【教无忧】2024-2025学年高二数学同步讲义（人教A版2019）4．1 数列的概念（八大题型）

4．1数列的概念目录TOC\o"1-2"\h\z\u【题型归纳目录】 2【思维导图】 2【知识点梳理】 2【典型例题】 6题型一：数列的有关概念和分类 6题型二：由数列的前几项写出数列的一个通项公式 8题型三：数列通项公式的简单应用 11题型四：递推公式的应用 14题型五：前项和公式与通项的关系 18题型六：数列单调性的判断 21题型七：求数列的最大项与最小项 23题型八：周期数列 28

【题型归纳目录】【思维导图】【知识点梳理】知识点一、数列的概念数列概念：按照一定顺序排列着的一列数称为数列．知识点诠释：（1）数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；（2）定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现．数列的项：数列中的每一个数叫做这个数列的项．各项依次叫做这个数列的第1项，第2项，…；排在第位的数称为这个数列的第项．其中数列的第1项也叫作首项．知识点诠释：数列的项与项数是两个不同的概念．数列的项是指数列中的某一个确定的数，而项数是指这个数在数列中的位置序号．类比集合中元素的三要素，数列中的项也有相应的三个性质：（1）确定性：一个数是否数列中的项是确定的；（2）可重复性：数列中的数可以重复；（3）有序性：数列中的数的排列是有次序的．数列的一般形式：数列的一般形式可以写成：，或简记为．其中是数列的第项．知识点诠释：与的含义完全不同，表示一个数列，表示数列的第项．知识点二、数列的分类根据数列项数的多少分：有穷数列：项数有限的数列．例如数列1，2，3，4，5，6是有穷数列无穷数列：项数无限的数列．例如数列1，2，3，4，5，6，…是无穷数列根据数列项的大小分：递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列．递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列．常数数列：各项相等的数列．摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列．知识点三、数列的通项公式与前n项和数列的通项公式如果数列的第项与之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式．知识点诠释：（1）并不是所有数列都能写出其通项公式；（2）一个数列的通项公式有时是不唯一的．如数列：1，0，1，0，1，0，…它的通项公式可以是，也可以是．（3）数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项．（4）数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第项，又是这个数列中所有各项的一般表示．数列的前n项和数列的前项和：指数列的前项逐个相加之和，通常用表示，即；与的关系当时；当时，故．知识点四、数列的表示方法通项公式法（解析式法）：数列通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系．给了数列的通项公式，代入项数就可求出数列的每一项．反之，根据通项公式，可以判定一个数是否为数列中的项．列表法相对于列表法表示一个函数，数列有这样的表示法：用表示第一项，用表示第二项，……，用表示第项，……，依次写出得数列．12…………图象法：数列是一种特殊的函数，可以用函数图象的画法画数列的图形．具体方法：以项数为横坐标，相应的项为纵坐标，即以为坐标在平面直角坐标系中做出点．所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数．从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势．递推公式法递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．递推公式也是给出数列的一种方法．如：数列：，1，5，9，13，…，可用递推公式：，表示．数列：3，5，8，13，21，34，55，89，…，可用递推公式：，，表示．知识点五、数列与函数（1）数列是一个特殊的函数，其特殊性主要体现在定义域上．数列可以看成以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值．反过来，对于函数，如果（）有意义，那么我们可以得到一个数列，，，…，，…；（2）数列的通项公式实际上就是相应函数的解析式．数列的项是函数值，序号是自变量，数列的通项公式就是相应函数的解析式．数列通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系．给了数列的通项公式，代入项数就可求出数列的每一项．反之，根据通项公式，可以判定一个数是否为数列中的项．（3）数列的图象是落在轴右侧的一群孤立的点数列的图象是以项数为横坐标，相应的项为纵坐标的一系列孤立的点，这些点都落在函数的图象上．因为横坐标为正整数，所以这些点都在轴的右侧，从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势．（4）跟不是所有的函数都有解析式一样，不是所有的数列都有通项公式．【方法技巧与总结】1、判断数列的单调性的方法（1）作差比较法：⇔数列是递增数列；⇔数列是递减数列；⇔数列是常数列．（2）作商比较法：ⅰ．当时，则⇔数列是递增数列；⇔数列是递减数列；⇔数列是常数列；ⅱ．当时，则⇔数列是递减数列；⇔数列是递增数列；⇔数列是常数列．（3）结合相应函数的图象直观判断：写出数列对应的函数，利用导数或利用基本初等函数的单调性探求其单调性，再将函数的单调性对应到数列中去．2、求数列最大（小）项的方法（1）构造函数，确定出函数的单调性，进一步求出数列的最大项或最小项．（2）利用，求数列中的最大项；利用，求数列中的最小项．当解不唯一时，比较各解大小即可确定．【典型例题】题型一：数列的有关概念和分类【典例1-1】（2024·高二·全国·专题练习）下列说法正确的是（

