福建省宁德市福安第九中学高三数学理下学期期末试卷含解析

福建省宁德市福安第九中学高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.直线的倾斜角等于（

）

参考答案：C略2.在实验室进行的一项物理实验中，要先后实施个程序，其中程序只能出现在第一或最后一步，程序和在实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有A．种

B．种

C．种

D．种参考答案：C

3.对任意复数定义其中是的共轭复数，对任意复数有如下四个命题：①②；③④；则真命题的个数是（

）A．4

B．3

C．2

D．1参考答案：C解析：本题属于信息创新型题目，要求学生利用以学过的知识来解决新问题.对于①，对于②，.令，，则，则，所以③故④，故故答案为C.4.如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1、AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于（）A．

B．

C． D．参考答案：B考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题．分析：先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可．解答：解：取BC的中点G．连接GC1∥FD1，再取GC的中点H，连接HE、OH，则∠OEH为异面直线所成的角．在△OEH中，OE=，HE=，OH=．由余弦定理，可得cos∠OEH=．故选B．点评：本题主要考查了异面直线及其所成的角，以及余弦定理的应用，属于基础题5.将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位，所得函数的最小正周期为

（

）A．π

B．2π

C．4π

D．8π参考答案：C略6.圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是A．36

B.18

C.

D.参考答案：答案：C解析：圆的圆心为(2，2)，半径为3，圆心到到直线的距离为>3，圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是2R=6，选C.7.平面向量，共线的充要条件是

A.，方向相同

B.，两向量中至少有一个为零向量

C.，使得

D.存在不全为零的实数，，参考答案：D对于选项D.若，为零向量，则满足。若为非零向量，对任意的向量有，即。符合条件,所以选D.8.已知集合P={x|>0}，集合Q={x|x2+x－2≥0}，则x是x的A.是充分条件但不是必要条件

B.是必要条件但是不充分条件

C.充要条件

D.既不是充分条件又不是必要条件参考答案：D9.条件“存在实数，使得”是与共线的（

）A、充分不必要条件

B、必要不充分条件C、充要条件

D、既不充分也不必要条件参考答案：A略10.已知，，则（

）（A）

（B）或

（C）

（D）参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是

cm．参考答案：由三视图可知，该几何体试题是半个圆锥，如图底面半径为2，圆锥的高为3.圆锥的母线长为。所以底面积为，三角形,圆锥的底面弧长为，圆锥的侧面积为，所以圆锥的表面积为。12.已知等差数列的通项公式为an=3n-2，等比数列{bn}中，b1=a1,b4=a3+1.记集合A

=，B=，U—AUB，把集合U中的元素按从小到大依

次排列，构成数列{c。)，则数列{cn)的前50项和S5o=

▲

．参考答案：3321【知识点】单元综合D5根据数列{an}和数列{bn}的增长速度，数列{cn}的前50项至多在数列{an}中选50项，数列{an}的前50项所构成的集合为{1，4，7，10，…，148}，

由2n-1＜148得，n≤8，数列{bn}的前8项构成的集合为{1，2，4，8，16，32，64，128}，其中1，4，16，64是等差数列{an}中的项，2，8，32，128不是等差数列中的项，a46=136＞128，故数列{cn}的前50项应包含数列{an}的前46项和数列{bn}中的2，8，32，128这4项．所以S50=+2+8+32+128=3321【思路点拨】根据数列{an}和数列{bn}的增长速度，判断数列{cn}的前50项中包含{an}、{bn}的项的情况，再根据等差数列求和公式即可得到结果13.如图，已知正方形ABCD的边长为2，点E为AB的中点．以A为圆心，AE为半径，作弧交AD于点F．若P为劣弧上的动点，则的最小值为．参考答案：5﹣2考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：首先以A为原点，直线AB，AD分别为x，y轴，建立平面直角坐标系，可设P（cosθ，sinθ），从而可表示出，根据两角和的正弦公式即可得到=5﹣2sin（θ+φ），从而可求出的最小值．解答：解：如图，以A为原点，边AB，AD所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，则：A（0，0），C（2，2），D（0，2），设P（cosθ，sinθ）；∴?（﹣cosθ，2﹣sinθ）=（2﹣cosθ）（﹣cosθ）+（2﹣sinθ）2=5﹣2（cosθ+2sinθ）=sin（θ+φ），tanφ=；∴sin（θ+φ）=1时，取最小值．故答案为：5﹣2．点评：考查建立平面直角坐标系，利用向量的坐标解决向量问题的方法，由点的坐标求向量坐标，以及数量积的坐标运算，两角和的正弦公式．14.从2，3，4，…，8这7个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为奇数的概率是______________．参考答案：略15.半圆的直径AB＝2,O为圆心，C是半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则的最小值是________________；

参考答案：略16.根据表格中的数据，可以判定函数有一个零点所在的区间为，则的值为******．1234500.691.101.391.61参考答案：317.已知命题函数的定义域为R；命题，不等式恒成立，如果命题““为真命题，且“”为假命题，则实数的取值范围是

参考答案：【知识点】复合命题的真假．A2【答案解析】

解析：若命题为真，则或.若命题为真，因为，所以.因为对于，不等式恒成立，只需满足，解得或.命题“”为真命题，且“”为假命题，则一真一假.

①当真假时，可得；

②当时，可得.

