2025年沪科版高二数学下册月考试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年沪科版高二数学下册月考试卷753考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共8题，共16分)1、如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1、AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于（）

A.

B.

C.

D.

2、已知对恒成立；则是的（）条件A.充分不必要B.必要不充分C.充要条件D.既不充分也不必要3、【题文】设在四次独立重复试验中，事件至少发生一次的概率为则在一次试验中事件发生的概率是（）A.B.C.D.4、【题文】一正方形同时外切和内接于两个同心圆，当小圆的半径为时；大圆的半径应为（）

A.B.C.D.5、【题文】已知则有（）A.B.C.D.6、湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下了一个半径为6cm，深2cm的空穴，则该球表面积为()cm².A.B.C.D.7、已知数列{an}是等差数列，若它的前n项和Sn有最大值，且则使Sn＞0成立的最小自然数n的值为（）A.10B.19C.20D.218、已知一个线性回归方程为=1.5x+45，其中x的取值依次为1，7，5，13，19，则=（）A.58.5B.46.5C.60D.75评卷人得分二、填空题(共7题，共14分)9、从圆x2+y2=4上任意一点P向x轴作垂线段PD，则线段PD的中点M的轨迹方程为____．10、在数列中，且对于任意正整数n，都有则＝______11、设质点的运动方程是则t＝2时的瞬时速度是____.12、【题文】下列叙述中：

①变量间关系有函数关系，还有相关关系；②回归函数即用函数关系近似地描述相关关系；③④线性回归方程一定可以近似地表示所有相关关系．

其中正确的有____13、如图,点E,F分别为正方体的面ADD1A1,面BCC1B1的中心,则四边形BFD1E在该正方体的面上的正射影可能是____.（要求:把可能的图的序号都填上）

14、曲线在点（0，f（0））处的切线方程为____15、α，β是两个不重合的平面，可判断平面α，β平行的是______

①m⊥α；n⊥β，m∥n

②α⊥γ；β⊥γ

③平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等。

④m，n是两条异面直线，m⊂α，n⊂β，且m∥β，n∥α评卷人得分三、作图题(共8题，共16分)16、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

17、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）18、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）19、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

20、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）21、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）22、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、解答题(共1题，共6分)23、已知函数f（x）=ex-ax+1；其中a为实常数，e=2.71828为自然对数的底数．

（1）当a=e时；求函数f（x）的单调区间；

（2）若函数f（x）在定义域内单调递增；求a的取值范围；

（3）已知a＞0，并设函数f（x）的最小值为g（a），求证：g（a）≤2．评卷人得分五、计算题(共2题，共8分)24、1.（本小题满分12分）分别是椭圆的左右焦点,直线与C相交于A,B两点（1）直线斜率为1且过点若成等差数列，求值（2）若直线且求值.25、已知复数z1满足（z1﹣2）（1+i）=1﹣i（i为虚数单位），复数z2的虚部为2，且z1•z2是实数，求z2．评卷人得分六、综合题(共3题，共27分)26、如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过AB，C三点的抛物的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求当AD+CD最小时点D的坐标；

（3）以点A为圆心；以AD为半径作⊙A．

①证明：当AD+CD最小时；直线BD与⊙A相切；

②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标：____．27、（2009•新洲区校级模拟）如图，已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和x轴、y轴分别交于点A和点B，且OA=OB=1．这条曲线是函数y=的图象在第一象限的一个分支，点P是这条曲线上任意一点，它的坐标是（a、b），由点P向x轴、y轴所作的垂线PM、PN，垂足是M、N，直线AB分别交PM、PN于点E、F．则AF•BE=____．28、如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过AB，C三点的抛物的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求当AD+CD最小时点D的坐标；

（3）以点A为圆心；以AD为半径作⊙A．

①证明：当AD+CD最小时；直线BD与⊙A相切；

②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标：____．参考答案一、选择题(共8题，共16分)1、B【分析】

取BC的中点G．连接GC1∥FD1；再取GC的中点H，连接HE；OH，则∠OEH为异面直线所成的角．

在△OEH中，OE=HE=OH=．

由余弦定理，可得cos∠OEH=．

故选B．

【解析】【答案】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点；得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可．

2、A【分析】p真：q真：因为所以是的充分不必要条件.【解析】【答案】A3、D【分析】【解析】设在一次试验中事件发生的概率为则4次试验中事件都不发生的概率为于是：

则．[来源:Zxxk.Com]

∴．即一次试验中事件发生的概率为．【解析】【答案】D4、A【分析】【解析】略【解析】【答案】A5、A【分析】【解析】略【解析】【答案】A6、A【分析】【解答】如图；

设球心为是与冰面垂直的一条球半径，冰面截球得到的小圆圆心为为小圆的一条直径，设球的半径为则∴中，．根据勾股定理，得即解之得∴该球表面积为故选A．7、C【分析】【解答】∵数列{an}是等差数列，若它的前n项和Sn有最大值；

