概率论与数理统计第一章 随机事件及其概率课件

概率论与数理统计概率论与数理统计第一章随机事件及其概率社会现象的分类

确定性现象模糊现象随机现象概率论与数理统计第一章随机事件及其概率

随机现象带有随机性、偶然性的现象.随机现象的统计规律性概率论正是研究随机现象统计规律性的一门学科.概率论与数理统计第一章随机事件及其概率第一章随机事件及其概率概率论与数理统计第一章随机事件及其概率样本空间与随机事件1.1概率论与数理统计第一章随机事件及其概率对研究对象进行观察或试验，即随机试验，简称试验。

随机试验

掷一枚正六面体的色子，观察出现的点数。从水泥自动生产流水线上任意抽取一袋水泥，称其重量。一射手打靶，直到击中靶心为止，记录其射击次数。概率论与数理统计第一章随机事件及其概率

随机试验的特点实验可以在相同条件下重复进行每次试验，可能出现各种不同结果每次试验，实际只出现一种结果，至于实际出现哪一种结果，试验之前是无法预先知道的概率论与数理统计第一章随机事件及其概率

样本空间与样本点随机试验的每个基本结果称为样本点，记为ω。

全体样本点的集合称为样本空间，记为Ω。.

ΩA样本点ω.....概率论与数理统计第一章随机事件及其概率样本点简记为：

wi

={出现i点},i=1,2,…,6。则样本空间可记为Ω={w1，w2，…,w6}

例子掷骰子打靶直到击中靶心为止，记录其射击次数:wi

={直到第i次才击中目标},i=1,2,…。则样本空间可记为Ω={w1，w2，…}

。概率论与数理统计第一章随机事件及其概率在随机试验中可能发生也可能不发生的事情称为随机事件，简称事件.

随机事件“掷出奇数点”“掷出1点”概率论与数理统计第一章随机事件及其概率事件就是由样本点组成的某个集合..

ΩA样本点ω.....概率论与数理统计第一章随机事件及其概率事件基本事件：实验中不可再分解的事件。复合事件：两个或一些基本事件并在一起，就构成一个复合事件。"掷出奇数点"“掷出1点”概率论与数理统计第一章随机事件及其概率必然事件:在试验中必定发生的事件，记为Ω;

不可能事件:在一次试验中不可能发生的事件，记为φ

。在掷骰子试验中，“点数小于7”和“点数为8”是随机事件吗？概率论与数理统计第一章随机事件及其概率23479108615

例1.一个袋子装有10个大小、形状完全相同的球.将球编号为1－10.把球搅匀，从中任取一球.wk={取出的球号为k},k=1,…,10Ω={w1，w2，…,w10}A~"取出的球号为偶数"B~"取出的球号大于8"A={w2，w4，w6，w8,w10}B={w9，w10}D~"取出的球号不大于10"C~"取出的球号大于10"概率论与数理统计第一章随机事件及其概率1.事件的包含2.事件的相等3.事件的积（交）4.互不相容（互斥）事件

事件间的关系概率论与数理统计第一章随机事件及其概率5.事件的和（并）6.对立事件7.差事件

事件间的关系概率论与数理统计第一章随机事件及其概率1.交换律2.结合律3.分配律4.对偶原则

事件的运算法则概率论与数理统计第一章随机事件及其概率例2.概率论与数理统计第一章随机事件及其概率例3.概率论与数理统计第一章随机事件及其概率概率的直观意义1.2概率论与数理统计第一章随机事件及其概率在n次重复实验中，事件A出现m次，则n次实验中，事件A出现的频率fn(A)=m/n

统计概率概率论与数理统计第一章随机事件及其概率

掷硬币试验概率论与数理统计第一章随机事件及其概率频率稳定性指的是：当各轮试验次数n1,n2,…,ns

充分大时，在各轮试验中事件A出现的频率总在一个定值附近摆动.而且，试验次数越多，一般来说摆动越小.频率

稳定在某个值

附近频率的稳定值说明随机事件发生的可能性大小是客观存在的，是不以人的意志为转移的客观规律，这正是随机现象的统计规律性。概率论与数理统计第一章随机事件及其概率在相同条件下对实验E重复进行n次，其中事件A出现m次。当实验次数n充分大时，事件A出现的频率fn(A)=m/n的稳定值p,称为事件A的概率，记为P(A).P(A)≈fn(A)=m/n

概率的统计定义概率论与数理统计第一章随机事件及其概率

统计概率的性质非负性：0≤P(A)≤1规范性：P(Ω)=1有限可加性：若A1，A2，…，An是一组两两互不相容的事件，则有概率论与数理统计第一章随机事件及其概率

频率和概率有什么区别和联系？频率决定于实验，而概率是先于实验而客观存在的。对于较大的n，n次试验中事件A的频率，一般与事件A的概率P相差不大，试验次数n越大，频率与概率有较大偏差的情形就越少见.因此人们常取实验次数很大时事件的频率或一系列频率的平均值作为概率的估计值。概率论与数理统计第一章随机事件及其概率例2.抽查某厂的某一产品100件，发现有

