函数的凹凸性及其应用8600字【论文】

函数的凹凸性及其应用 1 1 1 4 5 5 5 6 7 7 8 121绪论1.1问题研究背景坐标轴原点对称还是y轴对称或者前两者都不是。但是还有一些情况的抛物线，如y=x²,,我们可以利用奇偶定义来判断他们图像的对称性，根据单调性的定义，可以判断出他们在区间[0,1]上的单调性，但是我们不好判断在此区间内多个自变量的函数值组成的式子的大小。从画出来的图像上来看，他们的弯曲方向不一样，在同一个函数中，对于一点的函数值比另一个点的函数值是大还是小，尤其是在不等式这里，仅仅运用我们所知道的单调性这一个知识点是很难证明出来的，这说明无论是增加我们的知识面，还是对于我们进一步学习函数时，仅仅知道单调性这些基础的函数性质是不够的，还需要考虑函数图形的弯曲方向，让我们知道这个图像的趋势是怎样的一个情况，根据函数图像的趋势我们能总结得出怎样的结论，这样的结论才是我们学习的重点。通过查阅了国内外的参考文献，数学竞赛以及对近几年高考试题的分析中，发现函数凹凸性不但在解决高中题时有很多方便之处，在证明不等式，求最值时有着一定的简便之处，而且函数的凹凸性这块知识点主要重点用于高等数学中，凸函数也在泛函分析、最优化理论、数理经济学以及数学规划和控制论等现代数学与工程技术领域有着广泛的应用，然而高中课本中并没有涉及函数凹凸性的相关概念，虽然函数的凹凸性在高中教材中没有给出系统定义、性质，但发现它的影子不仅在课本题目中，还在高考大题中频频出现，这充分说明了高考命题源于课本，又高于课本的原则，同时也体现了高考为高校输送优秀人才的选拔性功能，在遇到解决高中涉及函数的凹凸性的相关问题时，大部分的学生常常感到迷茫，不知道从那开始下手，于是学生在努力回忆自己学习的知识点时，发现没有涉及这一部分的内容，心里面更是没有其他想法，在思考题目时找不到突破口，于是导致在接下来的解题中感到困难，然而有部分学生虽然找不到新的突破口，但还是会根据之前学习的知识，按部就班的去看待题目，按照之前的解题模式，尝试着去做题，能做到那一步就尽量做到那一步，然而这部分学生在遇到计算量大或繁锁时，就会产生厌学数学的情绪，除此之外，还会影响接下来的解题思路，甚至情绪也会被调拨起来。为了解除这种困惑，培养与提高学生学习数学的兴趣，让学生掌握函数凹凸性及其在不同类型题目中的应用是很必要的，因此本毕业论文从凹凸函数的基础知识和函数凹凸性在不同题型中的解题应用两个大的方面，对函数凹凸性定义、相关性质及其应用进行进一步的分析和总结。探讨函数凹凸性在证明不等式、求最值以及解数形结合问题等方面的应用，寻找解决有关函数凹凸性的相关问题提供比较清晰的解题思路和解题方法。1.2问题的研究及其意义对该问题的研究还可以：①有利于方便解决更多复应用很广泛，同样的知识点，但对于不同类型的题目，运灵活性大，更多的是需要学生的灵活变通，去的知识点。在学生学习生涯中，数学中的重。那么在初高中阶段学习函数的概念，函数的单调性，但这些知识点不足于学生解决更深层次点的函数问题，进性可以帮助学生数形结合思想的提高，并加深展。能处理好数学问题并非易事，首先要拥有一识的储备能力，更重要的是要拥有自主学习能力及到很多数学方法和数学思想的问题，这些数学方法和联系，相对于学生来说无论是数学方法还是数学思数问题中需要考虑多方面的因素，特别是在数学要性，利用函数的凹凸性可以更方便的解决涉及函考命题的趋势都有涉及到函数凹凸性的内容，并且是值比较高，可以用来区分学生水平的一个关键点，不有利于即将进入大学学习的一个基础铺垫。