安徽省合肥市某中学2023-2024学年高三年级上册学情调研与诊断(三)数学试题

合肥四中高三学情调研与诊断（三）

数学试卷

一、选择题（共8小题）

rrp=（x|10g1（^-1）<0|'卜；21

1.已知全集0二1^,集合I।J,则（）

A.屯4=[2,+8）B.8=*

C.4c（Q,B）=0D.=,2]

【答案】C

【解析】

【分析】先求出集合再由交集，补集，并集的定义判断A,C,D；由集合间的关系判断B.

【详解】由log2（xT）<0=bg21，则0<1一1<1，解得：1<X<2,

所以/={x[l<x<2},

由可得2—120,即20,则—2），°,

xxx[x工0

解得：0cx《2,故8={x|0cx《2},故B错误；

故名力={工卜41或x22},故A错误；

电8={x|x<0或x>2},4n（电町=0,故C正确；

Nu8=（0,2],故D错误.

故选:C.

2.^3xe[1,2],使2/一%丫+1<0成立”是假命题，则实数2的取值范围是（）

B.2反9

A.(-8,2伺C.(-3]D.5收

【答案】C

【解析】

【分析】先将条件转化为Vxc[1,2],使2/一九丫+120成立，再参变分离构造函数，转化为最值问题,

求导确定最值即可求解.

【详解】若使2/-%丫+1<0成立”是假命题，则"VX£1,2],使2/-九丫+120成立“是真

命趣，即V.¥€[1,2],义工2xH--;

X

^/(X)=2X+-,XG[1,2],则0=2-4=空二>0,则/(x)在x«l,2]上单增，

XXX

〃加=〃1)=3,则人3.

故选:C.

3.已知函数/(x)=(l+cosx)卜一:卜勺部分图像大致为()

【答案】D

【解析】

【分析】求出/(x)的定义域可排除A；证明/(x)是奇函数可排除B；当x>0且X趋近于0时，/'(x)<o

可排C,进而可得正确选项.

【详解】/'(x)=(l+cosx)G—，的定义域为｛x|"0

｝,故排除选项A；

/(x)定义域为｛》|xw。｝,关于原点对称，

/(-X)=(1+cosx)f--X=-|14-COSX)fX--j=-J

r(x),所以/(x)是奇函数，图象关于原点对称,

故排除选项B；

当x：>0且X趋近于。时，/(x)=(l+cosx)(x-；<0,故排除选项C,

故选:D

4.某教学软件在刚发布时有1()0名教师用户，发布5天后有100()名教师用户，如果教师用户人数火(/)与

天数/之间满足关系式：/?(，)=%(?,其中％为常数，/=0是刚发布的时间，则教师用户超过3000()名至

少经过的天数为()

(参考数据：lg3,0.4771)

A.11B.12C.13D.14

【答案】C

【解析】

In10inin

【分析】根据题意，列出方程组求得Ra)=io()cK"'，由不等式100e丁,>30000'结合对数的预算性质，

即可求解.

f/?(0)=/?e°=100inlO

【详解】由题意得精5；=/n』。。。'可得「咱八丁'

InlO|n|.)

所以R(/)=100e丁'则100e于,>30000'

故人>^^=51g300=5x(lg3+2)al2.39>12,

所以教师用户超过20000名至少经过13天.

故选:C

02

5.67=e，b=log78,c=唉67，贝iJ（）

A.a>b>cB.b>a>c

C.a>c>bD.c>a>b

【答案】C

【解析】

【分析】先构造函数/(乃二蛇上»,通过求导判断单调性，比较出人和。的大小；再找中间值9和1，

Inx56

6Y1nY

通过构造函数g(x)=e、-x-l,证明e，Nx+l,判断e”>一，构造函数6(x)二:一一通过单调性判

56In6

断log,,7〈工，于是证明c<4,即可求得〃、加C的大小关系.