5件不合格品，则不合格品(事件A)的概率为P（A）≈5/100=5%概率论与数理统计第一章随机事件及其概率医生在检查完病人的时候摇摇头,“你的病很重，在十个得这种病的人中只有一个能救活.”当病人被这个消息吓得够呛时，医生继续说“但你是幸运的.因为你找到了我，我已经看过九个病人了，他们都死于此病.”概率论与数理统计第一章随机事件及其概率23479108615

例.一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球，其中六个红球，四个白球，把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球，求取到红球的概率。

古典概率概率论与数理统计第一章随机事件及其概率有限性：试验只有有限个基本事件

古典概型实验等可能性：任何两个基本事件不可能同时出现，且每次实验中各可能结果出现的可能性均相同概率论与数理统计第一章随机事件及其概率n个基本事件m个

概率的古典定义若试验中只有n个等可能的基本事件，而某个事件A由其中m个基本事件组成,则m/n为事件A的概率，即概率论与数理统计第一章随机事件及其概率

古典概率的性质非负性：0≤P(A)≤1规范性：P(Ω)=1有限可加性：若A1，A2，…，An是一组两两互不相容的事件，则有概率论与数理统计第一章随机事件及其概率

古典概率计算举例例1.从0，1，2,…，9共10个数字中任取1

个，假定每个数字都以1/10的概率被取中，取后放回，先后取出4个数字，试求下列各事件的概率。A1

：“4个数字各不相同”A2

：“4个数字组成一个3位数”A3

：“4个数字组成一个4位偶数”A4

：“4个数字恰好有2个0”概率论与数理统计第一章随机事件及其概率

古典概率计算举例例2.设有n个人，每个人都等可能地被分配到N个房间中的任意一间中去住(n≤N)，且设每个房间可容纳的人数不限，求下列事件的概率。A={某指定的n个房间中各有一个人住}。B={恰好有n个房间，其中各住一人}。C={某指定的一间房中恰好有m(m<n)人}.概率论与数理统计第一章随机事件及其概率

古典概率计算举例例3.一批产品共有N件，其中M件是废品。现在从全部N件产品中随机的抽取n件（n≤N),求恰好取到m(m≤M)件次品的概率。概率论与数理统计第一章随机事件及其概率

古典概率计算举例例4.设有带号码1，2，3，4的四件物品，任意地放在标有1，2，3，4的空格中，求下列事件的概率。A={四件物品刚好都放在相应标号的空格中}B={没有一件物品与所占空格号码相一致}概率论与数理统计第一章随机事件及其概率

几何概率A向该正方形随机投针，求针落在红色区域A的概率

几何概型实验有限区域、无限样本点等可能性概率论与数理统计第一章随机事件及其概率

概率的几何定义在几何概型试验中，设样本空间为Ω，事件A包含于Ω，则事件A发生的概率为其中几何度量指长度、面积或体积等。概率论与数理统计第一章随机事件及其概率

几何概率应用1.设公共汽车每5分钟一班，求乘客在车站等车不超过1分钟的概率。2.在圆周上任取三个点A,B,C,求三角形ABC为锐角三角形的概率。概率论与数理统计第一章随机事件及其概率概率的公理化定义1.3概率论与数理统计第一章随机事件及其概率

概率的公理化定义设随机试验E的样本空间为Ω，对试验E的任一随机事件A，定义一个实值函数P(A),若满足：非负性规范性可列可加性：若A1,A2,…,An,…两两互不相容，则有则称P(A)为事件A的概率。概率论与数理统计第一章随机事件及其概率

概率的重要性质P(φ)=0有限可加性：若A1,A2,…,An是一组两两互不相容的事件，则有对任一随机事件A,有若A包含B,有P(A-B)=P(A)-P(B)对任意事件A、B,有概率论与数理统计第一章随机事件及其概率

推论对任意事件A、B，有P(A-B)=P(A)-P(AB)若A包含B,有P(A)≥P(B)若AB=φ,有P(A+B)=P(A)+P(B)对任意n个事件A1,A2,…,An,有概率论与数理统计第一章随机事件及其概率例1.已知 在下列3种情况下分别求出 的值。

A与B互不相容；

；

例2.一批电子元件共有100件，其中有5件

次品，现从中任取5件，求其中至少有

一件

次品的概率。概率论与数理统计第一章随机事件及其概率条件概率与乘法公式1.4概率论与数理统计第一章随机事件及其概率设Ａ、B是随机试验E的两个随机事件，且P(A)>0,则称为已知事件A发生条件下，事件B发生的条件概率。