∴a1＜0；d＞0；

∵

∴a10＜0，a11＞0，且a10+a11＞0，a1+a19=2a10＜0；

∴S19=×2a10＜0，S20=＞0；

故使Sn＞0成立的最小自然数n的值20．

故选C．

【分析】由数列{an}是等差数列，若它的前n项和Sn有最大值，知a1＜0，d＞0，由知a10+a11＞0，a1+a19=2a10＜0，由此能求出使Sn＞0成立的最小自然数n的值．8、A【分析】【解答】解：∵x∈{1，7，5，13，19}，∴==9；

∴=1.5×9+45=58.5．

故选：A．

【分析】根据所给的x的值，求出x的平均数，根据样本中心点在线性回归直线上，把所求的平均数代入线性回归方程，求出y的平均数．二、填空题(共7题，共14分)9、略

【分析】

设M（x；y），则P（x，2y）

∵P在圆x2+y2=4上；

∴x2+4y2=4；

∴

故答案为：

【解析】【答案】利用中点坐标公式；确定P，M坐标之间的关系，将P的坐标代入圆的方程，即可求得M的轨迹方程．

10、略

【分析】因为在数列中，且对于任意正整数n，都有则运用累加法可知-1＝99+98++1,故可知得到结论为=4951【解析】【答案】495111、略

【分析】所以t=2时的瞬时速度是14.【解析】【答案】1412、略

【分析】【解析】变量间的关系有函数关系，还有相关关系，函数关系是确定，相关关系是不确定关系.所以①对；②根据回归函数的定义可知此选项正确.③正确.④线性回归方程不能表示所有的相关关系.只能表示散点分布在一条直线附近的才可以考虑.故正确的有①②③.【解析】【答案】①②③.13、②③【分析】【解答】对四边形BFD1E在正方体的六个面上的正射影都要考虑到,并且对于图形要考虑所有点的正射影,又知线段由两个端点唯一确定,故考查四边形BFD1E的射影,只需同时考查点B,F,D1,E在各个面上的正射影即可.四边形BFD1E在平面ABB1A1,平面CDD1C1,平面ABCD和平面A1B1C1D1上的正射影均为图②;四边形BFD1E在平面ADD1A1和平面BCC1B1上的正射影均为图③.【分析】本题主要考查了平行射影，解决问题的关键是根据平行射影结合所给选项分析即可14、x﹣y+2=0【分析】【解答】解：把x=0代入曲线方程得：f（0）=2；所以切点坐标为（0，2）；

求导得：f′（x）=

把x=0代入导函数得：f′（0）=1；所以切线方程的斜率k=1；

则切线方程为：y﹣2=x﹣0；即x﹣y+2=0．

故答案为：x﹣y+2=0

【分析】把x=0代入曲线方程求出相应的y的值确定出切点坐标，然后根据求导法则求出曲线方程的导函数，把x=0代入求出的导函数值即为切线方程的斜率，由求出的切点坐标和斜率写出切线方程即可．15、略

【分析】解：①由m⊥α；n⊥β，利用平面平行的判定定理得α∥β，故①正确；

②由α⊥γ；β⊥γ，得α与β相交或平行，故②错误；

③由平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等；得α与β相交或平行，故③错误；

④m；n是两条异面直线，m⊂α，n⊂β；

且m∥β；n∥α，由平面平行的判定定理得α∥β，故④正确；

故答案为：①④．

利用空间线线；线面、面面间的位置关系求解．

本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．【解析】①④三、作图题(共8题，共16分)16、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

17、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．18、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．19、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

20、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．21、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．22、解：画三棱锥可分三步完成。

第一步：画底面﹣﹣画一个三角形；

第二步：确定顶点﹣﹣在底面外任一点；

第三步：画侧棱﹣﹣连接顶点与底面三角形各顶点．

画四棱可分三步完成。

第一步：画一个四棱锥；

第二步：在四棱锥一条侧棱上取一点；从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段；

第三步：将多余线段擦去．

【分析】【分析】画三棱锥和画四棱台都是需要先画底面，再确定平面外一点连接这点与底面上的顶点，得到锥体，在画四棱台时，在四棱锥一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段，将多余线段擦去，得到图形．四、解答题(共1题，共6分)23、略

