2025年北师大版高一数学下册阶段测试试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年北师大版高一数学下册阶段测试试卷271考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共9题，共18分)1、下列几何体各自的三视图，其中有且仅有两个三视图完全相同的是（）A.①②B.②④C.①③D.①④2、函数y=logax在[2；+∞）上恒有|y|＞1，则实数a的取值范围是（）

A.（1）∪（1，2）

B.（0，）∪（1；2）

C.（1；2）

D.（0，）∪（2；+∞）

3、同时具有性质“①最小正周期是②图象关于直线对称；③在上是增函数”的一个函数是（）.A.B.C.D.4、袋中有5个白球；3个黑球，从中任取3个球，则至少有一个白球的概率是（）

A.

B.

C.

D.

5、函数是上的偶函数，则的值是（）A.B.C.D.6、现给出下列结论：（1）在中，若则（2）是和的等差中项；（3）函数的值域为（4）振动方程的振幅为．其中正确结论的个数为（）（A）1（B）2（C）3（D）47、如果那么（）A.B.C.D.8、已知点点向量若则实数的值为（）A.5B.6C.7D.89、给出下列命题；其中正确的是()

(1)弧度角与实数之间建立了一一对应的关系。

(2)终边相同的角必相等。

(3)锐角必是第一象限角。

(4)小于90°的角是锐角。

(5)第二象限的角必大于第一象限角A.(1)B.(1)(2)(5)C.(3)(4)(5)D.(1)(3)评卷人得分二、填空题(共8题，共16分)10、直线x=2被圆（x-a）2+y2=4所截得的弦长为则实数a的值为____．11、已知函数任取记函数在区间上的最大值为最小值为记则关于函数有如下结论：①函数为偶函数；②函数的值域为③函数的周期为4；④函数的单调增区间为其中正确的结论有____________.（填上所有正确的结论序号）12、【题文】已知集合A={1,2,3},B={2,m,4},A∩B={2,3},则m=____.13、【题文】点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值是____.14、【题文】已知圆过点且圆心在轴的正半轴上，直线被该圆所截得的弦长为则圆的标准方程为____________15、设函数f（x），x、y∈N*满足：

①∀a，b∈N*，a≠b有af（a）+bf（b）＞af（b）+bf（a）；

②∀n∈N*；有f（f（n））=3n；

则f（1）+f（6）+f（28）=______．16、若一个长方体的长、宽、高分别为1，则它的外接球的表面积是______．17、已知sin(娄脨鈭�娄脕)=log2719,脟脪娄脕隆脢(鈭�娄脨2,0)

则tan娄脕=

______．评卷人得分三、作图题(共8题，共16分)18、作出下列函数图象：y=19、作出函数y=的图象．20、画出计算1++++的程序框图．21、以下是一个用基本算法语句编写的程序；根据程序画出其相应的程序框图．

22、请画出如图几何体的三视图．

23、某潜艇为躲避反潜飞机的侦查，紧急下潜50m后，又以15km/h的速度，沿北偏东45°前行5min，又以10km/h的速度，沿北偏东60°前行8min，最后摆脱了反潜飞机的侦查．试画出潜艇整个过程的位移示意图．24、绘制以下算法对应的程序框图：

第一步；输入变量x；

第二步，根据函数f（x）=

对变量y赋值；使y=f（x）；

第三步，输出变量y的值．25、已知简单组合体如图；试画出它的三视图（尺寸不做严格要求）

评卷人得分四、计算题(共2题，共16分)26、若a、b互为相反数，则3a+3b-2的值为____．27、有一个各条棱长均为a的正四棱锥（底面是正方形，4个侧面是等边三角形的几何体）．现用一张正方形包装纸将其完全包住，不能裁剪，可以折叠，那么包装纸的最小边长为____．评卷人得分五、综合题(共4题，共24分)28、已知平面区域上；坐标x，y满足|x|+|y|≤1

（1）画出满足条件的区域L0；并求出面积S；

（2）对区域L0作一个内切圆M1，然后在M1内作一个内接与此圆与L0相同形状的图形L1，在L1内继续作圆M2；经过无数次后，求所有圆的面积的和．

（提示公式：）29、取一张矩形的纸进行折叠；具体操作过程如下：

第一步：先把矩形ABCD对折；折痕为MN，如图（1）所示；

第二步：再把B点叠在折痕线MN上；折痕为AE，点B在MN上的对应点为B′，得Rt△AB′E，如图（2）所示；

第三步：沿EB′线折叠得折痕EF；如图（3）所示；利用展开图（4）所示．

探究：

（1）△AEF是什么三角形？证明你的结论．

（2）对于任一矩形；按照上述方法是否都能折出这种三角形？请说明理由．

（3）如图（5）；将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点A落在DC边上的点A′处，x轴垂直平分DA，直线EF的表达式为y=kx-k（k＜0）

