重难点突破：专题08 函数（解析版）

专题08函数重点常量与变量的判断，函数自变量取值范围的确定，函数解析式及函数值的确定，函数的图象及其画法难点函数的定义的理解易错求自变量的取值范围时，考虑不周出错一、常量和变量常量和变量不是绝对的，必须根据具体的变化过程进行判断．【例1】弹簧挂上物体后会伸长(在允许挂物重量范围内)，测得一弹簧的长度y(cm)与所挂的物体的重量x(kg)间有下表的关系：下列说法不正确的是(

)x012345y1010.51111.51212.5A．弹簧不挂重物时的长度为10cmB．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量C．物体质量每增加1kg，弹簧长度y增加0.5cmD．所挂物体质量为7kg时，弹簧长度为14cm【答案】D【解析】时，弹簧不挂重物时的长度为，则选项A正确y是随x的变化而变化的x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量，则选项B正确当物体质量每增加，弹簧长度y增加的长度为，则选项C正确设当所挂物体质量为时，弹簧长度为则解得，则选项D不正确故选：D．【例2】某型号的汽车在路面上的制动距离s＝，其中变量是（

）A．s

v2 B．s C．v D．s

v【答案】D【解析】解：∵制动距离S=，∴S随着V的变化而变化，∴变量是S、V．故选：D．二、函数的定义判断一个关系是不是函数关系的方法：第一要看是不是一个变化过程；第二要看在这个变化过程中是不是有两个变量；第三要看其中一个变量每取一个确定的值，另一个变量是否有唯一确定的值与它对应．【例3】下列关于变量，的关系，其中不是的函数的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】解：A、C、D当x取值时，y有唯一的值对应，故选B．【例4】给出下列式子：①；②；③；④；⑤．其中y是x的函数的有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B【解析】①，y是x的函数；②，y是x的函数；③中有x，y，z三个变量，因此不能说y是x的函数；④中当x取任一正数值时，有两个y值与之对应，故y不是x的函数．⑤，y是x的函数.故选B．三、自变量取值范围的确定函数关系式中有分式、二次根式、零指数幂等情况综合时，自变量的取值范围一定要满足每一种情况，不要出现遗漏．【例5】函数y＝中，自变量x的取值范围是（

）A．x≥－1 B．x≥－1且x≠3 C．x≠－1 D．x≠－1且x≠3【答案】B【解析】由题意得：且解得：且即自变量x的取值范围为：x≥－1且x≠3故选：B．【例6】函数的自变量x的取值范围是（

）A． B．且 C． D．【答案】B【解析】根据题意得，且，所以且．故选B．四、函数解析式及函数值（1）要正确理解函数与函数值：函数是一个关系式，是一种对应关系，是对变量而言的；函数值是对具体数值而言的．（2）一个函数的函数值一般是随着自变量的变化而变化的．（3）求函数值的方法：将自变量的取值代入函数解析式进行运算即可．【例7】根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入x的值为4时，输出的y的值为7，则输入x的值为2时，输出的y的值为（

）A．1 B．2 C．4 D．5【答案】A【解析】解：∵输入x的值是4时，输出的y的值为7，∴7=2×4+b，解得：b=-1，若输入x的值是2，则输出的y的值是：y=-1×2+3=1．故选：A．【例8】据省统计局公布的数据，安徽省2019年第二季度GDP总值约为7.9千亿元人民币，若我省后两个季度GDP总值为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（

）．A． B．C． D．【答案】D【解析】∵第二季度GDP总值约为7.9千亿元人民币，若我省后两个季度GDP总值为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率为x，∴第三季度总产值为7.9(1+x)千亿元，第四季度总产值为，∴y=7.9(1+x)+，∴，故选D．五、函数的图象（1）函数图象上的任意点（x，y）中的x，y满足函数解析式．（2）满足函数解析式的任意一对（x，y）的值，所对应的点一定在函数的图象上．（3）利用函数国象可以求方程的解、不等式的解集、方程组的解，还可以预测变量的变化趋势．【例9】下列曲线不能表示y是x的函数的是（

