福建省宁德市福安民族中学2020年高三数学理测试题含解析

福建省宁德市福安民族中学2020年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.执行如图的程序框图，若输入k的值为3，则输出S的值为（）A．10 B．15 C．18 D．21参考答案：B【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的n，S的值，当n=5，S=15时，不满足条件S＜kn=15，退出循环，输出S的值为15，即可得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得k=3，n=1，S=1满足条件S＜kn，执行循环体，n=2，S=3满足条件S＜kn，执行循环体，n=3，S=6满足条件S＜kn，执行循环体，n=4，S=10满足条件S＜kn，执行循环体，n=5，S=15此时，不满足条件S＜kn=15，退出循环，输出S的值为15．故选：B．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题．2.，则（

）A． B． C． D．参考答案：C3.下列各组函数中，表示相等函数的是()．A．y＝与y＝B．y＝lnex与y＝elnxC．与y＝x＋3D．y＝x0与y＝参考答案：D4.函数的值域是

A．R

B．（1,2）

C．[2,+∞）D．（－,l）（2,+）参考答案：A由，得或。所以函数的值域为R,选A.5.函数f（x）＝x3+ax﹣2在区间[1，+∞）内是增函数，则实数a的取值范围是（）A．[3，+∞） B．[﹣3，+∞） C．（﹣3，+∞） D．（﹣∞，﹣3）参考答案：B由题：，求导得；，函数在区间内是增函数，则：

6.函数的大致图象是（）A. B.C. D.参考答案：D【分析】利用函数的奇偶性排除选项，利用特殊值定义点的位置判断选项即可．【详解】函数是偶函数，排除选项B，当x=2时，f（2）=＜0，对应点在第四象限，排除A，C；故选：D．【点睛】本题考查函数的图象的判断，考查数形结合以及计算能力．7.若

A．

B．

C．

D．参考答案：B因为，因为，所以，，而函数在上单调递增，所以由，即可得，即，选B.8.“”是“函数在上是单调函数”的A、充分不必要条件

B、必要不充分条件

C、充要条件

D、既不充分也不必要条件参考答案：A9.已知函数，若，且，使得.则实数的取值范围是

(

)

A．

B.

C．

D.参考答案：C略10.设函数，区间M=[a，b](a<b)，集合N={}，则使M=N成立的实数对(a，b)有

(

)(A)0个

(B)1个

(C)2个

(D)无数多个参考答案：答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在约束条件下，则的最小值是

．参考答案：【考点】简单线性规划．【专题】计算题．【分析】根据题意先做出可行域，要求的最小值，也就是（1，0）这个点到可行域的最小距离，过这个点向可行域做垂线，垂线的长度就是距离．【解答】解：由题意知，需要先画出可行域，要求的最小值，也就是（1，0）这个点到可行域的最小距离，过这个点向可行域做垂线，垂线的长度就是距离∴d=故答案为：．【点评】本题考查线性规划的问题，是一个线性规划的基础题，在解题时注意要求的距离在哪里，这是解题的关键，注意选择出来，有时不是这种特殊的位置．12.已知是上的偶函数，若将的图象向左平移一个单位后，则得到一个奇函数的图象，若，则

参考答案：13.已知A（x1，y1），B（x2，y2）是函数f（x）=的图象上的两点（可以重合），点M在直线x=上，且．则y1+y2的值为___________．参考答案：-2略14.抛物线x2=2py（p＞0）上一点A（，m）（m＞1）到抛物线准线的距离为，点A关于y轴的对称点为B，O为坐标原点，△OAB的内切圆与OA切于点E，点F为内切圆上任意一点，则的取值范围为．参考答案：【考点】直线与抛物线的位置关系；抛物线的简单性质．【分析】利用点在抛物线上，求出m，点A到准线的距离为，求出p，即可解出抛物线方程，设点F（cosθ，2+sinθ）（θ为参数），化简数量积，求解范围即可．【解答】解：因为点在抛物线上，所以，点A到准线的距离为，解得或p=6．当p=6时，，故p=6舍去，所以抛物线方程为x2=y，∴，所以△OAB是正三角形，边长为，其内切圆方程为x2+（y﹣2）2=1，如图4，∴．设点F（cosθ，2+sinθ）（θ为参数），则，∴．故答案为：．【点评】本题考查抛物线的简单性质，直线与抛物线的位置关系圆的方程的应用，考查转化思想以及计算能力．15.已知，，则cos2α＝

▲

．参考答案：16.在，AB=则BC的长度是

参考答案：答案：

17.已知在中，，，动点位于线段上，则取最小值是

．参考答案：如图，建立直角坐标系，易知，，设，，则，所有，所有当时，取最小值。点睛：本题考查平面向量在几何中的应用。本题中的三角形是确定三角形，所以利用坐标法进行解题，求解数量积，利用函数思想求最小值。平面向量的解题方法很多，但在大部分较难题型中，坐标法都可以起到突破作用。

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数

.（Ⅰ）若函数在区间其中a>0，上存在极值，求实数a的取值范围；（Ⅱ）如果当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围；（Ⅲ）求证.参考答案：解析：（Ⅰ）因为，x>0，则，（1分）

当时，；当时，.

所以在（0，1）上单调递增；在上单调递减，

所以函数在处取得极大值.

（1分）

因为函数在区间（其中）上存在极值，

所以

解得.

（2分）（Ⅱ）不等式即为

记

所以

（1分）

令，则，

（1分）

，

在上单调递增，

（1分）

，从而，

故在上也单调递增，

（1分）

所以，所以

.

（1分）（Ⅲ）又（Ⅱ）知：恒成立，即，

（1分）

令，则，

所以，

（1分）

，

，

，

（1分）

叠加得：

.

（2分）则，所以.

（1分）19.（本题满分12分）如图，矩形中，，，是中点，为上的点，且． （I）求证：； （II）求三棱锥的体积．参考答案：（I）证明：， ∴，则又，则∴解：∴，而∴

∴是中点∴是中点

∴且

∴∴中，∴

∴20.已知函数，（1）求函数的单调区间；（2）在区间内存在，使不等式成立，求的取值范围。参考答案：（Ⅰ）函数的定义域为，当，即时，为单调递增函数；当，即时，为单调递减函数；所以，的单调递增区间是，的单调递减区间是（Ⅱ）由不等式，得，令，则由题意可转化为：在区间内，，，令，得

—

0

+

递减极小值递增

由表可知：的极小值是且唯一，所以。因此，所求的取值范围是。略21.(本小题满分12分)

以椭圆：的中心为圆心，为半径的圆称为该椭圆的“准圆”.设椭圆的左顶点为，左焦点为，上顶点为，且满足，.（1）求椭圆及其“准圆”的方程；（2）若椭圆的“准圆”的一条弦（不与坐标轴垂直）与椭圆交于、两点，试证明：当时，试问弦的长是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.参考答案：详见解析【知识点】椭圆解：（1）设椭圆的左焦点，由得，又，即且，所以，

则椭圆的方程为；椭圆的“准圆”方程为．

（2）设直线的方程为，且与椭圆的交点，

联列方程组

代入消元得：

由