①问：EF与抛物线y=有几个公共点？

②当EF与抛物线只有一个公共点时，设A′（x，y），求的值．30、若反比例函数y=与一次函数y=kx+b的图象都经过一点A（a，2），另有一点B（2，0）在一次函数y=kx+b的图象上．

（1）写出点A的坐标；

（2）求一次函数y=kx+b的解析式；

（3）过点A作x轴的平行线，过点O作AB的平行线，两线交于点P，求点P的坐标．31、已知二次函数y=x2-2mx-m2（m≠0）的图象与x轴交于点A；B，它的顶点在以AB为直径的圆上．

（1）证明：A；B是x轴上两个不同的交点；

（2）求二次函数的解析式；

（3）设以AB为直径的圆与y轴交于点C，D，求弦CD的长．参考答案一、选择题(共9题，共18分)1、B【分析】试题分析：对于①，正方体的三视图形状都相同，均为正方形，故错误；对于②，主视图和左视图均为等腰三角形，不同于俯视图圆形，故正确；对于③，如图所示的正三棱柱的三视图各不相同，故错误；对于④，正四棱锥的主视图和左视图均为等腰三角形，不同于俯视图正方形，故正确．综上所述，有且仅有两个视图完全相同的是②④，故选B．考点：简单空间图形的三视图．【解析】【答案】B2、A【分析】

由题意可得，当x≥2时，|logax|＞1恒成立．

若a＞1，函数y=logax是增函数，不等式|logax|＞1即logax＞1；

∴loga2＞1=logaa；解得1＜a＜2．

若1＞a＞0，函数y=logax是减函数，函数y=logx是增函数；

不等式|logax|＞1即logx＞1．

∴有log2＞1=log

得1＜＜2，解得＜a＜1．

综上可得，实数a的取值范围是（1）∪（1，2）；

故选A．

【解析】【答案】利用对数函数的单调性和特殊点，根据x≥2时，logax＞1恒成立；分a＞1和1＞a＞0两种情况，分别求出实数a的取值范围，再取并集，即得所求．

3、C【分析】试题分析：由于周期排除图象关于直线对称，排除由于因此满足三个性质.考点：正弦型函数的性质.【解析】【答案】C4、B【分析】

由题意知至少有一个白球的对立事件是三个球中没有白球；即都是黑球；

事件三个球中没有白球即都是黑球的概率是一个古典概型；

试验发生包含的事件数有C83=56；

满足条件的事件数是1；

∴都是黑球的概率是

根据对立事件的概率得到至少有一个白球的概率是1-=

故选B．

【解析】【答案】由题意知至少有一个白球的对立事件是三个球中没有白球；即都是黑球，事件三个球中没有白球即都是黑球的概率是一个古典概型，看出基本事件数和满足条件的事件数，根据古典概型和对立事件的概率公式得到结果．

5、C【分析】【解析】

因为是上的偶函数，所以【解析】【答案】C6、B【分析】对于(1):由正弦定理知可知正确；对于（2）:正确;对于(3)错；对于（4）振幅应为2.错；故正确的有(1)(2),故选B.【解析】【答案】B7、C【分析】【解答】利用诱导公式，8、C【分析】【解答】由已知得又所以存在实数使即解得所以正确答案为C.9、D【分析】【分析】对于弧度制的意义了解可以判断命题（1)；理解终边相同的角的表示方法可以判断（2)，了解锐角；第一象限角、小于90°的角之间的关系，可以判断最后三个命题的真假．

【解答】∵角的弧度制是与实数一一对应的；第一个命题正确；

终边相同的角有无数个；它们的关系可能相等，也可能不等；

锐角一定是第一象限角；但第一象限角不一定是锐角；

小于90°的角可能是负角；

象限角不能比较大小；

∴（1)（3)的说法是正确的；

故选D．二、填空题(共8题，共16分)10、略

【分析】

∵圆（x-a）2+y2=4

∴圆心为：（a；0），半径为：2

圆心到直线的距离为：d=|a-2|

∵

∴a=2+或a=2-

故答案为：2+或2-．

【解析】【答案】由圆的方程，得到圆心与半径，再求得圆心到直线的距离，由求解．

11、略

【分析】试题分析：由题,sin(-x)=-sin(x),所以f(x)为奇函数,①错误,sin(x)在R上的最大值是1,最小值是-1,所以②错误,T===4,所以③正确,令解得[4k-1,4k+1],④正确,故只有④正确.考点：三角函数的性质.【解析】【答案】③④.12、略