）．A． B．C． D．【答案】C【解析】A.对于一定范围内自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，y是x的函数，此选项正确；B.对于一定范围内自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，y是x的函数，此选项正确；C.A.对于一定范围内自变量x的任取值时，y都有1个或2个值与之相对应，则y不是x的函数，此选项错误；D.对于一定范围内自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，y是x的函数，此选项正确；【例10】下列曲线中能够表示是的函数的有A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【答案】A【解析】①②③的图象都满足对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应关系，故①②③的图象是函数，④的图象不满足满足对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应关系，故错误；故选：A．一、单选题1．函数中x的取值范围是（

）A．x≤2 B．x≥2 C．x＜2 D．x＞2【答案】B【解析】由二次根式有意义的条件知：，解得，故的取值范围为，故答案为：B．2．寒冷的冬天里我们在利用空调制热调控室内温度的过程中，空调的每小时用电量随开机设置温度的高低而变化，这个问题中自变量是（

）A．每小时用电量 B．室内温度 C．设置温度 D．用电时间【答案】C【解析】解：空调的每小时用电量随开机设置温度的高低而变化，这个问题中自变量是设置温度，故选：C．3．下列各曲线表示的y与x的关系中，y是x的函数的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：由函数定义可知：作垂直x轴的直线在左右平移的过程中看是否与函数图象只会有一个交点，若只有一个交点，则是函数，否则不是；其中选项A、C、D均可能会有2个交点，故错误，而选线B中只会有一个交点，故选：B．4．如图1，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，图中阴影部分△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则矩形PQMN的面积为（）A．16B．20C．36D．45【答案】B【解析】解：由图2可知：当x＝4时，点R与点P重合，PN＝4，当x＝9时，点R与点Q重合，PQ＝5，所以矩形PQMN的面积为4×5＝20．故选：B．5．小明从家里出发骑单车去上学，行了一段时间后，想起今天考试须要带2B铅笔，于是赶紧折回到刚经过的文具店，买到铅笔后继续赶往学校．以下是他所用的时间与离家距离的关系示意图，根据图中的信息，则下列说法错误的是（

