第20讲-数列的通项公式(解析版)

加QQ309000116进百度群内容2000G分成20多类自动更新永久服务第20讲数列的通项公式参考答案与试题解析一．选择题（共7小题）1．（2021春•赤坎区校级月考）设是首项为1的正项数列，且，2，3，，则它的通项公式是A．100 B． C．101 D．【解答】解：，，，又，，即，，即，又，，，故选：．2．（2021•庐山区校级期中）已知数列，，满足：，若是首项为2，公比为2的等比数列，，则数列的前项的和是A． B． C． D．【解答】解：数列是首项为2，公比为2的等比数列，，，，，两式相减得：，，当时，，即满足上式，数列的通项公式是，，，数列的前项的和，①，②，故选：．3．（2021•黄州区校级二模）数列满足，，则数列的前2021项的和为A． B． C． D．【解答】解：依题意，由，可得，故．，，，．各项相加，可得，．设数列的前项的和为，则．故选：．4．（2021•天水校级期末）已知数列中，，，则数列的通项公式为A． B． C． D．【解答】解：①②，①②得：，即：，所以，所以故选：．5．（2021春•丽水期末）已知数列满足，，则数列的最小项为A． B． C． D．【解答】解：因为数列满足，，所以：；又；所以：数列是首项为，公比为4的等比数列；故；；；；上面等式相乘可得：；又；，；当时符合等式；故，因为为正整数，故当或4时，数列取最小项为；故选：．6．（2021•福州一模）已知数列满足，，则A． B． C． D．【解答】解：因为数列满足，，则，所以，所以，令，则，两边取对数得，又，所以数列是首项为，公比为2的等比数列．所以，所以：，即，从而，将代入，解得：，故选：．7．（2021•德州期末）对于数列，规定△为数列的一阶差分数列，其中△，对自然数，规定△为数列的阶差分数列，其中△△△．若，且△△，则数列的通项公式为A． B． C． D．【解答】解：根据题中定义，可得，即，即，等式两边同时除以，得，且，数列是以为首项，以为公差的等差数列，，．故选：．二．填空题（共5小题）8．（2021•广西月考）已知数列的首项为，设是数列的前项和，且，则．【解答】解：，，，，，是以为首项，以为公差的等差数列，，即．故答案为：．9．设是首项为1的正项数列，且，2，3，，则，．【解答】解：，2，3，，，又，，，，，，故答案为：；．10．（2021•山东月考）已知数列中，，其前项和满足，则；．【解答】解：（1）数列中，，其前项和满足，，解得．（2）时，，化为：，．数列是等差数列，公差为1，首项为2．．．故答案为：，．11．（2021•重庆模拟）设各项均为正数的数列的前项和满足，，则数列的前2021项和．【解答】解：依题意，由，，可得．数列的各项均为正数，．，．当时，，当时，．，．．．故答案为：．12．（2021•江西月考）已知数列满足，．记，其中表示不超过的最大整数，求的值为0．【解答】解：，，可得，，即有，即，若，可得，不成立，则，且，可得，同号，则，可得，则，故答案为：0．三．解答题（共35小题）13．（2021•浙江月考）已知数列的各项都不为零，其前项和为，且满足：．（1）若，求数列的通项公式；（2）是否存在满足题意的无穷数列，使得？若存在，求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）数列的各项都不为零且满足①，解得（2分）②，②①得，整理得到，（5分）是以1为首项，以1为公差的等差数列，．（7分）（2）根据（1），，可得或，（11分）从第二项开始每一项都有两个分支，通项为的数列满足题意，使得（其他符合的答案类似给分）．（15分）14．（2021•迎泽区校级月考）设数列的前项和为，已知，，，是数列的前项和．（1）求数列的通项公式；（2）求的值．【解答】解：（1），，，变形为：，数列是等比数列，首项为6，公比为4，，．．（2）．数列的前项和．．．15．（2021•殷都区校级月考）（1）已知数列满足，，求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．【解答】解：（1）由，，得，，，，累加得：．上式成立，；（2）．16．（2021•湖南模拟）在正项数列中，，，且．（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和．【解答】解：（1）由，可得．，则数列是首项为1，公差为3的等差数列，所以，由于，可得；（2），则前项和．17．（2021•重庆三模）已知数列是单调递增的等比数列，且各项均为正数，其前项和为，，，，成等差数列．（1）求数列的通项公式；（2）若____，求的前项和，并求的最小值．从以下所给的三个条件中任选一个，补充到上面问题的横线上，并解答此问题．①数列满足：，；②数列的前项和；③数列的前项和满足：．【解答】解：（1）设数列的公比为，则由，，所以，因为，所以，因为，，成等差数列，所以，即，所以，所以，所以．（2）选择①：因为，，所以，所以；；；；所以，当时也成立．所以，所以，因为是递增的，所以的最小值为，选择②：由可知：当时，，当时，，验证当时亦满足此关系，所以所以所以，，所以，因为是递增的，所以的最小值，选择③：因为，所以，两式相减得，即，所以而，即所以数列是以1为首项，为公比的等比数列，所以，所以，所以，当为奇数时，由于，故；当为偶数时，由于，故，由在为偶数时单调递增，所以当时，的最小值为．