【答案】a∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)14、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】15、略

【分析】【解析】【解析】【答案】充分条件16、﹣3或1【分析】【解答】解：∵f（t+）=f（﹣t）；

用﹣t替换上式中的t，得f（t）=f（﹣t）；

∴f（x）=2sin（ωx+Φ）+m的图象关于直线x=对称；

∴y=f（x）在对称轴x=处取到最值；

∵f（）=﹣1；

∴2+m=﹣1或﹣2+m=﹣1；

解得：m=﹣3或m=1；

故答案为：﹣3或1．

【分析】由f（t+）=f（﹣t）⇒f（t）=f（﹣t）⇒f（x）=2sin（ωx+Φ）+m的图象关于直线x=对称，从而可求得实数m的值．17、1【分析】【解答】解：令x﹣2=0得x=2，则g（2）=（a+1）0+1=2；所以函数g（x）的图象恒过定点A（2，2）；

代入（x+a）得，2+a=

解得a=1；

故答案为：1．

【分析】令x﹣2=0得x=2并求出g（2），可得定点A的坐标，由题意代入f（x）的解析式，由对数的运算性质化简后求出a的值．三、解答题(共6题，共12分)18、略

【分析】试题分析：（1）根据单调函数的定义，先取值：任取且然后根据已知条件结合赋值法得再根据奇函数的定义得在上单增。（2）根据（1）中的单调性，去掉要注意函数的定义域，可得解该不等式求得的范围。（3）这是一个不等式恒成立问题，结合（1）可知该不等式可转化为对任意恒成立，然后构造函数这是关于的一次函数，只需保证即可。试题解析：（1）证:任取且则由题意因为为奇函数,所以所以即所以在上单增4分（2）由题意得所以故该不等式的解集为8分（3）由在上单增,由题意,即对任意恒成立，令所以或或综上所述,或或12分考点：（1）单调函数的定义、奇函数的定义，（2）利用函数的单调性求范围，（3）构造函数解决一元二次不等式恒成立问题。【解析】【答案】（1）增函数，证明过程见解析，（2）（3）或或19、略

【分析】

函数y=g（x）为奇函数；以下证明：

令x1=x，x2=-x；

则|f（x1）+f（x2）|≥|g（x1）+g（x2）|即为|f（x）+f（-x）|≥|g（x）+g（-x）|；

又由已知y=f（x）为奇函数；故f（x）+f（-x）=0；

所以|g（x）+g（-x）|≤0；可知g（x）+g（-x）=0对任意的x都成立；

又g（x）是定义在R上的函数；定义域关于原点对称；

所以y=g（x）为奇函数．

【解析】【答案】由y=f（x）为奇函数，令x1=x，x2=-x代入不等式可求得g（x）+g（-x）=0；根据奇偶函数的定义即可作出判断．

20、略

【分析】试题分析：（1）按照等比数列的定义证明数列是等比数列；（2）由（1）知与函数关系为∴是首项为公差为1的等差数列，通项公式可求；（3）先用错位相减法求出数列的前项和即化简得恒成立，由单调性知当时，右边最大，所以的最小值为-6．（1）证明：当时，解得．1分当时，．2分即．∵为常数，且∴．3分∴数列是首项为1，公比为的等比数列．4分（2）【解析】

由（1）得，．5分∵∴即．∴是首项为公差为1的等差数列．7分∴即（）．8分（3）【解析】

由（2）知则．9分所以即①②②－①得故．化简得恒成立，由单调性知当时，右边最大，所以的最小值为-6．14分考点：数列综合应用、函数与方程思想、恒成立问题．【解析】【答案】（1）证明过程详见试题分析；（2）数列的通项公式为（3）的最小值为-6．21、略

