2025年北师大版高一数学下册月考试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年北师大版高一数学下册月考试卷905考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共8题，共16分)1、已知函数满足则的最小值是（）A．2B．C．3D．42、在△ABC中，BC＝2，B＝当△ABC的面积等于时，sinC＝()A.B.C.D.3、已知扇形的圆心角为半径等于20，则扇形的面积为（）A.40B.C.20D.1604、【题文】一个几何体的三视图如右图所示，则此几何体的体积是（）A.B.C.D.5、【题文】函数图像恒在x轴上方，则实数的范围为（）

A.B.C.且D.6、【题文】直线被圆所截得的弦AB的长等于A.4B.2C.D.7、执行如图所示的程序框图．当输入﹣2时；输出的y值为（）

A.﹣2B.0C.2D.±28、已知x＞y＞0，则x+的最小值是（）A.2B.3C.4D.9评卷人得分二、填空题(共8题，共16分)9、已知集合M={-1，3，-5}，N={a+2，a2-6}，M∩N={3}，则M∪N=____．10、直线与直线垂直，则＝____。11、（实）若函数在区间（0，1]上是减函数，则实数a的取值范围是____．12、如下图，它满足：（1）第n行首尾两数均为n；（2）表中的递推关系类似杨辉三角，则第n行（n≥2）第2个数是_______________.13、给出下列命题：（1）函数在定义域上是单调减函数；（2）函数是偶函数；（3）若集合且则实数的值是或（4）函数不是奇函数；（5）解析式为且值域为的函数共有9个。其中正确的命题有个。14、【题文】球的半径扩大为原来的2倍，它的体积扩大为原来的____倍。15、【题文】若一个底面边长为棱长为的正六棱柱的所有顶点都在一个平面上，则此球的体积为____．16、某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中的弧线是半径为1的四分之一个圆弧，则该几何体的表面积为______．评卷人得分三、解答题(共8题，共16分)17、用定义证明：在（-1；1）上单调递减．

18、已知函数f（x）=log（x+3）（x2-4x+3）．

（1）求f（x）的定义域．

（2）解不等式f（x）＜1．

19、在集合内任取一个元素，能使代数式的概率是多少？20、（本小题满分12分）已知集合．（1）分别求（2）已知若求实数的取值集合21、制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损，某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能出的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过万元，要求确保可能的资金亏损不超过万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元？才能使可能的盈利最大？22、【题文】(本小题14分)某民营企业生产A；B两种产品，根据市场调查和预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图1，B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2（注：利润与投资单位是万元）

（1）分别将A；B两种产品的利润表示为投资的函数，并写出它们的函数关系式.

（2）该企业已筹集到10万元；并全部投入A，B两种产品的生产，问：怎样分配这。

10万元投资，才能是企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元.

23、【题文】已知定义域为R的函数f(x)为奇函数，且满足f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1.

(1)求f(x)在[－1,0)上的解析式；

(2)求f(24)的值．24、已知等差数列{an}

前三项的和为鈭�3

前三项的积为8

．

(1)

求等差数列{an}

的通项公式；

(2)

若a2a3a1

成等比数列，求数列{|an|}

的前n

项和．评卷人得分四、作图题(共4题，共40分)25、作出下列函数图象：y=26、以下是一个用基本算法语句编写的程序；根据程序画出其相应的程序框图．

27、请画出如图几何体的三视图．

28、某潜艇为躲避反潜飞机的侦查，紧急下潜50m后，又以15km/h的速度，沿北偏东45°前行5min，又以10km/h的速度，沿北偏东60°前行8min，最后摆脱了反潜飞机的侦查．试画出潜艇整个过程的位移示意图．评卷人得分五、证明题(共3题，共27分)29、初中我们学过了正弦余弦的定义，例如sin30°=，同时也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根据如图，设计一种方案，解决问题：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，设AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面积S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．30、求证：（1）周长为21的平行四边形能够被半径为的圆面所覆盖．

（2）桌面上放有一丝线做成的线圈，它的周长是2l，不管线圈形状如何，都可以被个半径为的圆纸片所覆盖．31、已知D是锐角△ABC外接圆劣弧的中点；弦AD与边BC相交于点E，而且AB：AC=2：1，AB：EC=3：1．求：

（1）EC：CB的值；

（2）cosC的值；

（3）tan的值．评卷人得分六、综合题(共4题，共8分)32、如图1，点C将线段AB分成两部分，如果，那么称点C为线段AB的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果；那么称直线l为该图形的黄金分割线．

