2024年高中数学立体几何

高一数学：空间几何体1．垂直于同一条直线的两条直线肯定()．A．平行 B．相交 C．异面 D．以上都有可能2．经过平面外两点与这个平面平行的平面()．A．可能没有 B．至少有一个 C．只有一个 D．有多数个3．已知m，n为异面直线，mSKIPIF1<0平面，nSKIPIF1<0平面，，则()． A．l与m，n都相交 B．l与m，n中至少一条相交 C．l与m，n都不相交 D．l只与m，n中一条相交4．已知,，为三条不同的直线，,为两个不同的平面，则下列命题中正确的是()A．B．∥C．D．∥5．已知直线，直线平面，则下列四个命题： ①； ②； ③； ④．其中正确的是（）①② B．③④ C．②④ D．①③6．是不同的直线，是不重合的平面，下列命题为真命题的是（）A．若B．若若D．若7．假如平面外有两点A，B，它们到平面的距离都是a，则直线AB和平面的位置关系肯定是()．A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．8．设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面．下列命题中正确的是()．A．若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α∥βB．若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥nC．若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥nD．若m∥n，m∥α，n∥β，则α∥β222（正视图）22（俯视图）2（侧视图）（第2题图）9．正四棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则异面直线SKIPIF1<0所成角的余弦值为()．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0俯视图正视图侧视图俯视图正视图侧视图图1三视图如图，则该型号蛋糕的表面积A．B．C．D．点E，F，G，H分别为空间四边形ABCD中AB，BC，CD，AD的中点，若AC＝BD，且AC与BD所成角的大小为90°，则四边形EFGH是（）．A．菱形 B．梯形 C．正方形 D．空间四边形12．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝2SKIPIF1<0，CC1＝SKIPIF1<0，则二面角C1-BD-C的大小为()．A．30° B．45° C．60° D．90°正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长均为2，E，F分别是AB，A1C1的中点，则EF的长是．14．已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为SKIPIF1<0，则侧面与底面所成二面角的大小为．PPOECDBA(第15题)15．如图，ABCD是正方形，O是该正方形的中心，P是平面ABCD外一点，POSKIPIF1<0底面ABCD，E是PC的中点．求证：(1)PA∥平面BDE；(2)平面BDE⊥平面PAC．16．如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC＝1，AB＝2，AB∥DC，∠BCD＝90°(1)求证：PC⊥BC；(2)求点A到平面PBC的距离．17．如图，棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，(1)求证：AC⊥平面B1D1DB；；(2)求三棱锥B-ACB1体积．EPCBADQ18.EPCBADQ（Ⅱ）若点Q是线段PA上任一点，推断BD、DQ的位置关系，并证明你的结论；（Ⅲ）若AB=2,求三棱锥B-CED的体积参考答案一、选择题1．D解析：当垂直于直线l的两条直线与l共面时，两条直线平行；当这两条直线与l不共面时，两条直线平行或相交或异面．3．A解析：当平面外两点的连线与此平面垂直时，经过这两点与这个平面平行的平面不存在．2．D解析：当将AD1平移至BC1，连接A1C1，∴∠A1BC1是异面直线A1B与AD1所成的角.在△A1BC1中，简单计算A1B＝BC1＝SKIPIF1<0，A1C1＝SKIPIF1<0．∴由余弦定理得cos∠A1BC1＝SKIPIF1<0．4．C解析：依条件得EFSKIPIF1<0AC，GHSKIPIF1<0AC，∴EFGH．又EHSKIPIF1<0BD，FGSKIPIF1<0BD，∴EHFG．∵AB＝BC，∴EF＝EH．∵AC与BD所成角的大小为90°，∴EF与EH所成角的大小为90°．∴四边形EFGH是正方形．5．B解析：对于A，满意条件的直线l可以与m，n中一条相交；对于C，若l与m，n都不相交，∵l分别与m，n共面，∴l∥m，l∥n．∴m∥n．冲突；对于D，满意条件的直线可以与m，n都相交．6．A解析：若设AC，BD交于点O，连接C1O，则BD⊥CO，BD⊥C1O．∴∠COC1是二面角C1-BD-C的平面角．tan∠COC1＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0．∴∠COC1＝30°．7．C解析：当A，B两点在同侧时，直线AB和平面平行；当A，B两点在异侧时，直线AB和平面相交．8．C9．A解析：设A，C∈，B，D∈，若AB，CD共面，∵∥，∴AC∥BD.∵E，F分别为AB，CD的中点，∴EF∥AC，且EFSKIPIF1<0，ACSKIPIF1<0，∴EF∥．②若AB，CD为异面直线，则过点F做直线MN∥AB，MN交于M，交于N，则MC∥ND．