【分析】【解析】∵A∩B={2,3},∴2,3∈B,

∴m=3.【解析】【答案】313、略

【分析】【解析】

试题分析：因为点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值是在点的切线与该直线平行的时候，由（负值舍去），所以点的坐标为此时点到直线的距离为

考点：1.导数的几何意义；2.点到直线的距离公式.【解析】【答案】14、略

【分析】【解析】本题考查了直线的方程、点到直线的距离、直线与圆的位置关系，考查了同学们解决直线与圆问题的能力。设圆心为则圆心到直线的距离为

因为圆截直线所得的弦长根据半弦、半径、弦心距之间的关系有即所以或（舍去），半径r=3-1=2

所以圆C的标准方程为【解析】【答案】15、略

【分析】解：由①知，对任意a，b∈N*，a≠b有af（a）+bf（b）＞af（b）+bf（a）；

不妨设a＜b，则有（a-b）（f（a）-f（b））＞0；

由于a-b＜0，从而f（a）＜f（b）；

所以函数f（x）为N*上的单调增函数．

∵②∀n∈N*；有f（f（n））=3n；

∴令f（1）=a；则a≥1，显然a≠1，否则f（f（1））=f（1）=1，与f（f（1））=3矛盾．

从而a＞1；而由f（f（1））=3；

即得f（a）=3．

又由①知f（a）＞f（1）=a；即a＜3．

于是得1＜a＜3，又a∈N*；

从而a=2；即f（1）=2．

进而由f（a）=3知；f（2）=3．

于是f（3）=f（f（2））=3×2=6；

则f（6）=f（f（3））=3×3=9；

f（9）=f（f（6））=3×6=18；

f（18）=f（f（9））=3×9=27；

f（27）=f（f（18））=3×18=54；

f（54）=f（f（27））=3×27=81；

由于54-27=81-54=27；

而且由①知；函数f（x）为单调增函数；

因此f（28）=54+1=55．

从而f（1）+f（6）+f（28）=2+9+55=66．

故答案为：66

利用条件结合函数单调性的定义先判断函数f（x）在x∈N*；上是单调递增函数，利用f（f（n））=3n，结合函数的单调性的关系进行递过即可．

本题主要考查函数值的计算，根据抽象函数关系结合函数单调性的定义先判断函数的单调性以及利用函数单调性和函数值之间的关系进行递推是解决本题的关键．【解析】6616、略

【分析】解：长方体的对角线是：=

球的半径是：．

球的表面积是：4πr2==6π．

故答案为：6π．

先求长方体的对角线；也就是球的直径，再求球的表面积．

本题考查球内接多面体，球的表面积，是基础题．【解析】6π17、略

【分析】解：隆脽sin(娄脨鈭�娄脕)=log2719=lg3鈭�2lg33=鈭�23

隆脿sin娄脕=鈭�23

又娄脕隆脢(鈭�娄脨2,娄脨)

隆脿cos娄脕=1鈭�sin2娄脕=1鈭�(鈭�23)2=53

．

隆脿tan娄脕=sin娄脕cos伪=鈭�2353=鈭�255

．

故答案为：鈭�255

．

由已知结合诱导公式及对数的运算性质求得sin娄脕

进一步求出cos娄脕

再由商的关系求得tan娄脕

．

本题考查三角函数的化简求值，考查了诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．【解析】鈭�255

三、作图题(共8题，共16分)18、【解答】幂函数y={#mathml#}x32

{#/mathml#}的定义域是[0；+∞），图象在第一象限，过原点且单调递增，如图所示；

【分析】【分析】根据幂函数的图象与性质，分别画出题目中的函数图象即可．19、【解答】图象如图所示。

【分析】【分析】描点画图即可20、解：程序框图如下：

【分析】【分析】根据题意，设计的程序框图时需要分别设置一个累加变量S和一个计数变量i，以及判断项数的判断框．21、解：程序框图如下：

【分析】【分析】根据题目中的程序语言，得出该程序是顺序结构，利用构成程序框的图形符号及其作用，即可画出流程图．22、解：如图所示：

【分析】【分析】由几何体是圆柱上面放一个圆锥，从正面，左面，上面看几何体分别得到的图形分别是长方形上边加一个三角形，长方形上边加一个三角形，圆加一点．23、解：由题意作示意图如下；

【分析】【分析】由题意作示意图。24、解：程序框图如下：

【分析】【分析】该函数是分段函数，当x取不同范围内的值时，函数解析式不同，因此当给出一个自变量x的值时，必须先判断x的范围，然后确定利用哪一段的解析式求函数值，因为函数解析式分了三段，所以判断框需要两个，即进行两次判断，于是，即可画出相应的程序框图．25、