（1）研究小组猜想：在△ABC中；若点D为AB边上的黄金分割点（如图2），则直线CD是△ABC的黄金分割线．你认为对吗？为什么？

（2）研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交AB于点E，再过点D作直线DF∥CE，交AC于点F，连接EF（如图3），则直线EF也是△ABC的黄金分割线．请你说明理由．33、已知关于x的方程（m-2）x2+2x+1=0①

（1）若方程①有实数根；求实数m的取值范围？

（2）若A（1，0）、B（2，0），方程①所对应的函数y=（m-2）x2+2x+1的图象与线段AB只有一个交点，求实数m的取值范围？34、已知函数y1=px+q和y2=ax2+bx+c的图象交于A（1，-1）和B（3，1）两点，抛物线y2与x轴交点的横坐标为x1，x2，且|x1-x2|=2．

（1）求这两个函数的解析式；

（2）设y2与y轴交点为C，求△ABC的面积．35、已知y=ax2+bx+c（a≠0）图象与直线y=kx+4相交于A（1；m），B（4，8）两点，与x轴交于原点及点C．

（1）求直线和抛物线解析式；

（2）在x轴上方的抛物线上是否存在点D，使S△OCD=2S△OAB？如果存在，求出点D坐标，如果不存在，说明理由．参考答案一、选择题(共8题，共16分)1、B【分析】因为以代x，得到方程联立方程组得到f(x)，然后结合函数的性质可知f(x)的最小值为2选B【解析】【答案】B2、B【分析】试题分析：三角形面积为：sinB·BC·BA=×2×AB=∴AB=1,由余弦定理可知：AC=∴由正弦定理可知∴故选B．考点：1．正弦定理；2．余弦定理．【解析】【答案】B3、B【分析】由扇形面积公式故选B【解析】【答案】B4、B【分析】【解析】略【解析】【答案】B5、A【分析】【解析】略【解析】【答案】A6、C【分析】【解析】略【解析】【答案】C7、C【分析】【解答】解：模拟程序框图的运行过程；如下；

x=﹣2；x≥0，否；

y=﹣（﹣2）=2；

输出y的值为2．

故选：C．

【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出输出的结果．8、B【分析】【解答】解：∵x＞y＞0；

∴x+=x﹣y++y≥3•=3；

当且仅当x=2；y=1时取等号；

故x+的最小值是3；

故选：B．

【分析】由x+=x﹣y++y，利用基本不等式的性质求解即可．二、填空题(共8题，共16分)9、略

【分析】

∵集合M={-1，3，-5}，N={a+2，a2-6}；M∩N={3}；

∴a+2=3或a2-6=3；

解得：a=1（不合题意舍去）或a=3或a=-3（不合题意舍去）；

∴N={3；5}；

则M∪N={-5；-1，3，5}．

故答案为：{-5；-1，3，5}

【解析】【答案】由两集合的交集中的元素为3；得到3为N中的元素，列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，确定出N，找出既属于M又属于N的元素，即可求出两集合的并集．

10、略

【分析】【解析】试题分析：直线与直线垂直，所以系数满足关系式考点：两直线垂直的判定【解析】【答案】0或211、略

【分析】

显然a≠0；

求导函数可得：

∵函数在区间（0；1]上是减函数；

∴在区间（0；1]上恒成立。

∴

∴a≤0或1＜a≤3

∵a≠0

∴实数a的取值范围是（-∞；0）∪（1，3]

故答案为：（-∞；0）∪（1，3]

【解析】【答案】先求导函数，由函数在区间（0；1]上是减函数，可得导函数小于等于0在区间（0，1]上恒成立，从而可求实数a的取值范围．

12、略

【分析】【解析】试题分析：依据“中间的数从第三行起，每一个数等于它两肩上的数之和”则第二个数等于上一行第一个数与第二个数的和，即有an+1=an+n（n≥2）；再由累加法求解即可【解析】

依题意an+1=an+n（n≥2），a2=2，所以a3-a2=2，a4-a3=3，，an-an-1=n，累加得an-a2=2+3++（n-1）=故可知第n行（n≥2）第2个数是考点：数列的通项【解析】【答案】13、略

【分析】对于（1）函数在及分别单调递减，但是不能说在定义域上单调递减，（1）不正确；对于（2）由题意∴函数的定义域不关于原点对称，即函数f（x）为非奇非偶函数，故（2）不正确；对于（3）当a=1时，不符合集合的互异性，故命题（3）不正确；对于（4）由题意的定义域为R，∵即函数f（x）为奇函数，故命题（4）不正确；对于（5）解析式为且值域为的函数定义域分别有共9种情况，所以符合题意的函数有9个，故命题(5)正确。所以正确的命题只有1个【解析】【答案】114、略