函数的性很高，主要用于高等数学中。无论是数学专一科来说，函数都是特别重要的知识点，其进一步深入学习等方面的问题，并不是说是为了学习才研究，也不是说是为了考试而研究，是为了更好的解决在理论上的或实践中的运用，因此，研究函数凹凸性及其应用是非常有必要的。1.3研究动态根据所查到的相关文献资料可知，目前有关函数凹凸性在高等数学和初等数学中的研究甚多，学者们从不同的方面和角度对其进行了较为广泛的探讨，张嫣[11在《函数凹凸性在高中数学中的应用探究》中从复旦大学数学系陈传璋编写的《数学分析》,从不同的方面给出了三种不同的函数凹凸性定义，还说明函数凹凸性的相关性质以及一些重要不等式，并用实际例子来说明函数凹凸性在高考数学中的应用。魏远金[2]的《函数四凸性在高考中的应用》一文主要阐述了利用函数凹凸性解决一些用初等数学知识难以解决的问题。刘海燕[3]的《凸函数在不等式证明中的应用》一文给出了凸函数的定义，性质及其在证明不等式中的应用，夏红卫[4]的《凸函数与不等式》一文从凸函数的定义出发，得到函数的连续性，推导出詹森不等式，并由此得到个正数的平均值不等式。韩艳娜5在《关于函数凹凸性的教学探究》中说到凹凸性反映在函数图形上就是曲线的弯曲方向，它揭示了函数的因变量随自变量变化而变化的快慢程度。并规定定义：在某区间内，如果曲线弧位于其上任意一点的切线的上方，则称曲线在这个区间内是凹的(上凹的);如果曲线弧位于其上任意一点的切线的下方，则称曲线在这个区间内是凸的(下凹的)。说明函数凹凸性的本质：函数的凹凸性揭示了函数因变量随自变量变化而变化的快慢程度对自变量的每一个单位增量，凹函数的因变量增量越来越大，凸函数的因变量增量越来越小。并提出问题：函数的单调性可由导数判定，函数的凹凸性是否也能由导数判定呢，利用二阶导数总结出判断函数凹凸性的定理：设通过分析和整理文献发现，有不少的人在研究函数的凹凸性，并且从不同的角度得出关于函数凹凸性的定义以及函数凹凸性基本性质之间的联系和函数凹凸性在不同类型题目中的应用。2函数的凹凸性理论基础2.1函数凹凸性的定义函数的凹凸性是函数性质中一个特别重要的性质，对于深入学习函数来说，函数的凹凸性这块知识点起到很大的重要，可以说是简单性质的升华，是进一步学习函数复杂定义的铺垫。不同教材中给出不同的函数定义。本文采用的是复旦大学数学系陈传璋编写的《数学分析》[7]中的定定义1函数f(x)在[a,b]上连续，若对[a,b]中任意两点x₁,x₂,恒有),则称函数f(x)在区间D上是凹(凸)函数。定义2f(x)在区间D上连续，若对区间D上任意两点x₁,x₂,及λ₁>0,λ₂>0若f(A₁x₁+λzx₂)>λ₁f(x₁)+λ₂f(x₂),则称f(x)在区间D上是上凸的，其中当且仅当x₁=x₂时取等号。若f(A₁x₁+λ₂x₂)<λ₁f(x₁)+λ₂f(x₂),则称f(x)在区间D上是下凸的，其中当且仅当x₁=x₂时取等号。在高等数学的教材中，曲线的凹凸性定义为：设曲线弧的方程为y=f(x),且曲线弧。上每一点都有切线，如果在某区间内，该曲线孤位于其上任一点切线的上方，则称曲线弧在该区间内是凹的；如果在某区间内，该曲线弧位于其上任一点切线的下方，则称曲线弧在该区间内是凸的。这是在高等数学中，函数的凹凸性直接用语言的形式描述出来。