2025年沪教版高一数学下册月考试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年沪教版高一数学下册月考试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共6题，共12分)1、【题文】顶点在同一球面上的四棱柱ABCD—中，AB=1，则A，C两点间的球面距离为（）A.B.C.D.2、【题文】函数y=的值域是（）A.B.C.D.3、若十进制数26等于k进制数32，则k等于（）A.4B.5C.6D.84、已知在等差数列中，则前10项和（）A.100B.210C.380D.4005、已知圆C的方程是x2+y2-6x+5=0，则圆C的圆心和半径分别为（）A.（-3，0），2B.（3，0），2C.（-3，0），D.（3，0），6、已知函数f(x)={ax(x>1)鈭�x2鈭�ax鈭�5(x鈮�1)

是R

上的增函数，则a

的取值范围是(

)

A.鈭�3鈮�a<0

B.鈭�3鈮�a鈮�鈭�2

C.a鈮�鈭�2

D.a<0

评卷人得分二、填空题(共9题，共18分)7、设x是方程8-x=lgx的解，且x∈（k，k+1）（k∈Z），则k=____．8、已知函数y=y=流程图表示的是给定x值，求其相应函数值的算法．请将该流程图补充完整．其中①处应填____，②处应填____．若输入x=3，则输出结果为____．

9、定义在R上的函数f（x）满足f（x）=则f（-3）的值为____．10、已知下列四个命题：①函数满足：对任意都有②函数不都是奇函数；③若函数满足且则④设是关于的方程的两根，则其中正确命题的序号是。11、如图，某观测站C在城A的南偏西的方向，从城A出发有一条走向为南偏东的公路，在C处观测到距离C处km的公路上的B处有一辆汽车正沿公路向A城驶去，行驶了6km后到达D处，测得C，D两处的距离为2km，这时此车距离A城_______km．12、【题文】底面为正三角形且侧棱与底面垂直的三棱柱称为正三棱柱，则半径为的球的内接正三棱柱的体积的最大值为__________.13、【题文】过点的直线将圆分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线的斜率14、如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，=且=a，=b，则=______．（结果用a，b表示）15、log29鈰�log34+2log23=

______．评卷人得分三、证明题(共7题，共14分)16、如图；已知AB是⊙O的直径，P是AB延长线上一点，PC切⊙O于C，AD⊥PC于D，CE⊥AB于E，求证：

（1）AD=AE

（2）PC•CE=PA•BE．17、求证：（1）周长为21的平行四边形能够被半径为的圆面所覆盖．

（2）桌面上放有一丝线做成的线圈，它的周长是2l，不管线圈形状如何，都可以被个半径为的圆纸片所覆盖．18、已知D是锐角△ABC外接圆劣弧的中点；弦AD与边BC相交于点E，而且AB：AC=2：1，AB：EC=3：1．求：

（1）EC：CB的值；

（2）cosC的值；

（3）tan的值．19、如图；过圆O外一点D作圆O的割线DBA，DE与圆O切于点E，交AO的延长线于F，AF交圆O于C，且AD⊥DE．

（1）求证：E为的中点；

（2）若CF=3，DE•EF=，求EF的长．20、已知G是△ABC的重心，过A、G的圆与BG切于G，CG的延长线交圆于D，求证：AG2=GC•GD．21、初中我们学过了正弦余弦的定义，例如sin30°=，同时也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根据如图，设计一种方案，解决问题：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，设AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面积S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．22、如图；过圆O外一点D作圆O的割线DBA，DE与圆O切于点E，交AO的延长线于F，AF交圆O于C，且AD⊥DE．

（1）求证：E为的中点；

（2）若CF=3，DE•EF=，求EF的长．评卷人得分四、解答题(共3题，共15分)23、（本题满分14分）已知集合（1）求（2）若求实数的取值范围．24、求值：

（1）lg14-+lg7-lg18

（2）．

25、（本小题满分12分）设为实数，且（1）求方程的解；（2）若满足试写出与的等量关系（至少写出两个）；（3）在（2）的基础上，证明在这一关系中存在满足评卷人得分五、综合题(共2题，共20分)26、（2012•镇海区校级自主招生）如图，在坐标平面上，沿着两条坐标轴摆着三个相同的长方形，其长、宽分别为4、2，则通过A，B，C三点的拋物线对应的函数关系式是____．27、若反比例函数y=与一次函数y=kx+b的图象都经过一点A（a，2），另有一点B（2，0）在一次函数y=kx+b的图象上．