）A．小明家到学校的路程是1800米B．小明在文具店停留了4分钟C．本次上学途中，小明一共行了3400米D．若骑单车的速度大于300米/分就有安全隐患，在整个上学的途中，小明骑车有4分钟的超速骑行，存在安全隐患【答案】D【解析】解：A、根据图象，学校的纵坐标为1800，小明家的纵坐标为0，故小明家到学校的路程是1800米；故本选项不合题意；B、根据题意，小明在书店停留的时间为从8分到12分，故小明在书店停留了4分钟；故本选项不合题意；C、一共行驶的总路程＝1400+（1400﹣600）+（1800﹣600）＝3400（米）；故本选项不合题意；D、由图象可知：0～6分钟时，平均速度＝＝233（米/分），6～8分钟时，平均速度＝（米/分），12～16分钟时，平均速度＝（米/分），所以，若骑单车的速度大于300米/分就有安全隐患，在整个上学的途中，小明骑车有2分钟的超速骑行，存在安全隐患，故本选项符合题意；故选：D．6．点燃的蜡烛每分钟燃烧的长度一定，长22cm的蜡烛，点燃10分钟，变短了4cm，设点燃x分钟后，还剩ycm，下列说法正确的有（）A．蜡烛每分钟燃烧0.6cmB．y与x的关系式为y＝22﹣4xC．第23分钟时，蜡烛还剩12.8cmD．第51分钟时，蜡烛燃尽【答案】C【解析】解：A、燃烧10分钟后变短了4cm，可得每分钟燃烧0.4cm，故不正确，不合题意；B、点燃的蜡烛每分钟燃烧的长度一定，长22cm的蜡烛，点燃10分钟，变短了4cm，设点燃x分钟后，还剩ycm，y与x的关系式为y＝22﹣0.4x，故不正确，不合题意；C、第23分钟时，蜡烛还剩y＝22﹣0.4×23＝12.8cm，故正确，符合题意；D、第51分钟时，蜡烛还剩y＝22﹣0.4×51＝1.6cm，故不正确，不合题意；故选：C．二、填空题7．在函数y＝中，自变量x的取值范围是_____．【答案】【解析】解：∵分母不能为0，∴，∴解得自变量x的取值范围是，故答案为：．8．在中，，周长为12．设，，则y关于x的函数表达式为______．【答案】【解析】解：根据题意得：2x+y=12，故y关于x的函数表达式为y=-2x+12．故答案为：y=-2x+12．三、解答题9．周末，小峰骑共享单车到图书馆，他骑行一段时间后，发现钥匙没在，于是原路返回．在等红绿灯的路口处找到了钥匙，便继续前往图书馆．小峰离家路程与所用时间的关系示意图如图所示，请根据图中提供的信息回答下列问题：(1)图中自变量是______，因变量是______．(2)小峰等待红绿灯花了______分钟．一共行驶了______分钟．(3)本次去图书馆的行程中，小峰一共骑行了多少米？小峰在骑行过程中最快的速度是多少？【答案】(1)离家的时间、离家路程；(2)2；14；(3)小峰一共骑行2700米；小峰在骑行过程中最快的速度是300米／分．【解析】(1)解：由图可知，图中自变量是离家的时间，因变量是离家路程，故答案为：离家的时间、离家路程；(2)解：由图可知，小峰等待红绿灯花了：10-8=2（分钟），一共用了14分钟，故答案为：2；14；(3)本次去图书馆的行程中，小峰一共骑行了：1200+（1200-600）+（1500-600）=1200+600+900=2700（米），在0-4时间段内速度为：1200÷4=300（米／分），在4-8时间段内速度为：（1200-600）÷（8-4）=600÷4=150（米／分），在8-10时间段内速度为0米／分，在10-14时间段内速度为：（1500-600）÷（14-10）=900÷4=225（米／分），∵300＞225＞150＞0，∴小峰在骑行过程上最快的速度是300米／分，答：小峰一共骑行2700米，小峰在骑行过程中最快的速度是300米／分．10．下图是某地区一天的气温随时间变化的图象：(1)图中的变量是什么？(2)气温在哪段时间是下降的？(3)最高气温和最低气温分别是多少摄氏度？【答案】(1)时间t小时与温度T°C；(2)0≤t≤4或14≤t≤22时间内(3)最高温度8°C，最低温度为-2°C【解析】(1)解：图中的变量是时间t小时与温度T°C；(2)解：在0≤t≤4或14≤t≤22时间内温度下降；(3)最高温度8°C，最低温度为-2°C一、单选题1．如图是甲、乙两个动点在某时段速度随时间变化的图象，下列结论错误的是（）A．乙点前4秒是匀速运动，4秒后速度不断增加B．甲点比乙点早4秒将速度提升到32cm/sC．在4至8秒内甲的速度都大于乙的速度D．甲、乙两点到第3秒时运动的路程相等【答案】D【解析】．根据图象可得，乙前4秒的速度不变，为12米秒，故A正确，不合题意；B．从图象可知，甲8秒时速度是32厘米/秒，乙12秒时速度是32厘米/秒，故B正确，不符合题意；C．在4至8秒内甲的速度图象一直在乙的上方，所以甲的速度都大于乙的速度，故C正确，不合题意．D．甲每秒增加的速度为：（米秒），（米秒），甲前3秒的运动路程为（米，乙前4秒的速度不变，为12米秒，则行驶的路程为米，所以甲、乙两点到第3秒时运动的路程不相等，故D错误，符合题意；故选：D．2．如图1，点F从菱形ABCD的顶点A出发，沿A→D→B以1cm/s的速度匀速运动到点B，△FBC的面积y（cm2）随时间x（s）变化的关系图象，则a的值为（）A． B．2 C． D．2【答案】C【解析】解：过点D作DE⊥BC于点E，由图象可知，点F由点A到点D用时为as．∴，∴，∴DE＝2．当点F从D到B时，用时为s∴BD＝∴在中，．∴，∴在中，，即，解得：．故选：C．3．甲、乙两人分别从笔直道路上的A、B两地出发相向匀速而行，已知甲比乙先出发5分钟，两人在C地相遇，相遇后甲立即按原速原路返回A地，乙继续向A地前行，约定先到A地者停止运动就地休息．若甲、乙两人相距的路程y（米）与甲行走的时间x（分钟）之间的关系如图所示，有下列说法：①甲的速度是60米/分钟；②乙的速度是90米/分钟；③甲出发18分钟时，两人在C地相遇；④乙到达A地时，甲与A地相距460米，其中正确的说法有（）A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④【答案】C【解析】解：由题意可得，甲的速度为：（米/分），故①正确，乙的速度为：（米/分），故②正确，甲、乙相遇时乙出发的时间为：（分钟），此时甲出发：（分钟），故③错误，乙到达A地时，甲与A地相距的路程是：（米），故④正确，故选：C．4．一块含45°角的直角三角板和一把直尺按如图所示方式放置，直尺的一边EF与直角三角板的斜边AB位于同一直线上，DE＞AB．开始时，点E与点A重合，直角三角板固定不动，然后将直尺沿AB方向平移，直到点F与点B重合时停止．设直尺平移的距离AE的长为x，边AC和BC被直尺覆盖部分的总长度为y，则y关于x的函数图象大致是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：根据直尺的平移可知，共分三个阶段，分别如下图所示：如图①，设、与的交点分别为、，作，由此可得四边形为矩形，则，，则为等腰直角三角形由勾股定理可得：即，如图②，设与的交点分别为，与的交点为点，作，延长交于点，由此可得，四边形为矩形，则，，则、为等腰直角三角形，则，所以，如图③，由图①可得，即y不随x的变化，不变，故选：A．5．如图所示各图中反映了变量y是x的函数是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】解：根据函数的意义可知：对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，只有D正确．故选：D．6．甲、乙两人沿同一条笔直的公路相向而行，甲从地前往地，乙从地前往地．甲先出发3分钟后乙才出发．当甲行驶到6分钟时发现重要物品忘带，立刻以原速的掉头返回地．拿到物品后以提速后的速度继续前往地，二人相距的路程（米）与甲出发的时间（分钟）之间的关系如图所示，下列说法不正确的是（