解：几何体的三视图为：

【分析】【分析】利用三视图的作法，画出三视图即可．四、计算题(共2题，共16分)26、略

【分析】【分析】根据相反数的定义得到a+b=0，再变形3a+3b-2得到3（a+b）-2，然后把a+b=0整体代入计算即可．【解析】【解答】解：∵a、b互为相反数；

∴a+b=0；

∴3a+3b-2=3（a+b）-2=3×0-2=-2．

故答案为-2．27、略

【分析】【分析】本题考查的是四棱锥的侧面展开问题．在解答时，首先要将四棱锥的四个侧面沿底面展开，观察展开的图形易知包装纸的对角线处在什么位置是，包装纸面积最小，进而获得问题的解答．【解析】【解答】解：由题意可知：当正四棱锥沿底面将侧面都展开时如图所示：

分析易知当以PP′为正方形的对角线时；

所需正方形的包装纸的面积最小；此时边长最小．

设此时的正方形边长为x则：（PP′）2=2x2；

又因为PP′=a+2×a=a+a；

∴=2x2；

解得：x=a．

故答案为：x=a．五、综合题(共4题，共24分)28、略

【分析】【分析】（1）根据绝对值的性质去掉绝对值号，作出|x|+|y|≤1的线性规划区域即可得到区域L0；然后根据正方形的面积等于对角线乘积的一半进行求解即可；

（2）求出M1、M2的面积，然后根据求解规律，后一个圆得到面积等于前一个圆的面积的，然后列式，再根据等比数列的求和公式求解即可．【解析】【解答】解：（1）如图；|x|+|y|≤1可化为；

x+y≤1；x-y≤，-x+y≤1，-x-y≤1；

∴四边形ABCD就是满足条件的区域L0是正方形；

S=×AC×BD=×（1+1）×（1+1）=2；

（2）如图；∵A0=1；

∴⊙M1的半径为：1×sin45°=；

∴内切圆M1的面积是：π（）2=π；

同理可得：⊙M2的半径为：×sin45°=（）2；

∴内切圆M2的面积是：π[（）2]2=π×=π（）2；

⊙M3的半径为：（）2×sin45°=（）3；

内切圆M3的面积是：π[（）3]2=π×（）2=π（）3；

以此类推，经过n次后，⊙Mn的面积为π（）n；

∴所有圆的面积的和=π+π（）2+π（）3++π（）n==π[1-（）n]．

故答案为：（1）2，（2）π[1-（）n]．29、略

【分析】【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；以及矩形性质得出∠AEF=60°，∠EAF=60°，即可得出答案；

（2）根据矩形的长为a，宽为b，可知时，一定能折出等边三角形，当＜b＜a时；不能折出；

（3）①由已知得出得到x2+8kx-8k=0，△=（8k）2+32k=32k（2k+1）；再分析k即可得出答案；

②得出Rt△EMO∽Rt△A′AD，进而得出，即可求出答案．【解析】【解答】解：（1）△AEF是等边三角形

证明：∵PE=PA；

B′P是RT△AB′E斜边上的中线

∴PA=B′P；

∴∠EAB′=∠PB′A；

又∵PN∥AD；

∴∠B′AD=∠PB′A；

又∵2∠EAB′+∠B′AD=90°；

∴∠EAB′=∠B′AD=30°；

易证∠AEF=60°；∴∠EAF=60°；

∴△AEF是等边三角形；

（2）不一定；

设矩形的长为a，宽为b，可知时；一定能折出等边三角形；

当＜b＜a时；不能折出；

（3）①由；

得x2+8kx-8k=0，△=（8k）2+32k=32k（2k+1）；

∵k＜0．

∴k＜-时；△＞0，EF与抛物线有两个公共点．

当时；EF与抛物线有一个公共点．

当时；EF与抛物线没有公共点；

②EF与抛物线只有一个公共点时，；

EF的表达式为；

EF与x轴、y轴的交点为M（1，0），E（0，）；

∵∠EMO=90°-∠OEM=∠EAA′；

∴RT△EMO∽RT△A′AD；

；

即；

∴．30、略

【分析】【分析】（1）把y=2代入反比例函数y=可得x=3；即可求得点A的坐标；

（2）把点A（3，2）、点B（2，0）代入一次函数y=kx+b；利用待定系数法即可求得函数解析式；

（3）根据与x轴平行的直线的特点线，可求得此直线为y=2，过点O作AB的平行线，则此直线为y=2x，从而可得点P的坐标为（1，2）．【解析】【解答】