【分析】

（1）当a=4时，f（x）=log4（x2-4|x|+3）；此函数是一个复合函数，外层是增函数；

令x2-4|x|+3＞0可解得x＜-3；或-1＜x＜1，或x＞3，即函数的定义域是（-∞，-3）∪（-1，1）∪（3，+∞）

又x2-4|x|+3=

∴内层函数在（-1；0）与（3，+∞）上是增函数。

∴复合函数f（x）=loga（x2-a|x|+3）在（-1；0]与（3，+∞）上是增函数。

所以函数的单调递增区间为（-1；0]与（3，+∞）（6分）

（2）由题意，易知函数为偶函数，则当时为减函数．

对于时，f（x）=loga（x2-ax+3）；（a＞0，a≠1）（8分）

设g（x）=x2-ax+3，由题意得：或（14分）

则2≤a＜4或0＜a＜1（16分）

【解析】【答案】（1）由题意；此题是一个复合函数，当a=4时，外层是一个增函数，所以先求函数的定义域，再求出内层函数的增区间即可得到所求的单调递增区间；

（2）由函数的解析式知此函数是一个偶函数，再由对于的任意实数x1，x2都有f（x1）-f（x2）＜0成立知此函数是一个减函数；按a的取值范围分两类讨论，分别求出参数的取值范围即可求出实数a的范围。

22、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】（1）略。

（2）略。

（3）23、略

【分析】

（1）根据题意；成绩在第一组的为优秀，其频率为0.06，由频率计算公式即可算出该样本中成绩优秀的人数；

（2）由频率分布直方图知成绩在第三组的频率0.32；因此估计成绩属于第三组的人数约为900×0.32；

（3）由频率分布直方图估计样本数据的中位数；众数，规律是，众数即是最高的小矩形的底边中点横坐标，中位数，出现在概率是0.5的地方．

本题给出频率分布直方图，求样本中成绩优秀的人数、900名学生中成绩属于第四组的人数的估计值，并求样本数据的众数和中位数．着重考查了频率分布的计算公式和统计计算公式等知识，属于基础题．【解析】解：（1）样本在这次百米测试中成绩优秀的人数=1×0.06×50=3（人）（2分）

（2）学校900名学生中；成绩属于第四组的人数1×0.32×900=288（人）（2分）

（3）由图可知众数落在第三组[15，16），是（5分）

因为数据落在第一；二组的频率=1×0.06+1×0.16=0.22＜0.5

数据落在第一；二、三组的频率=1×0.06+1×0.16+1×0.38=0.6＞0.5（6分）

所以中位数一定落在第三组[15；16）中．（7分）

假设中位数是x；所以1×0.06+1×0.16+（x-15）×0.38=0.5（9分）

解得中位数（10分）四、计算题(共4题，共12分)24、略

【分析】【分析】（1）求出根据零指数；绝对值性质、积的乘方和幂的乘方分别求出每一个式子的值；代入求出即可．

（2）根据分式的加减法则先计算括号里面的减法，同时把除法变成乘法，进行约分，再代入求出即可．【解析】【解答】解：（1）原式=1+-1-（+1）×1-（-1）；

=1+-1--1+1；

=0．

（2）原式=[-]×；

=×；

=；

当x=4时；

原式=；

=．25、略

【分析】【分析】根据等腰三角形性质推出∠1=∠2，∠B=∠C，根据三角形的外角性质得到∠1+∠3=∠B+15°，∠2=∠C+∠3，推出2∠3=15°即可．【解析】【解答】解：∵AD=AE，AC=AB，

∴∠1=∠2；∠B=∠C；

∵∠1+∠3=∠B+∠BAD=∠B+15°；

∠2=∠1=∠C+∠3；

∴∠C+∠3+∠3=∠B+15°；

2∠3=15°；

∴∠3=7.5°；

即∠CDE=7.5°；

故答案为：7.5°．26、略

【分析】【分析】先在△ABC中底边上作高AD，然后利用面积公式求出高的长度，再利用三角函数公式求出其中一个角，其它角就很容易得出了．【解析】【解答】解：如图；在△ABC中，AB=AC，BC=20；

设等腰三角形底边上的高为xcm；底角为α；

则有x•20=；

∴x=；

∵tanα==；

∴∠α=30°；

顶角为180°-2×30°=120°．

∴该等腰三角形三个内角为30°，30°，120°．27、略

【分析】【分析】（1）把函数解析式利用配方法；由一般式变为顶点式，根据a大于0，抛物线开口向上，顶点为最低点，y有最小值，当x等于顶点横坐标时，y的最小值为顶点纵坐标；