6

【详解】令/Xx)=弊土D(》>o)

Inx

xlnx-(x4-l)ln(x4-l)

则r（x）显然/'(x)<0

x(x+l)ln2x

即/(x)单调递减，所以色2>g，即Iog67>log78,c>b.

In6In7

令g(x)=e、-x-l(xNO)

则g\x)=ex-l>0,即g(x)在［0,+o。)上单调递增

所以g(x)Ng(O)=O,即e'Nx+1，

所以e°2>0.2+1=g

人，/、xInx

令n(x)=-------

6ln6

则力'⑴二-七

6xIn6

当Y(x)>0时，x>—,即〃(x)在(4-,y)上单调递增

In6In6

又力(6)=0,所以当x>6时，h(x)>h(6)=0

7

即In>o

所以6(7)>6(6)=0,6-6

In

7

即log67<7，

又一＜2,所以log67＜一＜一＜e°2,即c＜q.

6565

综上：a＞c＞b.

故选:C.

sinx

6.已知函数/（x）=——，给出下面三个结论：

x

①函数/（X）没有最大值，而有最小值；

②函数/（X）在区间（0,4）上不存在零点，也不存在极值点；

③设0＜%＜々＜乃，则/（%）＜/'（工2），

其中，所有正确结论的序号是（）

A.①@B.①②C.②@D,①②③

【答案】B

【解析】

【分析】把函数/（x）=?”看作点（0,0）与点（x,sinx）连线的斜率，结合函数歹=5仙》的图象和导数

A

sinx、xcosA-sinx

的几何意义判断①；由函数/（x）=——，求导/（x）=-----5----，利用导数法判断②©.

x/

【详解】因为函数/（幻二把二可看作点（0,0）与点（X,sinx）连线的斜率，

X

如图所示：

函数y=sinx在（（），0）处的切线的斜率为％=cos0=1,则必*＜%=],

x

所以/（X）＜1,故/（X）无最大值，

当x＞0时，过原点（0,0）,作^=$3%的切线，y轴右侧的第一个切点为（％,sin%）,

sinxsinx

则——2——n所以/（x）有最小值，故①正确；

sinx、xcosx-sinx

因为函数人工）二—,所以/（'）=------5----，

X*

令g（x）=xcosx-sinx,贝ijg'（x）=-xsinxt

当上w（0,4）时,gz（x）＜0,则g（x）在（0,乃）上递减，

所以g（x）＜g（0）=0,即/'（x）＜0，

所以/（x）在（0,1）上递减，又/（力＞八*=0故②正确③错误，

故选:B

7.己知ZUB。满足=，BC=4,则△48c面积的最大值为（）

8

B1-6D-

33

【分析】设NC=x,/i8=2x,利用面积公式和余弦定理表示出三角形的面积为

SeABC—（x2-—）2,根据x的范围即可讨论最大面积.

9169

【详解】设/C=x,48=2x,

所以S3ABe=-BC-ACsinC=2xsinC=2xJl-cos2c,

163x

又由余弦定理得cosC='C="

IBCAC8x

所以=2x\/l-cos2C=2x

2x+x>44

由三角形的三边关系可得《’.解得；<x<4,

所以当犬二的公时，面积有最大值为华，

933

故选:B.

8.设函数/(x)=e'+a(x—1)+5在区间［0,1］上存在零点，则/十从的最小值为()

A.eB.yC.7D.3e

【答案】B

【解析】

【分析】设/为/(x)在［o,l］上的零点，可得d+a«—l)+人=0,转化为点(。,力)在直线(f—l)x+y+e'=0

2/2t

上，根据/+〃的几何意义，可得“+〃之：，令g(/)二:、利用导数求得函数的单调

Q—l)-+l(r-l)-+l

性和最值，即可得答案.