）A．乙的速度为 B．两人第一次相遇的时间是分钟C．点的坐标为 D．甲最终达到地的时间是分钟【答案】D【解析】由题意知：AB段表示甲先出发3分钟内两人距离与甲出发时间的关系，则；BC段表示甲3分钟~6分钟内两人的距离与甲出发时间的关系，故；CD段两人距离不变，表示两人的速度相等，从而可得乙的速度为甲原来速度的；设甲原来的速度为，提速后的速度为，则乙的速度为甲行驶6分钟后，乙行驶3分钟，两人相距2320米，于是两人共行驶了4000−2320=1680（）则得方程：解得：则乙的速度为故A正确甲前3分钟的路程为：3×160=480（），3分钟时甲乙相距故点B的坐标为故C正确设甲6分钟后返回的时间为根据甲6分钟的路程=甲返回取回物品的路程，得方程：解得：t=4∴即10后，甲乙均以速度相向而行，此时两人相距：，两人相遇的时间为：所以甲出发到两人第一次相遇时间为：故B正确甲拿回物品后到达B地需要的时间为：，则甲最终达到B地所需的时间为：故D错误故选：D二、填空题7．在函数y＝中，自变量x的取值范围是_____．【答案】1≤x≤2【解析】解：由题意得，2﹣x≥0，x﹣1≥0，解得x≤2，x≥1，∴1≤x≤2．故答案为：1≤x≤2．8．甲、乙两人在一条长400米的直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息，已知甲先出发3秒，在跑步过程中，甲、乙两人的距离y（米）与乙出发的时间t（秒）之间的关系如图所示，有如下四个结论：①甲的速度是4米/秒；②甲从起点到终点共用80秒；③离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点30米；④甲、乙两人相距的最大距离为68米．上述所有正确结论的序号是_____．【答案】①④【解析】解：由图可知：甲3秒跑了12米，∴甲的速度是4米/秒；故①正确；∴甲从起点到终点共用400÷4=100（秒），故②不正确；由图知，乙用80秒跑400米，∴乙速度为5米/秒，∴乙追上甲用的时间为12÷（5-4）=12（秒），此时距出发点12×5=60（米），故③不正确；乙出发80秒时，甲跑的路程是12+80×4=332（米），此时甲、乙两人相距距离最大，最大距离是400-332=68（米），故④正确；故答案为：①④．三、解答题9．某市为了节约用水，采用分段收费标准、设居民每月应交水费y（元），用水量x（立方米）．用水量x（立方米）应交水费y（元）不超过10立方米每立方米4元超过10立方米超过的部分