（1）写出点A的坐标；

（2）求一次函数y=kx+b的解析式；

（3）过点A作x轴的平行线，过点O作AB的平行线，两线交于点P，求点P的坐标．参考答案一、选择题(共6题，共12分)1、B【分析】【解析】解：正四棱柱的对角线为球的直径，由4R2=1+1+2=4得R=1，AC==R2+R2；

所以∠AOC=（其中O为球心）A、C两点间的球面距离为

故选B【解析】【答案】B2、D【分析】【解析】

又所以。

故选D【解析】【答案】D3、D【分析】【解答】解：由题意可得3×k+2=26；

得k=8；

故把十进制26转换为8进制数为32；

故选：D．

【分析】由3×k+2=26，得k=8，故把十进制26转换为8进制数为32，从而得出答．4、B【分析】【解答】5、B【分析】解：圆x2+y2-6x+5=0，即（x-3）2+y2=4；圆的圆心（3，0），半径为2．

故选B．

化简圆的一般方程为标准方程；即可求出圆的圆心与半径．

本题考查圆的一般方程的应用，基本知识的考查．【解析】【答案】B6、B【分析】解：隆脽

函数f(x)={ax,(x>1)鈭�x2鈭�ax鈭�5,(x鈮�1)

是R

上的增函数。

设g(x)=鈭�x2鈭�ax鈭�5(x鈮�1)h(x)=ax(x>1)

由分段函数的性质可知，函数g(x)=鈭�x2鈭�ax鈭�5

在(鈭�隆脼,1]

单调递增，函数h(x)=ax

在(1,+隆脼)

单调递增；且g(1)鈮�h(1)

隆脿{鈭�a2鈮�1a<0鈭�a鈭�6鈮�a

隆脿{a鈮�鈭�2a<0a鈮�鈭�3

解可得；鈭�3鈮�a鈮�鈭�2

故选B

由函数f(x)

上R

上的增函数可得函数，设g(x)=鈭�x2鈭�ax鈭�5h(x)=ax

则可知函数g(x)

在x鈮�1

时单调递增，函数h(x)

在(1,+隆脼)

单调递增，且g(1)鈮�h(1)

从而可求。

本题主要考查了二次函数的单调性的应用，反比例函数的单调性的应用，主要分段函数的单调性应用中，不要漏掉g(1)鈮�h(1)

【解析】B

二、填空题(共9题，共18分)7、略

【分析】

因为方程8-x=lgx的解就是函数f（x）=8-x-lgx的零点；

又因为f（1）=7＞0；g（2）=6-lg2＞0f（3）=5-lg3＞0，f（4）=4-lg4＞0，f（5）=3-lg5＞0，f（6）=2-lg6＞0；

f（7）=1-lg7＞0；f（8）=-lg8＜0．

故方程的根在区间（7；8）内，即k=7．

故答案为：7．

【解析】【答案】先设出对应函数；把方程的根转化为对应函数的零点，再计算区间端点值，看何时一正一负即可求出结论．

8、略

【分析】

由题目已知可知：该程序的作用是。

计算分段函数y=的值；

由于分段函数的分类标准是x是否大于3；

而满足条件时执行的语句为y=x+2；

易得条件语句中的条件为：x≤3；

不满足条件时②中的语句为y=-3x2；

故根据分段函数；若输入x=3，则输出结果为y=3+2=5．

①处应填x≤3？②处应填y=-3x2．

故答案为：x≤3？；y=-3x2；5．

【解析】【答案】由题目已知可知：该程序的作用是计算分段函数y=的值，由于分段函数的分类标准是x是否大于2，而满足条件时执行的语句为y=x+2，易得条件语句中的条件①，及不满足条件时②中的语句y=-3x2．

