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文档简介

第2章极限与连续2在微积分中,微积分中其他的一些重要概念如微分、积分、级数等等都是建立在极限概念的基础上的.因此,有关极限的概念、理论与方法,自然成为微积分学的理论基石,本章将讨论数列极限与函数极限的定义、性质及基本计算方法,并在此基础上讨论函数的连续性.极限是一个重要的概念,3数列的概念收敛数列的性质小结思考题作业数列极限的概念极限概念的引入2.1数列的极限第2章极限与连续5刘徽(公元3世纪)利用圆内接正多边形来推意思是:设给定半径为1尺的圆,从圆内接正6边形开始,每次把边数加倍,屡次用勾股定理.求出正12边形、……等等正多边形的正24边形.边数越多,圆内接正多边形越与圆接近,最后与圆周重合,则正多边形周长与圆周长就没有误差了.

“割之弥细,所失弥少.割之又割,以至不可割,则与圆周合体,而无所失矣.”算圆面积的方法---就是极限思想在几何学上的应用.割圆术,边长,2.1数列的极限6正六边形的面积正十二边形的面积正边形的面积An2.1数列的极限7如按照自然数的顺序排列的一列数简记为通项(generalterm),或者一般项.二、数列(sequenceofnumber)

的概念或记为其中xn称为数列{xn}的2.1数列的极限8可看作一动点在数轴上依次取数列的几何表示法:数列可看作自变量为正整数n的函数:整标函数或下标函数

数列对应着数轴上一个点列.2.1数列的极限9三、数列极限的概念即问题当n无限增大时,如果是,当n无限增大时,xn无限接近于1.如何确定?定性的描述xn是否无限接近于某一确定的数值?2.1数列的极限10

如何用精确的、定量化的数学语言刻画它.可以要多么小就多么小,则要看?“无限接近”意味着什么?只要n充分大,小到什么要求.当n无限增大时,xn无限接近于1.定量的描述2.1数列的极限11

用希腊字母来刻画xn与1的接近程度.2.1数列的极限12定义2.1如果对于任意给定的正数总存在正整数N,

使得对于时的一切不等式成立.或称数列{xn}收敛于a(convergetoa).记为或那末就称常数a是数列{xn}的极限(limit),如果数列{xn}没有极限,就说数列{xn}发散(diverge).么小),(不论它多2.1数列的极限13注{xn}有没有极限,一般地说,但是一旦给出之后,它就是确定了;主要看“后面”的无穷多项.定义

采用逻辑符号将的定义可缩写为:(1)(2)(3)(4)“前面”的有限项不起作用,2.1数列的极限2.1数列的极限14数列极限的几何意义数列极限的定义通常是用来进行推理注预先知道极限值是多少.和证明极限,因为这里需要即而不是用来求极限,只有有限个(至多只有N个)落在其外.定义15例所以,证

解不等式定义2.1数列的极限16例证为了使只需使定义2.1数列的极限17证所以,

常数列的极限等于同一常数.成立,

例定义对于一切自然数n,2.1数列的极限18例证明数列证要使由于有

为了简化解不等式的运算,常常把作适当地放大.以0为极限.用定义证数列极限存在时,关键是任意给定寻找N,但不必要求最小的N.定义2.1数列的极限19证验证由练习定义2.1数列的极限2.1数列的极限201.唯一性定理2.1证由定义,故收敛数列极限唯一.每个收敛的数列只有一个极限.使得(否则得这不可能)所以a–b=0四、收敛数列的性质212.有界性若存在正数M,否则,称为使得一切自然数n,数列{xn}是有界数列,全落在区间在几何上即为存在使得点对数列{xn},则称数列{xn}有界;2.1数列的极限无界.22有界.例判定以下数列的有界性.解(1)因为故{xn}(2)因为有界.故{xn}(3)对任给正数M,只要便有这说明不可能找到使对每个都成立,即{xn}无上界,从而无界.对数列{xn},若存在正数M,无界.使得一切自然数n,

则称数列{xn}有界;2.1数列的极限否则,称为2.1数列的极限23定理2.2证由定义,有界性是数列收敛的必要条件,推论注收敛的数列必定有界.无界数列必定发散.但不是充分条件.则对一切自然数n,此定理及其推论的逆命题不成立.即有界数列不一定收敛,发散数列不一定无界.(后面将给出例子).故{xn}有界.定义243.保号性定理2.3如果且证由定义,对有

从而定理2.3表明:若数列的极限为正(或负),则该数列从某项开始以后所有项也为正(或负).定义2.1数列的极限253.保号性定理2.3如果且推论2.1如果数列{xn}从某项起有且那么用反证法证设数列{xn}从第N1项起,则由定理3知,按假定有按定理3有这引起所以必有矛盾.2.1数列的极限26在数列{xn}中依次任意抽出无穷多项:所构成的新数列这里是原数列中的第项,在子数列中是第k项.子数列.叫做数列{xn}的4.收敛数列与其子数列(subsequence)间的关系2.1数列的极限27定理2.4数列收敛的充要条件为其任一子列由此定理可知,但若已知一个子列发散,或有两个子列收敛于不同的极限值,可断定原数列是发散的.能断定原数列的收敛性;数列的子列收敛于1,而子列收敛于因此数列是发散的.该例说明了一个发散的数列可能有收敛子列,同时也说明有界数列不一定收敛.例如仅从某一个子列的收敛一般不2.1数列的极限均收敛.28敛于a.还可以证明:数列{xn}的奇子数列和偶子数列均收敛于同一常数a时,则数列{xn}也收试证数列证因为不收敛.收敛于而偶子数列所以数列

收敛于的奇子数列不收敛.例2.1数列的极限29数列数列极限收敛数列的性质收敛数列与其子数列间的关系.五、小结研究其变化规律;极限思想,精确定义,几何意义;有界性,唯一性,保号性,2.1

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