【详解】设f为/(x)在［o,i］上的零点，则1)+6=0,

所以(f-l)4+b+e'=0,即点(。,6)在直线”-l)x+y+e'=0，

又表示点(〃,6)到原点距离的平方,

-------Q5

则,HPa2+b2>

J"-"(1)2+1

2e21(z2+2-2/)-e2z(2/-2)_2e2f(Z2-3z+3)

令g")"消声T可得

g'(f)=(尸+2-2。2一(,+2—212

因为/'>0,『-3/+3>0,

所以g'(/)>0,

可得g")在［0,1］上为单调递增函数,

所以当/=0是，g«)min=g(°)=:，

J

所以/+〃222_,即。2+/的最小值为:

2

故选:B

【点睛】解题的关键是根据/+/的几何意义，将方程问题转化为求距离问题，再构造新函数，利用导数

求解，分析、计算难度大，属难题.

二多选题(共4小题)

9.函数/(x)=3sin(6zr+0)(G〉0,()<e<7t)的部分图象如图所示，则()

sin伉+2、

/(x)=3

A.I8)

SIT

B./(x)图象的一条对称轴方程是x=--

o

/(x)图象的对称中心是履-J,0,keZ

C.

Io7

7兀

D.函数V=/^+―是偶函数

I]BD

【解析】

【分析】首先根据题意得到/(x)=3sin2x+一，再根据三角函数的性质和平移变换依次判断选项即可

得到答案.

【详解】由函数/(戈)=3sin(0X+8)的图象知:

=^-|,所以T=兀：即幺=兀，解得啰=2,所以/a)=3sin(2x+e),

2o\oJ2co

因为/(一方=3sin(°-：)=3,所以夕一：=]+2攵兀，ksZ,

ur3兀c,

即(。=—+2kit,kJZ,因为0<夕<兀，所以°/(x)=3sin

44

/a、

对选项A,因为/(x)=3sin2x+—,故A错误.

53兀）1

=3sin=3sin71

对选项B，4n+4J2J=-3,故B正确.

3兀I37r

对选项C,令2x4=kn,kez,解得x=—E----,左wZ,

428

所以/(X)的对称中心是-蓑,0),女£Z,故C错误.

J

对选项D,设g(%)=/=3sin|2x+—+—=3sin^2x+—j=3cos2x,

8JI44

则g(x)的定义域为R,g(-x)=3cos(-2x)=3cos2x=g(xj,

所以g(x)为偶函数，故D正确.

故选：BD

10.已知/(x)是定义在R上的不恒为零的函数，对于任意％JwR都满足

/S，)=W(x)+M'(y)，则下列说法正确的是()

A./(0)=0B./(-1)=1

C./(')是奇函数D,若〃2)=!，则/［已［

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用赋值法，x=N=0可判断A项；令x=y=l,x=y=T可判断B项；令歹=T并结合奇

函数的定义可判断C项；令x=2,y=-；可判断D项.

【详解】因为/(9)=M(x)+Mb)，所以令x=y=0,得/(0)=0,故A正确；

令工=y=l,得/⑴=/(1)+/(1),所以/(1)=(),

令X=),二一1,得=所以/(-1)=0,故B错误；

令)=-1,得〃一力=一/(力+七(-1),又/(T)=0,所以/(-x)=-/(x),

所以函数/'(X)是奇函数，故C正确；

令x=2,y=-；,得〃1）=t/（2b2/1

又f（T）=O，/（2）=1,所以/6）=（，故D正确；

故选：ACD.

11.任取多组正数Wac,通过大量计算得出结论："+"心砥，当且仅当。=b=c时，等号成立.若

3

0＜加＜3,根据上述结论判断“5（3-〃7）的值可能是（）

A.VnB.VL5C.5D.3

【答案】BD

【解析】

【分析】利用已知结论求出m2（3_m）的最大值进行判断，为此需凑出三个正数的和为定值.

1]V

【详解】根据题意可得加2（3—〃7）=4XL〃7X—〃7（3—〃?）W42——1---------=4,

223

/

当且仅当gm=3—〃？，即根=2时，等号成立.故mY3-〃。的最大值为4.

从而AC不可能，BD可以取.

故选：BD.