）A．数列4，7，3，4的首项是4B．数列中，若，则从第2项起，各项均不等于3C．数列3，6，8可以表示为D．，－3，－1，1，，5，7，9，11一定能构成数列【答案】A【解析】对于A，数列4，7，3，4的第1项就是首项，即4，故A正确．对于B，同一个数在一个数列中可以重复出现，故B错误．对于C，数列和数的顺序有关，集合中元素具有无序性，故C错误．对于D，当都代表数（数列的各项都是数）时，能构成数列，当中至少有一个不代表数时，不能构成数列，因为数列是按确定的顺序排列的一列数，故D错误．故选：A.【典例1-2】（2024·高二·全国·课后作业）若数列的通项公式为，则关于此数列的图象叙述正确的是（

）A．此数列不能用图象表示B．此数列的图象仅在第一象限C．此数列的图象为直线D．此数列的图象为直线上满足的一系列孤立的点【答案】D【解析】数列的通项公式为，它的图象就是直线上满足的一系列孤立的点，所以A、C错误，当时，，该点在第四象限，当且时，，此时数列图象在第一象限，所以B错误.故选：D.【方法技巧与总结】（1）判断数列是何种数列一定严格按照定义进行判断．（2）判断数列的单调性时一定要确保每一项均大于（或均小于）后一项，不能有例外．【变式1-1】（2024·高二·山西·期末）下列说法中，正确的是（

）A．数列可表示为集合B．数列与数列是相同的数列C．数列的第项为D．数列可记为【答案】C【解析】对于A，由数列的定义易知A错误；对于B，两个数列排列次序不同，是不同的数列，故B错误；对于C，数列的第项为，故C正确；对于D，因为，所以，这与数列的定义不相符，故D错误.故选：C.【变式1-2】（2024·高三·全国·专题练习）将正整数的前5个数排列如下：①1，2，3，4，5；②5，4，3，2，1；③2，1，5，3，4；④4，1，5，3，2．其中可以称为数列的有（

）A．① B．①② C．①②③ D．①②③④【答案】D【解析】根据数列是按“一定顺序”排列着的一列数，所以①②③④都正确，故D项正确.故选：D．【变式1-3】（2024·高二·全国·课后作业）数列的通项公式是，，则它的图象是（

）A．直线 B．直线上孤立的点C．抛物线 D．抛物线上孤立的点【答案】B【解析】数列对应点为，所以图象是直线上孤立的点.故选：B【变式1-4】（2024·高二·广东东莞·期中）下列叙述正确的是（