从这里，我们可以看出无论是数学分析还是高等数学中函数凹凸性的定义，它的定义与函数单调性的定义相比较，函数的凹凸性都比较复杂些，根据函数凹不论是那一种情况，我们都可以根据函数凹凸性的定义来判断不同函数值的大小。2.2函数凹凸性的相关性质我们已经知道函数凹凸性的定义，必然也少不了从定义中总结出一些相关的性质，下面是对函数凹凸性的相关性质[7做出归纳总结性质1设函数f为区间I上的可导函数，则下列论断互相等价(2)f'为I上的增函数；性质2设f为区间I上的二阶导数在，则在I上f为下凸(上凸)函数的充要条性质3对于函数f(x)有这样的性质(1)函数f(x)与f-¹(x)、-f(x)的凸性相反；(3)若g(x)是线性函数，则函数f(x)+g(x)与f(x)凸性相同；函数凹凸性的相关性质对我们去解决问题有一定的帮助，对于简单类型的题目，我们可以直接应用函数凹凸性的定义去解决，对于复杂点的题目，函数凹凸性的性质可以帮助我们找到新的突破口，提供解决问题的思路。2.3函数凹凸性的判别方法判断函数的凹凸性，我们有几种类型，一是根据函数凹凸性的定义判断函数图像是凹的还是凸的，二是根据函数凹凸性的三个性质来判断，三是一些特殊判别方法。以下是常用的判别方法[8及其特殊方法[9]定理1设f(x)在(a,b)上二阶可导，则f(x)在(a,b)上是凸函数的充要条件是定理2设f(x)为区间(a,b)上的可导函数，则(x)为凸函数的充要条件是对区定理3设函数u=φ(x)在区间(a,b)内具有二阶导数，函数y=f(u)在对应区间(1)若函数y=f(u)在(a,β)内为单调增加的凹函数，函数u=φ(x)是区间(a,b)内的凹函数，则y=f[φ(x)]也是区间(a,b)内的凹函数；(2)若函数y=f(u)在区间(α,β)内为单调增加的凸函数，函数u=φ(x)是区间(a,b)内的凸函数，则y=f[φ(x)]也是区间(a,b)内的凸函数；的凸函数，则y=f[φ(x)]也是区间(a,b)内的凹函数；(4)若函数y=f(u)在(a,β)内为单调减少的凸函数，函数u=φ(x)是区间(a,b)内的凹函数，则y=f[φ(x)]也是区间(a,b)内的凸函数；3函数凹凸性的几个应用3.1函数凹凸性在高中数学问题中的应用代化生活和未来发展提供更高水平的数学基础，使他们获得更高水平的数学素养，为学生进入高一级学校提供必要的数学准备，同时把提高学生的数学思维能力作为数学教育的基本目标之一”。近几年来，高考命题制度的改革是在逐渐变化，许多的省市开始自主命题，然而这些省市主要是由高校的教授和中学教学一线的教师参加到高考命题的工作中，并且高校教授占高考命题工作人员的绝大部分。高中课堂为了渗透新课程理念，强调培养学生学习能力和自主探究能力。高考命题工作人员为了体现这样的目标，将题目与这种目标相结合，很快就会有人发现在近几年来许多高考数学题目强化了对学生创新能力和自主探究能力的考察。然而这些考察方式往往都是以高等数学知识为背景出现，也就是说试题会以高等数学知识相关的背景为来源设计。但是这类题目往往是用高中数学所学的初等知识来解决。针对这类题目的解决方法，要求学生具有一定的知识储备能力以及做题然而在高中数学教材中，函数凹凸性没有给出具体的定义和性质，但函数凹凸性的理论和思想在课本题目中，高考和数学竞赛中都有体现。