数学-湖南省岳阳市2025届高三上学期教学质量监测（一）试题和答案

岳阳市2024-2025学年度高三年级质量监测（一）数学参考答案及评分标准一.二.选择题题号123456789答案DCBCADCBAD三．填空题13.an=4-3n；四.解答题15.解析1）asinC+acosC-b=c，利用正弦定理可得 3sinAsinC+sinAcosC-sinB=sinC，................2分又sinB=sin则2sin即所以................6分由D为BC中点，可知即所以c=2，................9分又cosA=，可得b=2................11分则ΔABC的面积为bcsinA=................13分16.解析1）y2=2px(p>0)的焦点在x轴上，为................1分直线2x+3y-2=0与x轴的交点坐标为(1,0)，................2分则即p=2................4分所以抛物线为y2=4x................5分（2）法一：由题意可知AB所在直线斜率不为0，................6分设A(x1,y1),B(x2,y2)，AB所在直线方程为x=my+n，联立y2=4x，化简可得：y2-4my-4n=0，则y1y2=-4n，2+16n>0...........（*）即直线AB恒过点(2,0)................15分法二：当直线AB的斜率不存在时，所以kOA.kOB==-2，所以y所以直线AB的方程为x=2；................8分当直线AB的斜率存在时，设A(x1,y1),B(x2,y2)，AB所在直线方程为y=kx+b(k≠0,b≠0)，联立y2=4x，化简可得：k2x2+(2kb-4)x+b2=0，由题意可知Δ=(2kb-4)2-4k2b2=16-16kb>0即kb<1............（*................9分所以b=-2k，满足（*）式； 13分所以AB所在直线方程为y=kx-2k=k(x-2)综上,直线AB恒过点(2,0) 15分17.解析1）BC=2·3，E为边BC的中点，EC=3，...............1分 .............3分又ABCD为平行四边形，所以AD//BC,则DE丄AD，所以DE丄PA...............6分（2）法一：取AD的中点O,又PA=PD所以PO丄AD，DE//BO,所以上PBO即为二面角P-BC-D的平面角，上PBO=.............10分又△POB为直角三角形，OB=设在线段AB上存在点M，使得M到平面PBC的距离为，且BM=t△PBC为直角三角形，S△PBC=t.sin..............13分解得，即M为AB中点..............15分法二：取AD的中点O,又PA=PD又DE//BO,所以BO丄OA所以OP,OA,OB两两垂直。..............8分如图，以O为坐标原点，以OA,OB,OP所在直线为x轴,y轴,z轴，建立空间直角坐标系：)则{-则{-取y1， π 31解得λ=，即M为AB中点..............15分18.解析1）f(x)的定义域为R，f’(x)=ex-6k，..............1分(x)>0，f(x)在R上单调递增..............2分综上，当k≤0时，f(x)在R上单调递增;当k>0时，f(x)在(-∞,ln(6k))上单调递减，在)上单调递增...............4分x-6k,..............5分(x)单调)上存在唯一的变号零点，(x)有两个极值点..............9分..............10分(x)>0,φ(x)在定义域内单调递增，又φ(0)=0，所以φ(x)只有一个零点。..............11分又x2-2x+2>0,则φ’(x)的最小值为φ(0)=0，函数只有一个零点。..............13分使得φx1所以φ(x)有两个零点。..............15分得φ222所以φ(x)有两个零点...............16分所以,φ(x)有且仅有两个零点时，k>或0<k<..............17分19.解析：(1)第三项为111321，第五项为132113111221。..............4分①m为一位数时，第2项为两位数，不符合 5分②m为两位数时，即m为aa时，第二项为2a，当a大于2时第二项小于第一项，此时有7 ③m为三位数时，即m为aaa时，第二项为3a，第二项小于第一项，此时有9个符合。当合。.............7分综上，总共有16个数列符合，在所有数列中含0的数有9+9+162=180个，故总数为999-180=819个，故第二项小于第一项的概率为。..............9分（3）证明：定义一个数列中连续相同若干个数字为一个数字串，数列中第i项为ai.a32；若a343，两种都不存在连续4项单调递减。.............11分2p个q个若p≠a，则a2至少三个数字串，a3至少是6位数，a3>a2，不存在连续4项单调递减。23。当a=4,b=2时，a3=2422,a4=121422>a3，两种都不存在连续4项单调递减。单调递减。..............13分a2=paqbrc，若p≠a，则a2至少四个数字串，a3>a2，不存在连续4项单调递减。当p=a时，同理q=a或q=b,r=b或r=时，b=0,矛盾，若a=2，b