）A．数列是递增数列B．数列0，1，2，3，…的一个通项公式为C．数列0，0，0，1，…是常数列D．数列2，4，6，8与数列8，6，4，2是相同的数列【答案】A【解析】对于A项，设，则对恒成立，所以，数列是递增数列.故A正确；对于B项，当时，与第一项为0不符.故B项错误；对于C项，数列中的项并不完全相同.故C项错误；对于D项，根据数列的概念，数列与顺序有关.所以，数列2，4，6，8与数列8，6，4，2不是相同的数列.故D项错误.故选：A.题型二：由数列的前几项写出数列的一个通项公式【典例2-1】（2024·高二·山东青岛·阶段练习）数列，…的一个通项公式（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由于数列的符号正负项间隔出现，故符号为，且每项为，故数列的一个通项公式为.故选：D.【典例2-2】（2024·高二·甘肃金昌·阶段练习）若数列的前四项依次为2，12，112，1112，则的一个通项公式为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由，可得的一个通项公式为.故选：D.【方法技巧与总结】根据数列的前几项求通项公式的解题思路（1）先统一项的结构，如都化成分数、根式等．（2）分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式．（3）对于正负交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用或处理符号．（4）对于周期数列，可考虑拆成几个简单数列之和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等．【变式2-1】（2024·高二·湖南益阳·阶段练习）数列的通项公式可能是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】对于A，若，则，不满足题意；对于B，前四项均满足题意；对于C，若，第一项，不满足题意；对于D，若，第二项，，不满足题意；故选：B【变式2-2】（2024·高二·全国·课后作业）数列的一个通项公式（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】通过观察这一列数发现，奇数项为正，偶数项为负，故第项的正负可以用表示；而，故数列的通项可为.故选：D【变式2-3】（2024·高二·河南南阳·期中）已知数列{an}的前5项依次为，则的一个通项公式为．【答案】【解析】根据题意，数列的前5项依次为，即，则的一个通项公式为，故答案为：【变式2-4】（2024·高三·山东济南·期末）某数学兴趣小组将一行数列中相邻两项的乘积插入这两项之间，形成下一行数列，以此类推不断得到新的数列．如图，第一行数列为1，2；得到第二行数列1，2，2；得到第三行数列1，2，2，4，2，…，则第5行从左数起第6个数的值为；用表示第n行所有项的乘积，，则数列的通项公式为．【答案】【解析】（1）根据题意，第5行的数列依次为：1,2,2,4,2,8,4,8,2,16,8,32,4,32,8,16,2从左数起第6个数的值为8；（2）,,,,故有则故答案为：①8；②【变式2-5】（2024·高二·全国·课后作业）根据下列数列的前4项，写出数列的一个通项公式：（1），，，，…；（2），，，，…；（3），1，，，…；（4），，，…．【解析】（1）所给数列的前4项中，每一项的分子比分母少1，且分母依次为，，，，所以原数列的一个通项公式为．（2）所给数列可写成，，，，…，所以原数列的一个通项公式为．（3）所给数列可写成，，，，…，数列3，5，7，9，…的一个通项公式为，数列2，5，10，17，…的一个通项公式为，所以原数列的一个通项公式为．（4）所给数列可写成，，，…，所以原数列的一个通项公式为．题型三：数列通项公式的简单应用【典例3-1】（2024·高二·上海·随堂练习）数列，，，，，…中，按此规律，是数列的第项．【答案】12【解析】观察，易知数列的一个通项公式为，．所以.故答案为：12.【典例3-2】（2024·高二·上海·随堂练习）63是数列3，8，15，24，35，…的第项．【答案】7【解析】根据3，8，15，24，35，…归纳出其通项公式为：，当时，，所以63是数列3，8，15，24，35，…的第7项，故答案为：7.【方法技巧与总结】（1）利用数列的通项公式求某项的方法数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项．（2）判断某数值是否为该数列的项的方法先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程．若方程的解为正整数，则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项．【变式3-1】（2024·高二·湖北武汉·阶段练习）根据下面的图形及相应的点数，写出下列点数构成数列的第5项的点数．

【答案】35【解析】依题意，，则，根据规律，，所以.故答案为：35【变式3-2】（2024·高二·上海·期末）已知是离最近的整数，如，则无穷数列中共有项的值等于100.【答案】【解析】由已知得，此时不等式取等号和不取等号对结果没有影响，所以，又，所以，所以共有项的值等于100.故答案为：.【变式3-3】（2024·高二·重庆黔江·阶段练习）已知数列，，，，，，，，，，，，则该数列的第项为.【答案】【解析】按规律排列的数列，，，，，，，，，，，，可知是个；是个，是个，是个，是个，是个，是个，因为，，所以该数列的第项为：．故答案为：．【变式3-4】（2024·高二·上海·随堂练习）以下数表的构造思路来源于我国南宋数学家所著的《详解九章算法》一书中的“杨辉三角”：该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为．【答案】【解析】观察每一行第一个数的规律：第一行的第一个数为，第二行的第一个数为，第三行的第一个数为，第四行的第一个数为，…，第n行的第一个数为，表中一共2018行，∴第2018行的第一个数即．故答案为：【变式3-5】（2024·高二·广西·期末）如图所示是一系列有机物的结构简图，途中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“短线”表示化学键，按图中结构第n个图的化学键和原子的个数之和为个.(用含n的代数式表示)【答案】【解析】由图，第1个图中有6个化学键和6个原子；第2个图中有11个化学键和10个原子；第3个图中有16个化学键和14个原子，观察可得，后一个图比前一个图多5个化学键和4个原子，则第n个图有个化学键和个原子，所以总数为.故答案为：【变式3-6】（2024·高二·北京·期中）数学家祖冲之曾给出圆周率的两个近似值：“约率”与“密率”.它们可用“调日法”得到：称小于3.1415926的近似值为弱率，大于3.1415927的近似值为强率.由，取3为弱率，4为强率，得，故为强率，与上一次的弱率3计算得，故为强率，继续计算，…….若某次得到的近似值为强率，与上一次的弱率继续计算得到新的近似值；若某次得到的近似值为弱率，与上一次的强率继续计算得到新的近似值，依此类推.已知，则；.【答案】5【解析】因为为强率，由可得，，即为强率；由可得，，即为强率；由可得，，即为强率，即；由可得，，即为强率；由可得，故答案为：；．题型四：递推公式的应用【典例4-1】（2024·高二·全国·课后作业）数列的第n项与第项的关系是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为所以，故选：D【方法技巧与总结】递推公式也是给出数列的一种方法，根据数列的递推公式，可以逐次写出数列的所有项．【典例4-2】（2024·高二·重庆九龙坡·期末）数列的递推公式可以是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】数列第一项是1，AB是通项公式的形式，故AB错误；观察数列可知，数列从第二项起，每一项是前一项的，所以递推公式为，故C正确，D错误.故选：C.【变式4-1】（2024·湖南长沙·一模）裴波那契数列，因数学家莱昂纳多·裴波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，该数列满足，且.洛卡斯数列是以数学家爱德华·洛卡斯命名，与裴波那契数列联系紧密，即，且，则（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】∵，∴当时，，∴，故，∵，∴，，故，∴.故选：C.【变式4-2】（2024·高二·湖北·期中）如图展示的是一个树形图的从上至下的前6行生长过程，依据图中所示的生长规律，第10行的圆点个数是（