18．（2021春•莱芜区校级月考）在数列中，，．（1）求证：数列是等差数列，并求的通项公式；（2）求数列的前项和．【解答】证明：（1）数列中，，．整理得（常数），当时，，故数列是以1为首项，1为公差的等差数列；故，则，解：（2）由于，故．19．（2021•河西区二模）已知数列的前项和为，且，数列是公差不为0的等差数列，且满足，是和的等比中项．（1）求数列和的通项公式；（2）求；（3）设数列的通项公式，求；【解答】解：（1），，两式相减，整理得：，当时，有，解得，数列是以6为首项，3为公比的等比数列，．设数列的公差为，，是和的等比中项，，即，解得或2，公差不为0，，故；（2），；（3），，．20．（2021•葫芦岛月考）在数列中，．（1）证明数列为等比数列，并求的通项公式；（2）求数列的前项和．【解答】解：（1）证明：数列中，，可得，数列为首项和公比均为2的等比数列，可得，则；（2），则前项和，，相减可得，化简可得．21．（2021•秦州区校级月考）已知数列中，，．（1）令，求证：数列为等比数列；（2）求数列和的通项公式；（3）为数列的前项和，求．【解答】解：（1）证明：数列中，，．所以，所以（常数），所以数列是以为首项，2为公比的等比数列．（2）由于数列是以为首项，2为公比的等比数列．所以，由于，所以．（3）由于，所以．22．（2021•西城区校级月考）数列中，且．（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）证明：数列是等比数列，并求的通项公式；（Ⅲ）求数列的前项和．【解答】解：（Ⅰ）因为，，所以，，．（Ⅱ）因为，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列．，即．数列的通项公式是．（Ⅲ）数列的前项和．23．（2021•赫山区校级期中）已知数列中，，．（1）求证是等比数列，并求的通项公式；（2）求数列的前项和；【解答】解：（1）证明：，，可得，可得是首项为3，公比为3的等比数列，即有，可得；（2）前项和，可得．24．（2021•沈阳月考）在等差数列中，已知，公差，其前项和满足．（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，求的表达式．【解答】解：（1）根据题意，当时，，又，则，解得，所以等差数列的公差，所以；（2）由（1）可知，则；所以，两式相减得，则，所以．25．（2021•五华区校级月考）已知数列中，，，当时，．（1）证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）当时，，求正整数的最小值．【解答】解：（1）当时，由已知，得，所以是以为首项，1为公差的等差数列．所以，所以，所以．（6分）（2）令，，因为（3）（3），（4）（4），由二次函数与指数函数的不同增长模型可得：时，，所以正整数的最小值为4．（12分）26．（2021•湖南月考）已知在数列中，，．（1）求数列的通项公式；（2）设，求的前项和．【解答】解：（1）由，得，所以，又满足上式，所以；（2）由（1）可知，则，所以．27．（2021•青羊区校级开学）在①，，成等差数列，且；②，且；③为常数）从这三个条件中任选一个补充在横线处，并给出解答．问题：已知数列的前项和为_____，其中．（1）求的通项公式；（2）记，求数列的前项和．【解答】（1）若选①，，成等差数列，且．问题：已知数列的前项和为，，其中，，成等差数列，其中．解：，，成等差数列，其中．，化为：，，，数列是等比数列，首项为，公比为，．若选②，且．问题：已知数列的前项和为，，，且，其中．解：，化为：，，，即，数列是等比数列，首项为，公比为，．若选③为常数）．问题：已知数列的前项和为，，为常数），其中．解：由，为常数），其中．取，可得：，，化为：，解得．时，，相减可得：，即，数列是等比数列，首项为，公比为，．（2）解：，．数列的前项和，，，化为：．28．（2021•明山区校级月考）在数列中，为其前项和，且，．（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前项和．【解答】解：（1），，当时，，两式相减可得，时，，，又，满足上式，当时，，显然当时也满足，，，（2），．29．（2021•邯郸开学）在数列中，，．（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足，求的前项和．【解答】解：（1）由，，可得，且，所以数列是首项为0，公差为2的等差数列，可得；（2），所以．30．（2021•全国Ⅰ卷月考）已知数列中，，且满足，．（1）证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）设为数列的前项和，求满足的的最小值．【解答】（1）证明：因为，．所以数列是首项为2，公差为1的等差数列，所以．（2）因为，所以，解得，所以满足的的最小值为10．31．（2021•天河区月考）已知数列中，，其前项和为，且对任意，都有．（1）求、、，并求数列的通项公式．（2）求数列的前项和．【解答】解：（1），对任意，都有．时，，解得；时，，解得；时，，解得．时，，化为：，，数列是等差数列，公差为2，．（2）时，数列的前项和；时，数列的前项和．．