∴F为的MN中点．∴EF∥AM，且EFSKIPIF1<0，AMSKIPIF1<0，∴EF∥．(第(第10题)解析：连接AB′，A′B，于是∠ABA′＝SKIPIF1<0，∠BAB′＝SKIPIF1<0.设AB＝a，∴A′B＝acosSKIPIF1<0＝SKIPIF1<0a，BB′＝acosSKIPIF1<0＝SKIPIF1<0a．∴A′B′＝SKIPIF1<0a．∴AB∶A′B′＝2∶1．二、填空题10．SKIPIF1<0．如图，取A1B1的中点G，连接FG，EG，∵FG＝1，EG＝2，∴EF＝SKIPIF1<0．ABCOA′(第13ABCOA′(第13题)解析：如图过点A作AB⊥OC，垂足为B，连接A′B，点A到直线OC距离是AB．依条件得AA′＝SKIPIF1<0a，A′O＝SKIPIF1<0a，A′B＝SKIPIF1<0a．∴AB＝SKIPIF1<0a＝SKIPIF1<0a．12．60°．解析：依条件可知正四棱锥底面中心到一边的距离为1，侧面等腰三角形底边上的高为2，∴侧面与底面所成的二面角的余弦值是SKIPIF1<0．∴侧面与底面所成的二面角的大小是60°．13．5．ABCA1B1C1ABCA1B1C1P·DD1O(第16题)三、解答题16．证明：(1)∵AA1⊥AB，AA1⊥AD，且AB∩AD＝A，∴AA1⊥平面ABCD．又BDSKIPIF1<0平面ABCD，∴AA1⊥BD．又AC⊥BD，AA1∩AC＝A，∴BD⊥平面ACC1A1．(2)∵DD1∥AA1，AA1SKIPIF1<0平面ACC1A1，∴DD1∥平面ACC1A1．∴点P到平面ACC1A1的距离即为直线DD1到面ACC1A1的距离.也就是点D到平面ACC1A1的距离，设AC∩BD＝O，则DO的长度是点D到平面ACC1A1的距离．POECDBA(第17题)简单求出DO＝SKIPIF1<0a．∴P到平面ACC1A1的距离为SKIPIF1<0POECDBA(第17题)17．证明：(1)连接EO，∵四边形ABCD为正方形，∴O为AC的中点．∵E是PC的中点，∴OE是△APC的中位线．∴EO∥PA．∵EOSKIPIF1<0平面BDE，PASKIPIF1<0平面BDE，∴PA∥平面BDE．(2)∵PO⊥平面ABCD，BDSKIPIF1<0平面ABCD，∴PO⊥BD．∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD．∵PO∩AC＝O，ACSKIPIF1<0平面PAC，POSKIPIF1<0平面PAC，∴BD⊥平面PAC．18．(1)证明：∵PD⊥平面ABCD，BCSKIPIF1<0平面ABCD，∴PD⊥BC．由∠BCD＝90°，得CD⊥BC．又PD∩DC＝D，PD，DCSKIPIF1<0平面PCD，∴BC⊥平面PCD．∵PCSKIPIF1<0平面PCD，故PC⊥BC．(第18题)(2)解：(方法一)分别取AB，PC的中点E，F，连(第18题)则易证DE∥CB，DE∥平面PBC，点D，E到平面PBC的距离相等．又点A到平面PBC的距离等于点E到平面PBC的距离的2倍，由(1)知，BC⊥平面PCD，∴平面PBC⊥平面PCD．∵PD＝DC，PF＝FC，∴DF⊥PC．又∴平面PBC∩平面PCD＝PC，∴DF⊥平面PBC于F．易知DF＝SKIPIF1<0，故点A到平面PBC的距离等于SKIPIF1<0．(第18题)(方法二)：连接AC，设点A到平面(第18题)∵AB∥DC，∠BCD＝90°，∴∠ABC＝90°．由AB＝2，BC＝1，得△ABC的面积S△ABC＝1．由PD⊥平面ABCD，及PD＝1，得三棱锥P-ABC的体积V＝SKIPIF1<0S△ABC·PD＝SKIPIF1<0．∵PD⊥平面ABCD，DCSKIPIF1<0平面ABCD，∴PD⊥DC．又∴PD＝DC＝1，∴PC＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0．由PC⊥BC，BC＝1，得△PBC的面积S△PBC＝SKIPIF1<0．∵VA-PBC＝VP-ABC，∴SKIPIF1<0S△PBC·h＝V＝SKIPIF1<0，得h＝SKIPIF1<0．故点A到平面PBC的距离等于SKIPIF1<0．19．(1)证明：∵AC⊥BD，又BB1⊥平面ABCD，且ACSKIPIF1<0平面ABCD，∴BB1⊥AC.BD∩BB1＝B，∴AC⊥平面B1D1DB．(2)证明：由(1)知AC⊥平面B1D1DB，∵BD1SKIPIF1<0平面B1D1DB，∴AC⊥BD1．∵A1D1⊥平面A1B1BA，AB1SKIPIF1<0平面A1B1BA，∴A1D1⊥AB1．又∵A1B⊥AB1且A1B∩A1D1于A1，∴AB1⊥平面A1D1B．∵BD1SKIPIF1<0平面A1D1B，∴BD1⊥AB1，又∴AC∩AB1＝A，∴BD1⊥平面ACB1．(3)解：(方法1)SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0×1×(SKIPIF1<0×1×1)＝SKIPIF1<0．(方法2)SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0(SKIPIF1<0V正方体)＝SKIPIF1<0．(第20题)20．(1)证明：∵AB⊥平面BCD，∴(第20题)∵CD⊥BC，且AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC．又SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝(0＜＜1)，∴不论为何值，恒有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC．∵EFSKIPIF1<0平面BEF，∴不论为何值总有平面BE