12.已知函数/（x）=产7+3-'+/一2%，若不等式/（2—。幻＜/（/+3）对任意xwR恒成立，则实数。

的取值可能是（）

A.-4B.一；C.72D.372

【答案】BC

【解析】

【分析】令，=x-1,得到g«）=e'+S'十〃一1,推得g（。为偶函数，得到/。）的图象关亍x=l对称，

再利用导数求得当x＞l时，/（“单调递增，当x＜l时，/（x）单调递减，把不等式转化为|1-。同＜一+2

恒成立，结合二次函数的性质，即可求解.

【详解】由函数/（外=/7+3-*+——，

令z=x-l,则x=f+1,可得g（r）=e'+"'+〃一1,

可得g(T)=«T+d+(7)2-1=d+«T+/2_]=g«),

所以g(。为偶函数，即函数/(x)的图象关于X=1对称，

又由+21,令9«)=g'(z)="—小'+2人

可得“«)=，+-'+2>0,所以8")为单调递增函数，且夕(0)=0,

当Z>0时，g'«)〉0,g。)单调递增，即x>l时，/(力单调递增;

当，<0时，gV)<0,g")单诡递减，即x<l时，/(x)单调递减，

由不等式/(2-or)</任+3),可得|2-〃工一1|<,+3-1：KP|1-OY|<x2+2

所以不等式|1一依|</+2恒成立，即一/一2<Qx一1</+2恒成立，

Y+QX+1>0-、1

所以12的解集为R,所以/一4<0且(一。)2-12<0,

x-ax+3>0

解得一2<a<2,结合选项，可得BC适合.

故选：BC.

【点睛】关键点睛：本题的关键是利用换元法设/=x-1,从而得到证明其为偶函

数，则得到/(x)的图象关于x=l对称，再结合其单调性即可得到不等式组，解出即可.

三、填空题(共4小题)・

R

13.已知《为锐角，tancr=2,cos/?=-9---»则tan(2a

5

【答案】-?

2

【解析】

【分析】根据二倍角公式、同角三角函数的基本关系式、两角差的正切公式求得正确答案.

sinp_1

【详解】由于/为锐角，所以sin/?二

cos/72

2tana44

tanla-

1-tan2a1-223

4_]_

tan2a-tanp3~211

所以tan（2a-/7）=

1+tan2a-tanp

11

故答案为:

2

14.函数的定义域为R,且—2)-1)-/(%),/(x)=/(2-x),/(365)=-1,则

2023

£/(A)=-

々=1

【答案】2

【解析】

【分析】根据给定条件，探讨函数/*)的周期，再结合〃x)=/(2-x)求出〃1)J(2)J(3)即可求解作

答.

【详解】函数解(x)的定义域为R,由/(x+2)=—/(x+l)-/卜)，

得“X+3)=-f(x+2)-f(x+l)=/(x+l)+f(x)-f(x+1)=f(x),

因此函数/(“)是以3为周期的周期函数,且/a)+/a+i)+/a+2)=o,即〃i)+(⑵+/⑶=o,

由“365)=-1,得/(2)=-1,又f(x)=/(2r),/(3)=/(0)=/(2)=-1,从而

/(1)=-/(2)-/(3)=2,

)023

所以£f*)=674x[/(1)+/(2)+/(3)]+/(1)=/(I)=2.

*=i

故答案为：2

15.已知函数/("=|噢2'|，若/(。)=〃6)且则一+丁的取值范围为_

ab

【答案】(3,+oo)

【解析】

2172

【分析】由〃。)=/他)且。<人可求得他=1,则一+：=—+。，然后构造函数/(x)=-+x(0<x<l),

abax

21

利用导数判断出函数在(0,1)上单调递减，从而可求出/J)的范围，进而可得一+二的取值范围

ab

log2x,x>\

【详解】解:/(x)=|log2x|=«

-log2x,0<x<1

因为/(a)=/(6)且。,所以。<a<l/>1,

所以一log2〃=log28，所以log/ab"。，所以R)=l,

所以一+1=一十。，

aba

20r2—?