32．（2021春•雅安期末）已知数列中，，．（1）求证：是等比数列，并求数列的通项公式；（2）已知数列，满足．（ⅰ）求数列的前项和；（ⅱ）若不等式对一切恒成立，求的取值范围．【解答】解：（1）证明：由，得，则，又，得，所以是以3为首项，3为公比的等比数列，故，即；（2）（ⅰ）由（1）可知；则，所以；，两式相减得，所以；（ⅱ）由（ⅰ）得，所以对一切恒成立，令，则是递增数列，当为偶数时，，所以；当为奇数时，恒成立，又，所以，综上所述，的取值范围是．33．（2021•遂宁模拟）已知数列中，，．（1）求数列的通项公式；（2）若，且数列的前项和为，求．【解答】解：数列中，，，当时，解得；两边同除以，整理得（常数），故数列是以1为首项，2为公差的等差数列；所以，整理得．（2）由（1）得：，所以①，②，①②得：，整理得．34．（2021•北京月考）已知数列中，，且且．（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，求满足的所有正整数的值．【解答】解：（1）因为且,所以,则,上式对也成立，故；（2）等价为,数列的前项和为,令,其前项和为,则有,,,故,,,当时，,则有,综上可得,不等式成立的或2．35．（2021•溧阳市期中）已知数列的前项和为，点，在函数的图象上，数列满足，且（1）求数列的通项公式；（2）证明列数是等比数列，并求数列的通项公式；（3）设数列满足对任意的成立的值．【解答】解：（1）点在函数的图象上，当时，当时，也适合，的通项公式为（2）其首项为3，公比为3的等比数列（3）由（2）得由题意得36．（2021春•长阳县校级期中）已知数列中，，，，（Ⅰ）证明数列成等比数列，并求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列，求数列的前项和．【解答】解：（Ⅰ），，又，数列是以7为首项、3为公比的等比数列，；，，又，数列是以为首项、为公比的等比数列，；．（Ⅱ）由（Ⅰ），得，，，，，37．已知在数列中，，，．（1）求数列的前项和；（2）若且，，是否存在直线，使得当，，成等差数列时，点列，在上？若存在，求该直线的方程并证明；若不存在，请说明理由．【解答】（1）解：，，又，数列是以2为首项、为公比的等比数列，，，当为正偶数时，；当为正奇数时，，；（2）结论：存在满足条件的直线．理由如下：假设，，成等差数列，则，，整理得：，依题意，且，，下面对、进行讨论：①若、均为偶数，则，解得：，与且，矛盾，舍去；②若为奇数、为偶数，则，解得：；③若为偶数、为奇数，则，解得：，与且，矛盾，舍去；④若、均为奇数，则，解得：，与且，矛盾，舍去；综上①②③④，只有当为奇数、为偶数时，，，成等差数列，此时满足条件点列，落在直线在上．38．（2021春•内江期末）已知数列的前项和为，且满足，当时，．（1）计算：，；（2）求的通项公式；（3）设，求数列的前项和．【解答】解：（1）令，得，又，所以；令，得，所以．（2）因为当时，，所以，所以数列为等差数列，所以，所以，于是，当时，，当时，，满足上式，故．（3）因为，则，于是，．39．（2021春•新津县校级月考）已知数列中，，且．（1）求，的值及数列的通项公式；（2）令，设数列的前项和为，求并比较与的大小．【解答】解：（1）当时，，当时，，因为，所以，当时，由累加法得，因为，所以时，有，即，又时，，故．（2）时，，则．记函数，所以，则，所以．由于，此时，，此时，，此时，由于，故时，（3），此时．综上所述，当，2时，；当时，．40．（2021春•广东期中）已知数列满足，且，．（1）求证数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）记，求；（3）是否存在实数，使得对任意都成立？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1），，数列是以首项为1，公差为2的等差数列，，，，故数列是等差数列，．（2）．（3），，即，，，当且仅当时等号成立，故．41．（2008•深圳二模）已知数列满足，．（Ⅰ）试判断数列是否为等比数列？若不是，请说明理由；若是，试求出通项．（Ⅱ）如果时，数列的前项和为．试求出，并证明．【解答】解：（Ⅰ），．令，则．分，当时，，则．数列不是等比数列．当时，数列不是等比数列．分当时，，则数列是等比数列，且公比为2．，即．解得．分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，，．令，①则，②由①②：，，分则．分，当时，，则．分，则．分因此，．分．42．（2021•南城县校级月考）设各项为正数的数列的前项和为，且满足：．等比数列满足：．（Ⅰ）求数列，的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项的和；（Ⅲ）证明：对一切正整数，有．【解答】解：当时，，而即当时，，，当时，．当时也成立，．．．解：．，（1），（2），（1）（2）得，．（Ⅲ）证明：当时，，43．（2021春•寿县校级月考）设数列满足：，．令．（1）求证数列是等比数列并求数列的通项公式；（2）已知，求证：．【解答】证明：（1）由，得，代入得，，，，是首项为2，公比为的等比数列，（2）法一：由（2）得法二：同理由44．（2021•北仑区校级期