综合①②可得的取值范围是.【思路点拨】根据对数函数的定义域，一元二次不等式的解和判别式△的关系，二次函数的最值即可求出命题p，q下的a的取值范围，根据p∨q为真，p∧q为假，即可得到p真q假和p假q真两种情况，求出每种情况下的a的取值范围，再求并集即可．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知二次函数y=f（x）的图象经过坐标原点，其导函数为f′（x）=6x﹣2．数列{an}的前n项和为Sn，点（n，Sn）（n∈N*）均在函数y=f（x）的图象上．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得对所有的（n∈N*）都成立的最小正整数m．参考答案：【考点】数列与函数的综合；数列的求和；数列递推式．【专题】综合题；转化思想；转化法；函数的性质及应用；等差数列与等比数列．【分析】（1）依题意可设二次函数f（x）=ax2+bx（a≠0），求出导数，可得a=3，b=﹣2，可得Sn=3n2﹣2n，再由数列的通项与求和关系，即可得到所求通项公式；（2）求得==（﹣），运用裂项相消求和可得Tn，再由恒成立思想即可解得m的范围，进而得到最小正整数．【解答】解：（1）依题意可设二次函数f（x）=ax2+bx（a≠0），则f′（x）=2ax+b，由f′（x）=6x﹣2，可得a=3，b=﹣2，则f（x）=3x2﹣2x点（n，Sn）（n∈N*）均在函数y=f（x）的图象上．即有Sn=3n2﹣2n，当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=3n2﹣2n﹣3（n﹣1）2+2（n﹣1）=6n﹣5；当n=1时，a1=S1=1也适合，则an=6n﹣5；（Ⅱ）由（Ⅰ）知==（﹣）故Tn=[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=（1﹣）因此，要使（1﹣）＜成立，m必须且仅需满足≤，即m≥1008，故满足要求的最小正整数m为1008．【点评】本题考查二次函数的性质，以及解析式的求法，考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的通项和前n项和的关系，考查数列的求和方法：裂项相消求和，以及不等式恒成立其它的解法，注意运用不等式的性质，属于中档题．19.已知递增的等比数列{an}和等差数列{bn}，满足，是和的等差中项，且.（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；（Ⅱ）若，求数列{cn}的前n项和Sn.参考答案：（Ⅰ）由题意知，，解得，设等比数列的公比为，∴，∴；由题意知，，则等差数列的公差,∴.（Ⅱ）∵，∴.20.（本小题满分13分）已知函数，设直线分别是曲线的两条不同的切线．（Ⅰ）若函数为奇函数，且当时有极小值为，求的值；（Ⅱ）若直线，直线与曲线切于点且交曲线于点，直线和与曲线切于点且交曲线于点，记点的横坐标分别为，求的值．参考答案：【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值.B11【答案解析】(I)(II)解析：解：（Ⅰ）∵，为奇函数，∴，即，∴b=0，∴，则，又当时有极小值为，∴

即∴

即，经检验满足题意；∴；（Ⅱ）令，由及得，∴由得，即；

将与联立化简得，∴，∴，同理，∴，，，∴【思路点拨】（1）（i）由函数为奇函数求得b，再由当x=1时f（x）有极小值为﹣4列式求出a，c的值；（ii）设（x0，y0）为曲线y=f（x）上一点，由（i）得，由此得到y=f（x）在点（x0，y0）处的切线方程结合f′（﹣1）=0，f（﹣1）=4，可知y=4是曲线y=f（x）的一条切线，且过（m，4）．再设另两条切线切点分别为（x1，y1），（x2，y2），求出直线l1和l2的方程，令y=4求得且，可知x1，x2是方程的两解，然后构造辅助函数，再利用导数求出m的取值范围；（2）令xB=x1，xC=x2，由直线l1∥l2得到两点横坐标的关系，再通过求解方程组求得点D和点A的坐标，得到（xA﹣xB），（xB﹣xC），（xC﹣xD），则答案可求．21.（12分）（2015?大观区校级四模）已知函数f（x）=ax+xlnx（a∈R）（1）若函数f（x）在区间[e，+∞）上为增函数，求a的取值范围；（2）当a=1且k∈z时，不等式k（x﹣1）＜f（x）在x∈（1，+∞）上恒成立，求k的最大值．参考答案：考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．

专题： 综合题；导数的概念及应用．分析： （1）易求f′（x）=a+1+lnx，依题意知，当x≥e时，a+1+lnx≥0恒成立，即x≥e时，a≥（﹣1﹣lnx）max，从而可得a的取值范围；（2）依题意，对任意x＞1恒成立，令则，再令h（x）=x﹣lnx﹣2（x＞1），易知h（x）在（1，+∞）上单增，从而可求得g（x）min=x0∈（3，4），而k∈z，从而可得k的最大值．解答： 解：（1）∵f（x）=ax+xlnx，∴f′（x）=a+1+lnx，又函数f（x）在区间[e，+∞）上为增函数，∴当x≥e时，a+1+lnx≥0恒成立，∴a≥（﹣1﹣lnx）max=﹣1﹣lne=﹣2，即a的取值范围为[﹣2，+∞）；

（2）当x＞1时，x﹣1＞0，故不等式k（x﹣1）＜f（x）?k＜，即对任意x＞1恒成立．令则，令h（x）=x﹣lnx﹣2（x＞1），则在（1，+∞）上单增．∵h（3）=1﹣ln3＜0，h（4）=2﹣ln4＞0，∴存在x0∈（3，4）使h（x0）=0，即当1＜x＜x0时，h（x）＜0，即g′（x）＜0，当x＞x0时，h（x）＞0，即g′（x）＞0，∴g（x）在（1，x0）上单减，在（x0，+∞）上单增．令h（x0）=x0﹣lnx0﹣2=0，即lnx0=x0﹣2，=x0∈（3，4），∴k＜g（x）min=x0且k∈Z，即kmax=3．点评： 本题考查利用导数研究函数的单调性及利用导数求闭区间上函数的最值，着