9、略

【分析】

根据题意f（-3）=log2（1+3）=log24=2；

故答案为：2．

【解析】【答案】根据所求可知用第一段解析式；代入解得答案．

10、略

【分析】试题分析：①指的是函数图像的凹凸性，即比较平均值对应的函数值和函数值的平均值的大小，很容易得出是正确的，②中两个函数都是奇函数，所以是不正确的，③中的条件在于自变量差2，函数值异号，故是正确的，④中指的是函数的性质以及对数的运算法则，正确，故选①，③，④.考点：函数的图像，函数的奇偶性的判断，函数的周期性，对数函数的图像变换.【解析】【答案】①，③，④11、略

【分析】据余弦定理：【解析】【答案】412、略

【分析】【解析】

试题分析：设球心为O，正三棱柱的上下底面的中心分别为底面正三角形的边长为a，则由已知得底面，在中，由勾股定理得

∴∵

∴∴

考点：正棱柱与球体等基本几何体体积的最值问题.【解析】【答案】13、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】14、略

【分析】解：∵=

∴=+

=

=．

故答案为：．

由=即可得出．

本题考查了向量的平行四边形法则、三角形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【解析】15、略

【分析】解：原式=2lg3lg2隆脕2lg2lg3+3=4+3=7

．

故答案为：7

．

利用对数换底公式；对数运算性质即可得出．

本题考查了对数运算性质、对数换底公式，考查推理能力与计算能力，属于基础题．【解析】7

三、证明题(共7题，共14分)16、略

【分析】【分析】（1）连AC；BC；OC，如图，根据切线的性质得到OC⊥PD，而AD⊥PC，则OC∥PD，得∠ACO=∠CAD，则∠DAC=∠CAO，根据三角形相似的判定易证得Rt△ACE≌Rt△ACD；

即可得到结论；

（2）根据三角形相似的判定易证Rt△PCE∽Rt△PAD，Rt△EBC∽Rt△DCA，得到PC：PA=CE：AD，BE：CE=CD：AD，而CD=CE，即可得到结论．【解析】【解答】证明：（1）连AC、BC，OC，如图，

∵PC是⊙O的切线；

∴OC⊥PD；

而AD⊥PC；

∴OC∥PD；

∴∠ACO=∠CAD；

而∠ACO=∠OAC；

∴∠DAC=∠CAO；

又∵CE⊥AB；

∴∠AEC=90°；

∴Rt△ACE≌Rt△ACD；

∴CD=CE；AD=AE；

（2）在Rt△PCE和Rt△PAD中；∠CPE=∠APD；

∴Rt△PCE∽Rt△PAD；

∴PC：PA=CE：AD；

又∵AB为⊙O的直径；

∴∠ACB=90°；

而∠DAC=∠CAO；

∴Rt△EBC∽Rt△DCA；

∴BE：CE=CD：AD；

而CD=CE；

∴BE：CE=CE：AD；

∴BE：CE=PC：PA；

∴PC•CE=PA•BE．17、略

【分析】【分析】（1）关键在于圆心位置；考虑到平行四边形是中心对称图形，可让覆盖圆圆心与平行四边形对角线交点叠合．

（2）“曲“化“直“．对比（1），应取均分线圈的二点连线段中点作为覆盖圆圆心．【解析】【解答】

证明：（1）如图1；设ABCD的周长为2l，BD≤AC，AC；BD交于O，P为周界上任意一点，不妨设在AB上；

则∠1≤∠2≤∠3，有OP≤OA．又AC＜AB+BC=l，故OA＜．

因此周长为2l的平行四边形ABCD可被以O为圆心；半径为的圆所覆盖；命题得证．

（2）如图2，在线圈上分别取点R，Q，使R、Q将线圈分成等长两段，每段各长l．又设RQ中点为G，M为线圈上任意一点，连MR、MQ，则GM≤（MR+MQ）≤（MmR+MnQ）=