【分析】

（1）求出函数的导数；解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；

（2）求出函数的导数，问题转化为ex≥a恒成立；从而求出a的范围即可；

（3）求出f（x）的最小值，问题转化为只需证明gmax（a）≤2；根据函数的单调性证明即可．

本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道中档题．【解析】解：（1）函数的定义域：R（1分）

当a=e时，f'（x）=ex-e（2分）

令f'（x）=0解得x=1；

令f′（x）＞0；解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：x＜1；

所以f（x）的单调递减区间是（-∞；1），递增区间是（1，+∞）（5分）

（2）因为f（x）在定义域内单调递增；

则f'（x）=ex-a≥0在R上恒成立（6分）；

即ex≥a恒成立，ex＞0（7分）所以a≤0．（8分）

（3）证明：f'（x）=ex-a

当a＞0时令f'（x）=0；解得x=lna；

令f′（x）＞0；解得：x＞lna，令f′（x）＜0，解得：x＜lna；

∴f（x）在（-∞；lna）递减，在（lna，+∞）递增；

所以g（a）=fmin（x）=f（lna）=a-alna+1（9分）

要证明g（a）≤2，则只需证明gmax（a）≤2（10分）

而g'（a）=-lna令g'（a）=0；解得a=1，（11分）

令g′（a）＞0；解得：a＜1，令g′（a）＜0，解得：a＞1；

所以gmax（a）=g（1）=2≤2成立．

∴g（a）≤2（12分）．五、计算题(共2题，共8分)24、略

【分析】【解析】

（1）设椭圆半焦距为c，则方程为设成等差数列由得高考+资-源-网解得6分（2）联立直线与椭圆方程：带入得12分【解析】【答案】（1）（2）25、解：∴z1=2﹣i

设z2=a+2i（a∈R）

∴z1•z2=（2﹣i）（a+2i）=（2a+2）+（4﹣a）i

∵z1•z2是实数。

∴4﹣a=0解得a=4

所以z2=4+2i【分析】【分析】利用复数的除法运算法则求出z1，设出复数z2；利用复数的乘法运算法则求出z1•z2；利用当虚部为0时复数为实数，求出z2．六、综合题(共3题，共27分)26、略

【分析】【分析】（1）由待定系数法可求得抛物线的解析式．

（2）连接BC；交直线l于点D，根据抛物线对称轴的性质，点B与点A关于直线l对称，∴AD=BD．

∴AD+CD=BD+CD；由“两点之间，线段最短”的原理可知：D在直线BC上AD+CD最短，所以D是直线l与直线BC的交点；

设出直线BC的解析式为y=kx+b；可用待定系数法求得BC直线的解析式，故可求得BC与直线l的交点D的坐标．

（3）由（2）可知，当AD+CD最短时，D在直线BC上，由于已知A，B，C，D四点坐标，根据线段之间的长度，可以求出△ABD是直角三角形，即BC与圆相切．由于AB⊥l，故由垂径定理知及切线长定理知，另一点D与现在的点D关于x轴对称，所以另一点D的坐标为（1，-2）．【解析】【解答】解：

（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）．（1分）

将（0；3）代入上式，得3=a（0+1）（0-3）．

解；得a=-1．（2分）∴抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-3）．

即y=-x2+2x+3．（3分）

（2）连接BC；交直线l于点D．

∵点B与点A关于直线l对称；

∴AD=BD．（4分）

∴AD+CD=BD+CD=BC．

由“两点之间；线段最短”的原理可知：

此时AD+CD最小；点D的位置即为所求．（5分）

设直线BC的解析式为y=kx+b；

由直线BC过点（3；0），（0，3）；

得

解这个方程组，得

∴直线BC的解析式为y=-x+3．（6分）

由（1）知：对称轴l为；即x=1．

将x=1代入y=-x+3；得y=-1+3=2．

∴点D的坐标为（1；2）．（7分）

说明：用相似三角形或三角函数求点D的坐标也可；答案正确给（2分）．

（3）①连接AD．设直线l与x轴的交点记为点E．

由（2）知：当AD+CD最小时；点D的坐标为（1，2）．

∴DE=AE=BE=2．

∴∠DAB=∠DBA=45度．（8分）

∴∠ADB=90度．

∴AD⊥BD．

∴BD与⊙A相切．（9分）

②∵另一点D与D（1；2）关于x轴对称；

∴D（1，-2）．（11分）27、略

【分析】【分析】根据OA=OB，得到△AOB是等腰直角三角形，则△NBF也是等腰直角三角形，由于P的纵坐标是b，因而F点的纵坐标是b，即FM=b，则得到AF=b，同理BE=a，根据（a，b）是函数y=的图象上的点，因而b=，ab=，则即可求出AF•BE．【解析】【解答】解：∵P的坐标为（a，）；且PN⊥OB，PM⊥OA；

∴N的坐标为（0，）；M点的坐标为（a，0）；

∴BN=1-；

在直角三角形BNF中；∠NBF=45°（OB=OA=1，三角形OAB是等腰直角三角形）；

∴NF=BN=1-；

∴F点的坐标为（1-，）；

∵OM=a；

∴AM=1-a；

∴EM=AM=1-a；

∴E点的坐标为（a；1-a）；

∴AF2=（-）2+（）2=，BE2=（a）2+（-a）2=2a2；

∴AF•BE=1．

故答案为：1．28、略

【分析】【分析】（1）由待定系数法可求得抛物线的解析式．

（2）连接BC；交