令f(x)=-+x(O<x<l),则/(X)=l-4=^^<O>

XXX

所以/(x)在(0,1)上单调递减，所以/(%)>/(I)=3,

212

所以一+—=—+〃>3,

aba

21

所以一+工的取值范围为(3,+8),

ab

故答案为：(3,+8)

2

16.已知函数/(x)=ox+2(a>0),g(x)=——若叫£[-1,2],Vx?42,3],使/(xj=g(x2)成

X—1

立，则实数。的取值范围是.

【答案】[1,+8)

【解析】

【分析】根据函数的单调性，分别求得函数/(x)和g(x)的值域构成的集合4B,结合题意，得到B=

列出不等式组，即可求解.

2

【详解】由题意,函数g(x)=—；在[2,3]为单调递减函数,可得l<g(x)<2,

即函数g(x)的值域构成集合8=[1,2],

乂由函数/(x)=or+2(a>0)在区间[-1,2]上单调递增，可得一々+2，/(x)，2a+2,

即函数/(x)的值域构成集合4=[一。+2,2。+2],

又由玉Vx2e[2,3],使/($)=8(工2)成立，即B土A,

一。+241

则满足解得a>l,

2a+2>2

即实数〃的取值范围是[1,+s).

故答案为：[1,+8).

【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：

一般地，已知函数y=/(x),xG[a,〃|,y=g(x),xw[c,d]

⑴若可，VX2—[c,d],总有/(』)<g(x2)成立，故/(x)ma、<g(x)min；

⑵若V%w[a,6],3x2e[c.d],有/(xJvgQq)成立.，故/(工心<8⑴鹏：

⑶若玉闫4,可，3x2e[c,d]f有/'(xj<g(x2)成立,故/(x)min<g(x)max；

(4)若VX]«c7,b],3X2e[c,d],有/(王卜8伍)，则/(x)的值域是g(x)值域的子集.

四、解答题(共6小题)

17.计算求值：

/sinll0°sin20°

(1)—；--------；-----：

cos2155°-sin2155°

1cF\

(2)已知。，〃均为锐角，sina=-，cos(a+0)=」一，求sin/7的值.

74

【答案】⑴j

⑵迹

98

【解析】

【分析】(1)发掘角关系再利用诱导公式，降希公式化简求值即可.

(2)先将夕用(。+£)-。来表示，代入sin齐，利用两角和差公式求解即可.

【小问1详解】

【小问2详解】

•；a、万都为锐角，，0<a+4〈冗，

5百1

又cos(a+/7)=sina=-

nr

/.sin/7=sin[(a+一a]=sin(a+fl)cosa-sin(zcos3i)

114x/3115G396

=X---------——X------------=------------.

14771498

18.为响应国家“降碳减排”号召，新能源汽车得到蓬勃发展，而电池是新能源汽车最核心的部件之•.湖南某

企业为抓住新能源汽车发展带来的历史性机遇，决定开发生产一款新能源电池设备.生产这款设备的年固定

成本为200万元，每生产%台(xeN+)需要另投入成本。(力(万元)，当年产量》不足45台时，

a（x）=-x2+30X-3007JTC»当年产量x不少于45台时，=61x+生见一900万元.若每台设备的

v727x-t-1

售价与销售量的关系式为（60+邛

万元，经过市场分析，该企业生产新能源电池设备能全部售完.

（1）求年利润V（万元）关于年产量X（台）的函数关系式；

（2）年产量x为多少台时，该企业在这一款新能源电池设备的生产中获利最大？最大利润是多少万元？

—x~+30x+200,x<45

2

【答案】（1）（工…）

>二12500

-x800,x>45

x+1

（2）当年产量为49台时，该企业在这款新能源电池设备的生产中获利润最大，最大为7（）1力

【解析】

【分析】（1）根据题目给出的函数解析式，利用收益减去成本，可得答案：

（2）根据二次函数的性质以及基本不等式，可求得最值，可得答案.