因此，以G为圆心，长为半径的圆纸片可以覆盖住整个线圈．18、略

【分析】【分析】（1）求出∠BAD=∠CAD，根据角平分线性质推出=；代入求出即可；

（2）作BF⊥AC于F；求出AB=BC，根据等腰三角形性质求出AF=CF，根据三角函数的定义求出即可；

（3）BF过圆心O，作OM⊥BC于M，求出BF，根据锐角三角函数的定义求出即可．【解析】【解答】解：（1）∵弧BD=弧DC；

∴∠BAD=∠CAD；

∴；

∴．

答：EC：CB的值是．

（2）作BF⊥AC于F；

∵=，=；

∴BA=BC；

∴F为AC中点；

∴cosC==．

答：cosC的值是．

（3）BF过圆心O；作OM⊥BC于M；

由勾股定理得：BF==CF；

∴tan．

答：tan的值是．19、略

【分析】【分析】要证E为中点，可证∠EAD=∠OEA，利用辅助线OE可以证明，求EF的长需要借助相似，得出比例式，之间的关系可以求出．【解析】【解答】（1）证明：连接OE

OA=OE=＞∠OAE=∠OEA

DE切圆O于E=＞OE⊥DE

AD⊥DE=＞∠EAD+∠AED=90°

=＞∠EAD=∠OEA

⇒OE∥AD

=＞E为的中点．

（2）解：连CE；则∠AEC=90°，设圆O的半径为x

∠ACE=∠AED=＞Rt△ADE∽Rt△AEC=＞

DE切圆O于E=＞△FCE∽△FEA

∴，

∴

即DE•EF=AD•CF

DE•EF=；CF=3

∴AD=

OE∥AD=＞=＞=＞8x2+7x-15=0

∴x1=1，x2=-（舍去）

∴EF2=FC•FA=3x（3+2）=15

∴EF=20、略

【分析】【分析】构造以重心G为顶点的平行四边形GBFC，并巧用A、D、F、C四点共圆巧证乘积．延长GP至F，使PF=PG，连接FB、FC、AD．因G是重心，故AG=2GP．因GBFC是平行四边形，故GF=2GP．从而AG=GF．又∠1=∠2=∠3=∠D，故A、D、F、C四点共圆，从而GA、GF=GC•GD．于是GA2=GC•GD．【解析】【解答】证明：延长GP至F；使PF=PG，连接AD，BF，CF；

∵G是△ABC的重心；

∴AG=2GP；BP=PC；

∵PF=PG；

∴四边形GBFC是平行四边形；

∴GF=2GP；

∴AG=GF；

∵BG∥CF；

∴∠1=∠2

∵过A；G的圆与BG切于G；

∴∠3=∠D；

又∠2=∠3；

∴∠1=∠2=∠3=∠D；

∴A；D、F、C四点共圆；

∴GA；GF=GC•GD；

即GA2=GC•GD．21、略

【分析】【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E；根据正弦的定义可以表示出CE的长度，然后利用三角形的面积公式列式即可得解；

（2）根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根据正弦与余弦的定义分别把BD、AD、CD，AB，AC转化为三角形函数，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）过点C作CE⊥AB于点E；

则CE=AC•sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB•CE=c•bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根据题意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB•ACsin（α+β）=BD•AD+CD•AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．22、略

【分析】【分析】要证E为中点，可证∠EAD=∠OEA，利用辅助线OE可以证明，求EF的长需要借助相似，得出比例式，之间的关系可以求出．【解析】【解答】（1）证明：连接OE

OA=OE=＞∠OAE=∠OEA

DE切圆O于E=＞OE⊥DE

AD⊥DE=＞∠EAD+∠AED=90°

=＞∠EAD=∠OEA

⇒OE∥AD

=＞E为的中点．

（2）解：连CE；则∠AEC=90°，设圆O的半径为x

∠ACE=∠AED=＞Rt△ADE∽Rt△AEC=＞

DE切圆O于E=＞△FCE∽△FEA

∴，

∴

即DE•EF=AD•CF

DE•EF=；CF=3

∴AD=

OE∥AD=＞=＞=＞8x2+7x-15=0

∴x1=1，x2=-（舍去）

∴EF2=FC•FA=3x（3+2）=15

∴EF=四、解答题(共3题，共15分)23、略

【分析】【解析】试题分析：（1）（2）考点：本题考查集合的运算【解析】【答案】24、略

【分析】

（1）∵lg14-+lg7-lg18

=（lg7+lg2）-2（lg7-lg3）+lg7-（lg6+lg3）

=2lg7-2lg7+lg2+2lg3-lg6-lg3

=lg6-lg6=0．（4分）

（2）∵

=-1-+

=-+=．（8分）

【解析】【答案】（1）