）．

A．55 B．34 C．21 D．13【答案】C【解析】设第行圆点的个数为，.则由已知可得，，，，，，，所以，，，.故选：C.【变式4-3】（2024·高二·全国·课后作业）两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画出点或用小石子表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如下图中实心点的个数依次为5，9，14，20，…，这样的一组数被称为梯形数，记此数列为，则（

）．A．B．C．D．【答案】D【解析】观察梯形数的前几项，得：…由此可得故选：D．【变式4-4】（2024·高二·福建龙岩·期中）数学与自然、生活相伴相随，无论是蜂的繁殖规律，树的分枝，还是钢琴音阶的排列，当中都蕴含了一个美丽的数学模型Fibonacci（斐波那契数列）：1，1，2，3，5，8，13，21，…，这个数列的前两项都是1，从第三项起，每一项都等于前面两项之和.请你结合斐波那契数列，尝试解答下面的问题：小明走楼梯，该楼梯一共7级台阶，小明每步可以上一级或二级，请问小明的不同走法种数是（

）A．21 B．13 C．12 D．15【答案】A【解析】设级台阶的走法为，则，，当时，，所以，，，，.故选：.【变式4-5】（2024·高二·湖南·阶段练习）分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它的研究对象普遍存在于自然界中，因此又被称为“大自然的几何学”．按照如图1所示的分形规律，可得如图2所示的一个树形图．若记图2中第行黑圈的个数为，白圈的个数为，则下列结论错误的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】已知表示第行中的黑圈个数，设表示第行中的白圈个数，则由于每个白圈产生下一行的一白一黑两个圈，一个黑圈产生下一行的一个白圈2个黑圈，∴，，故C正确，D错误；又∵，，所以，，，，，，，，故A、B正确.故选：D【变式4-6】（2024·高二·全国·课后作业）某剧场有30排座位，第一排有20个座位，从第二排起，后一排都比前一排多2个座位．(1)写出前五排座位数．(2)第排与第排座位数有何关系？(3)第排座位数与第排座位数能用等式表示吗？【解析】（1）由题意可知，后一排都比前一排多2个座位，所以前五排座位分别为：20，22，24，26，28；（2）由题意可知，后一排都比前一排多2个座位，故第排与第排座位数的关系为：第排比第排多两个座位；（3）由（2）可知，能用等式表示第排座位数与第排座位数的关系，即.【变式4-7】（2024·高二·全国·课后作业）2500多年前的古希腊毕达哥拉斯学派在研究数时，喜欢把数描述成沙滩上的小石子．他们发现1，3，6，10，15，…这些数量的石子，都可以排成三角形（如图），并称这样的数为“三角形数”，记图中小圆的个数依次构成数列，试写出数列的一个递推关系．