【小问1详解】

当工<45,XEN+时,

(1n\(1

60+—X-200-a(x)=60x+100-200——x2+30x-300=--x2+30x4-200

kx)122

当了245,XEN+时,

(inn\(7500、7500

y=60+——x-200-«(x)=60x+100-200-61x+———900=-x一一—+800；

\x)vx+l)x+1

--X2+30X+200,X<45

综上所述：y=,(XEN+)

-X-咨+800'X245

【小问2详解】

当工＜45,XEN+时，y=+30x+2（）（）,则当x=30H寸，V的最大值为650；

当了245,xwN+时,

J；=-X-^22+8OO=-Cr+1)+^^-+801<-2J(x+l)-^-+801=701(当且仅当x+l=^^,

x+\Lx+lJVx+lx+1

即X_49时等号成立）;

・•・当年产量为49台时，该企业在这款新能源电池设备的生产中获利润最大，最大为701万.

19.在AABC中，角4B,。的对边分别为a,b,c,向量而=（。+仇5汕/-5出。），向量

斤二（c,sin力一sin8）,且比||万.

（1）求角8的大小；

（2）设8c的中点为。，且力。二百，求。+2c的最大值.

【答案】（1）8=9;（2）4x/3.

【解析】

【详解】试题分析：（1）由向量以］共线可得到坐标间的关系，即三角形边角的关系式

结合余弦定理可求得4的大小；（2）由正弦定理将Q，c边转化为三角形的内角表示，借助于三角函数单调性

可求得最大值.

解：（1）因为加||»,所以（Q+h）（sni4-sin4）-c（sinJ-sinC'）=0.由正弦定理可得

2212।

222

（a+Z?）（a-Z?）-c（«-c）=0,^a+c-b=ac-由余弦定理可知cosB="+，——

2aclac2

因为4£（0,江），所以3=工.

3

⑵设4BAD=0,则在A8/O中，由3=%,可知。£（0,二巴）.由正弦定理及力。二JL有

33

BD二AB二4D二?

sin。.（2TTA.乃i,所以3。=2sin6,/3=2sin--6=\/3cos^4-sin^,所以

sinlT-js,ni（3J

a=2BD=4sin0,c=AB=VJcosO+sinO,从而a+2c=2x/3cos9+6sing=4\ZJsin（e+?）,由

0w（0,红），可知0+工€（工，江），所以当。+工=生，即。=工时，。+2。取得最大值4方.

3666623

点睛：本题是向量与解三角形的结合，解答题中的向量运算以坐标运算为主，在解三角形问题中常利用正

弦定理实现边化角，利用三角函数性质求最值，利用余弦定理由边可求得角的大小.

20.已知函数/（x）=cos4x+2>/3sinA-cos.v-sin4x.

（1）求/（x）的最小正周期和单调递减区间；

（2）己知“8C中，内角48,C的对边分别为a,b,c,若/（4）=1,8C边的中线力。长为⑺，求

面积的最大值.

【答案】（1）/（X）的最小正周期7=兀，/（X）的单调递减区间为二+A兀,：+4兀（kwZ）；

63

【解析】

【分析】（1）利用三角恒等变换公式，化简得/（x）,再由三角函数的周期公式、正弦函数的肯定答案；

（2）由函数/（/）=1解出A,利用而=夕而+就）、余弦定理，结合基本不等式解出从4彳，由此

利用三角形的面积公式可得答案.