条件概率概率论与数理统计第一章随机事件及其概率例1.某消费公司一直为某种肥皂产品做电视广告，并对该产品进行了调查。设事件A表示“某人买了该产品”B表示“某人看过该广告”C表示“某人既买了该产品又看过该广告”若P(A)=0.2,P(B)=0.4,P(C)=0.12,则某人看过广告会使他购买该产品的概率增加吗？P(A|B)=P(AB)/P(B)=P(C)/P(B)=0.12/0.4=0.3>P(A)概率论与数理统计第一章随机事件及其概率例2.设10件产品中有4件不合格品，现从中连续抽取两件产品，在有一件是不合格品的情况下，问另一件也是不合格品的概率为多少？概率论与数理统计第一章随机事件及其概率

乘法公式设A，B为任意事件，若P(A)>0，P(AB)=P(A)P(B|A)若P(B)>0，P(AB)=P(B)P(A|B)推广到n个事件的情况概率论与数理统计第一章随机事件及其概率例3.设10件产品中有4件不合格品，现从中连续抽取两次，每次1件，问第二次取得合格品的概率为多少？例4.已知某厂家的一批产品共100件，其中有5

件次品，但是采购员并不知道有几件次品，为慎重起见，他对产品进行不放回的抽样检查，如果在被他抽查的3件产品中至少有一件是次品，则他拒绝购买这一批产品，求采购员购买这批产品的概率。概率论与数理统计第一章随机事件及其概率

全概率公式设A1,A2,…,An是完备事件组，P(Ak)>0(k=1,2,…,n)，且则对于事件B,有概率论与数理统计第一章随机事件及其概率例5.某保险公司把被保险人分为三类：“安全

的”、“一般的”与“危险的”。统计资料表

明，对于上述3种人而言，在一年期间内发

生事故的概率依次为0.05、0.15与0.30。如

果在被保险人中“安全的”占15%，“一般

的”占55%，“危险的”占30%，试问：

1.任一被保险人在一年中发生事故的概

率是多少？

2.如果某被保险人在一年中发生了事故，

则他属于“危险的”一类人的概率是多

少？概率论与数理统计第一章随机事件及其概率

由此可以形象地把全概率公式看成为“由原因推结果”，每个原因对结果的发生有一定的“作用”，即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关.全概率公式表达了它们之间的关系.A1A2A3A4A5A6A7A8B诸Ai是原因B是结果概率论与数理统计第一章随机事件及其概率实际中还有下面一类问题，是“已知结果找原因”被保险人出事故危险的？一般的？安全的？概率论与数理统计第一章随机事件及其概率

贝叶斯公式设A1,A2,…,An是完备事件组，P(Ak)>0(k=1,2,…,n)，且则B已发生的条件下,Ak发生的概率为概率论与数理统计第一章随机事件及其概率例6.甲胎蛋白试验法是早期发现肝癌的一种有效手段。据统计，肝癌患者甲胎蛋白试验呈阳性反应的概率为95%，非肝癌患者甲胎蛋白试验呈阳性反应的概率为4%。已知某地人群中肝癌患者占0.4%，现在此地有一人用甲胎蛋白试验法进行检查，结果显示阳性，问这人确定是肝癌患者的概率是多少？概率论与数理统计第一章随机事件及其概率事件的独立性1.5概率论与数理统计第一章随机事件及其概率23479108615

例如，一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球，其中六个红球，四个白球，把球搅匀。1.连续两次从中任取一球，求两次都取到红球的概率。2.取一球后放回袋中再任取一球，求两次都取到红球的概率。概率论与数理统计第一章随机事件及其概率

事件独立性若两事件A、B满足P(AB)=P(A)P(B)，则称A、B相互独立。若P(A)>0，P(B)>0，A、B相互独立，则有P(A)=P(A|B)，P(B)=P(B|A)。概率为零的事件与任何事件相互独立。概率论与数理统计第一章随机事件及其概率定理：若两事件A、B独立，则证：概率论与数理统计第一章随机事件及其概率

什么关系？互不相容独立性若AB独立，则P(AB)=P(A)P(B)若AB=Φ，则P(A+B)=P(A)+P(B)概率论与数理统计第一章随机事件及其概率例1.设甲、乙两射手击中目标的概率分别

是0.7与0.8，现各射击一次，试求同时击中目标的概率。至少有一个击中目标的概率。恰有一人击中目标的概率。概率论与数理统计第一章随机事件及其概率

多个事件的独立性

对于三个事件A、B、C，若

P(AB)=P(A)P(B)

P(AC)=P