对学生思维的抽象性、逻辑性，学生的自主学习和探究能力提出了更高一步的要求，也体现了高在教材中，函数凹凸性的影子经常出现，如人教版高中数学《集合与函数概念》第45页第5题的第二问：这道题主要考察的是有关函数的概念，比较同一函数不同自变量的函数值，判断两个函数值的大小，学生在解决此类题目时经常用作差法，得出的值与零相比较，判断与零的大小，最后得出结论。证明如下：,所,即命题。其实从图形中不难看出来，函数g(x)=x²+ax+b是一个二次函数，开口向上，是一个凹函数，根据凹函数的定义，我们就可以直接判断出这个不等式成立。由于学生没有学习函数凹凸性的定义。他们看到这样的题目也只会根据自己学习的知识点来解决相信很多学生看到这样的题目，很有可能就这样按部就班的证明下来，如果|cotx₁+cotx₂+……+cotxnlP≤nP-1(|c像这样类型的复杂题目，计算起来计算量不仅很大，而且应用有关函数的基本性质，像单调性，奇偶性等这些基本知识我们是不能够去解决，找不到好的解决方法。这时我们就需要更深一点的知识，更简单的解决办法。所以我们是很有必要学习函数的凹凸性及其它的应用，它能够帮助我们解决更深层次的问题。3.2函数凹凸性在证明不等式中的应用从分析文献中和学习到的内容中，函数凹凸性的应用显著地体现在求最值、不等式的证明上，想要证明不等式的方法有很多，关键在于方法简不简单，实用性是否强，在证明不等式中，虽然函数凹凸性是函数在区间上变化的整体形态，从部分的区间中可以明显的观察到函数图像的趋势，但是需要我们用数学语言证明出来，是一个难题，解决此类的题目，关键在于方法的灵活运用。因此函数的凹凸性可以很好的帮助我们去证明不等式，可以通过构造凸函数，应用凸函数相关的性质去进一步证明我们遇到的不等式。在不等式的研究中，凸函数所发挥着很重要的作用，在数学规划中有着广泛的应用背景，我们可以根据凸凹函数的特性，来解决一系列拥有较大难度的不等式，以及导出一些较难的不等式，通过凸函数的性质来得到比较直观的证明。解决不等式的证明有着许多方便之处，凸函数适当的应用，使证明过程更加简洁，会使结论的得出更加的方便。在利用函数的凹凸性来证明不等式，最关键也是最难的一步是在如何根据题目的要求构造出一个新的函数。如：例1证明不等例2证明下列不等式证明(1)构造函数f(x)=x"(x>0,n∈N*,n>1),则f'(x)=nxn-1,f"(x)=n(n-1)xn-2。由条件知，在(0,+○)上，f"(x)>0,故f(x)是上的由条件知，在这题的思路是先构造一个函数，求出一阶导数和二阶导数，利用凹凸函数的性质，直接得出这个函数是凹函数，根据定义，直接得出结论，命题得证。从这个题目中可以看出利用函数的凹凸性来证明不等式有着很大的技巧，在此过程中0。在这道题目中，只需要三个步骤就证明出不等式，构造、求导数、Jenson不等式，这个过程思路清楚，解题过程简单。3.3函数凹凸性在求最值中的应用不论是在中学阶段还是在大学学习中，当我们遇到求最值的问题，我们一般都是根据题目中已知的信息，列出相关等式或者不等式，然后再根据题目的问题要求，找到他们之间的对应关系，留下题目需要的式子，最后运用解题方法把最后的结论求出来，一般的求最值的问题，最后都是转化为不等式的问题，在没有学习函数凹凸性之前，我们接触到求最值有很多种方法，如利用函数单调性，函数的连续性等等。可以求出一般函数的最值，但是对于复杂的函数，我们需要求它的单调性，判断它在区间内是递增的还是递减的，是在那一个自变量能够取得它的最值，然而在求复杂函数的单调性这里，我们就有可能进行不下去了，有些复杂的函数，根据我们的知识