【小问1详解】

v/（x）=cos4x4-2\/3sinxco&x-sin4x,

=2sin^2x+—I,

故/'（x）的最小正周期7二兀，

由色+2kn<2x+—<—+2kn,得色+〃兀<x«—+kit,

26263

7T27r

\/（x）的单调递减区间为不+伍f-+E（ZreZ）；

【小问2详解】

由（1）得，/（力）=2sin24+g=1,即sin2A+—

I62

八/_7C5兀71

\"0<A<it,:.24+—=—A=—,

663

又而二g（而十码,二/二;（宿+兄+2而%

7=（（（?+力2+2Z?ccos4）=:（力2+（?+6c）,

•/b2+c2>2bc,h2+c2+be>3bc,

.,,%«丝,当仅z）=c=222时取等号，

33

.市和c屋一内人/后287x/3

••卸枳S=—PCSHL4=—be<——x——=--------

24433

:AABC面积的最大值为Z叵.

3

21.已知函数/（%）=，■,g（x）=lnx.

X

（1）若尸（x）=7^（x）+2g（x）（M£R）存在极值,求加的取值范围.

（2）若关于x的不等式b（x）+g（x"。在区间（0川上恒成立，求实数a的取值范围.

【答案】（1）（0,+8）

（2）；，+8

【解析】

【分析】（1）根据题意，先求导，再对W进行分类讨论单调性，最后极值的概念求m的范围.

（2））先讨论当x=1时a的取值范围，再分离参数，构造新函数，求导求单调性求最值，即可得出。的取值范围.

【小问1详解】

F(x)=w/*(x)+2g(x)=-^-+2Inx,定义域为(0,十8),

2m22x2-2m

尸（工）=

Yxx3

当加WO时，尸'（工）〉0恒成立，所以尸（X）在（0,+8）单调递增，/（X）不存在极值.

当〃?>0,令尸（x）=0,解得x=而，

当时，尸（x）>0,当0<x〈诟时，F（x）<0,

所以尸⑴在（0/）上单调递减，在（m,+可上单调递增，

所以少（外在存在一个极小值点x=而，无极大值点.

综上所述，〃，的取值范围为（0,+R）.

【小问2详解】

由题知原不等式“'（x）+g（x）N〃，可化为。1+Inx20,

当工=1时，awR恒成立,

、

77Inx_____

当工G(O,1)时，1L，

x2

由(1)知当〃7=1时，函数y=l+ln(x2)在工=1处有最小值i,

即1一」WIn]/),

XJC

因为xe(O,l),所以1--^<ln(x7)<0,

ln(x2)Inx1

所以~厂<i,即^―「<5，

1__2

XX

>Mx

因为一「，所以。之二，

r2

综上所述，实数。的取值范围为5,+8.

【点睛】该题考查导数的综合应用，属于难题，关于恒成立问题的方法如下:

(1)若VxeQ,/(尤)2。恒成立，则只需/(x)*

⑵若玉w。，/(x)N。恒成立，则只需/(力网之。.

(3)若VxcO,/(x)V。恒成立，则只需/(X[改

(4)若*W。，/(力4°恒成立,则只需/(力脸工〃.

⑸若TX|",VX2£8,4g(.)恒成立,则只需/'(X)1MWg(x)min，

(6)若由£4*2€B,/(K)Wg(xJ恒成立，则只需/(x)max<g(x)max・

⑺若肛W/NWWB,/(再)WgG)恒成立,则只需/(立加4g(x)mm,

(8)若叫w4WwB，/㈤4g㈤恒成立,则只需/(x)min«g(x)max,

22.已知函数/、(x)=(x-2)(e,eR).

(1)若a=2,讨论/(x)的单调性.

(2)已知关于x的方程/(x)=(x-3)ev+2ax恰有2个不同的正实数根外,吃.

(i)求。的取值范围；

(ii)求证:X)+x2>4.

【答案】(1)在(―8/)，(2In2,r)上单调递增，在(l,21n2)上单调递减

(2)(i)f—(ii)证明见解析

(4J

【解析】

【分析】(1)求导后，根据/'(X)的正负可确定/(工)的单调性；

(2)(i)将问题转化为N与g(x)=4(x>())有两个不同交点的问题，利用导数可求得g(x)的单调

性和最值，从而得到g(x)的图象，采用数形结合的方式可确定。的范围；

芭一七二2

(ii)设占>%>