【解析】依题意，可知，，，，，，而且，由图可知，在第个“三角形数”图案的下面添加个小圆，即得到第个“三角形数”图案，因此，为数列的一个递推关系．题型五：前项和公式与通项的关系【典例5-1】（2024·高二·广西柳州·期中）已知数列的前n项和，求这个数列的通项公式；【解析】因为，当时，，所以，又时，不满足上式，故数列的通项公式为.【典例5-2】（2024·高二·辽宁·阶段练习）已知数列的前n项和为(1)求数列的通项公式；(2)求数列前6项和．【解析】（1）数列的前n项和为，时，，时，，不符合，所以.（2）数列前6项和为.【方法技巧与总结】已知求出依据的是的定义：，分段求解，然后检验结果能否统一形式，能就写成一个，否则只能写成分段函数的形式．【变式5-1】（2024·高二·全国·专题练习）已知数列满足，求的通项公式.【解析】因为，当时，可得；当时，可得，两式相减得，，即，且，即，所以；且满足上式，不满足上式，所以数列的通项公式为.【变式5-2】（2024·高二·陕西渭南·阶段练习）已知数列的前n项和为．(1)求，，.(2)求这个数列的通项公式．【解析】（1）因为，令，则，令，则，令，则，所以.（2）因为，当时，，当时，，且也满足上式，所以.【变式5-3】（2024·高二·宁夏银川·期末）已知数列的前项和记为，若点均在函数的图象上.(1)求，，，；(2)求数列的通项公式.【解析】（1）由点均在函数的图象上，可得，则，；；.（2）由点均在函数的图象上，可得，当时，可得；当时，，所以数列的通项公式为.【变式5-4】（2024·高二·全国·专题练习）已知数列满足．求的值；【解析】由题意可知：数列的前n项和，当时，可得，所以；当时，可得，所以；又因为也符合，所以，．题型六：数列单调性的判断【典例6-1】（2024·高二·全国·课后作业）已知函数若数列满足，且是递增数列，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意知，因为数列是递增数列，所以当时，，即；当时，，且，所以，即，即，所以或．综上可得的取值范围为2,3．故选：C.【典例6-2】（2024·高三·安徽·阶段练习）“”是“数列为递增数列”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由“数列为递增数列”，得，所以恒成立，所以，由得，由不一定有，故“”是“数列为递增数列”的充分不必要条件.故选：.【方法技巧与总结】1、判断数列的单调性的方法（1）作差比较法：⇔数列是递增数列；⇔数列是递减数列；⇔数列是常数列．（2）作商比较法：ⅰ．当时，则⇔数列是递增数列；⇔数列是递减数列；⇔数列是常数列；ⅱ．当时，则⇔数列是递减数列；⇔数列是递增数列；⇔数列是常数列．【变式6-1】（2024·高二·湖南长沙·期中）已知数列的通项，若是递增数列，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由已知得，即，解得.故选：B.【变式6-2】（2024·高二·江苏苏州·阶段练习）已知数列是递增数列，且对于任意，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，且数列是递增数列，所以，即.故选：C【变式6-3】（2024·高二·全国·专题练习）已知数列的通项公式为，且对任意的两个正整数，都有，则实数t的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为对任意的两个正整数，都有，所以数列是递增数列，当时，，可得，当时，，即，解得，又，所以，解得或．综上，实数t的取值范围是．故选：C【变式6-4】（2024·高三·四川内江·阶段练习）已知函数，若数列满足且是递增数列，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由题意可知，在上单调递增，由于和均为单调函数，故，解得.故选：C题型七：求数列的最大项与最小项【典例7-1】（2024·高二·上海·阶段练习）已知数列满足为正整数，则该数列的最大项是第项.【答案】2和3【解析】在上单调递减，单调递增，且故该数列的最大项是第二项和第三项.故答案为：2和3【典例7-2】（2024·高二·湖北襄阳·阶段练习）已知数列的通项公式为，则数列中的最小项的值为．（用具体数字作答）【答案】【解析】由题意得，故，当时，，故，当时，，故，即得，故数列中的最小项为，故答案为：【方法技巧与总结】可以利用不等式组，找到数列的最大项；利用不等式组，找到数列的最小项．【变式7-1】（2024·高二·辽宁大连·阶段练习）已知数列的通项公式，则最小的项是第项．【答案】【解析】，当时，，当时，，要取最小的项需在此范围内取到，又当时，为单调递减数列，所以当时，最小.故答案为：.【变式7-2】（2024·高二·安徽亳州·阶段练习）数列的通项，则数列中的最大项的值为.【答案】【解析】因为，则，则，令，即，因为，解得，所以，令，解得，所以，故数列中的最大项为，其值为.故答案为：.【变式7-3】（2024·高二·全国·课后作业）若数列满足，且为其前项和，则的最大值为．【答案】0【解析】依题意，，，，，令，解得或，即，根据二次函数与指数函数的图象和性质可知：在内指数函数在二次函数图象下方，即在内，当时，,所以在或处最大值为0．故