【分析】【解析】本题考查球的体积公式。

球的体积公式是

假设原来球的半径是那么原来球的体积是

当半径扩大为原来的2倍，即为

那么扩大的球的体积是

可得所以体积扩大为原来的8倍【解析】【答案】815、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】16、略

【分析】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的柱体；

底面面积为：1×1-=1-

底面周长为：1+1+

柱体的高为1；

故该几何体的表面积S=2×（1-）+（1+1+）×1=4；

故答案为：4．

由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的柱体；代入柱体表面积公式，可得答案．

本题考查的知识点是棱柱的体积和表面积，圆柱的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度中档．【解析】4三、解答题(共8题，共16分)17、略

【分析】

在（-1，1）上任取两实数x1，x2，且x1＜x2；

则f（x1）-f（x2）==

因为-1＜x1＜x2＜1，所以-1＜x1•x2＜1，x1•x2+1＞0；

x2-x1＞0，x1+1＞0，x1-1＜0，x2+1＞0，x2-1＜0；

所以f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）；

所以在（-1；1）上单调递减．

【解析】【答案】用单调性的定义证明步骤：（1）取值；（2）作差，（3）化简，（4）判号，（5）得结论．

18、略

【分析】

（1）根据对数定义，知即

所以函数定义域为{x|-3＜x＜1且x≠-2；或x＞3}．

（2）由原等式可得，log（x+3）（x2-4x+3）＜log（x+3）（x+3）

或

解可得；-3＜x＜-2，或0＜x＜1，或3＜x＜5

所以不等式的解集为{x|-3＜x＜-2；或0＜x＜1，或3＜x＜5}．

【解析】【答案】（1）根据对数定义，知解不等式可求。

（2）由原等式可得，log（x+3）（x2-4x+3）＜log（x+3）（x+3）；根据对数函数的单调性，对x+3＞1，x+3＜1进行讨论解不等式即可。

19、略

【分析】【解析】试题分析：如图，集合为矩形内（包括边界）的点的集合，上方（包括直线）所有点的集合，所以所求概率．考点：本题主要考查几何概型概率计算，集合的概念。【解析】【答案】．20、略

【分析】(1)先求出然后再根据交并补的定义求出(2)因为所以从而得到a的取值范围.（1）或3分或或或6分（2）如图示（数轴略）10分解之得12分（没有取等于得10分）【解析】【答案】（1）或或（2）21、略

【分析】

设分别向甲、乙两项目投资万元，万元，盈利万元1分由题意知5目标函数6分作出可行域如图所示，8分作直线并作平行于直线的一组直线与可行域相交，当经过可行域上的M点时，取得最大值解方程组得10分此时∴当时z取得最大值7。12分答：投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大。【解析】本题考查线性规划的应用问题，利用不等式的性质求最值问题，考查对信息的提炼和处理能力．设投资人对甲、乙两个项目各投资x和y万元，列出x和y的不等关系x+y≤10，3x+y≤18及目标函数z=x+0.5y．利用线性规划或不等式的性质求最值即可．【解析】【答案】22、略

【分析】【解析】(1)投资为万元，A产品的利润为万元，B产品的利润为万元；

由题设==由图知据此可得k1,k2的值；确定f(x),g(x)的解析式.

（2）设A产品投入万元，则B产品投入10-万元；设企业的利润为y万元。

Y=+=（），然后采用换元法转化为二次函数问题来解决，具体做法：令【解析】【答案】（1）投资为万元，A产品的利润为万元，B产品的利润为万元；

由题设==由图知又

从而==6分。

（2）设A产品投入万元，则B产品投入10-万元；设企业的利润为y万元。

Y=+=（）；

令

当此时=3.75

当A产品投入3.75万元；B产品投入6.25万元时；

企业获得最大利润为万元.14分23、略

【分析】【解析】解：(1)令x∈[－1,0)；则－x∈(0,1]；

∴f(－x)＝2－x－1.

又∵f(x)是奇函数；∴f(－x)＝－f(x)．

∴－f(x)＝f(－x)＝2－x－1.

∴f(x)＝－()x＋1.

(2)∵f(x＋2)＝－f(x)；

∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．

∴f(x)是以4为周期的周期函数．

∵24＝－log224∈(－5；－4)；

∴24＋4∈(－1,0)．

∴f(24)＝f24＋4)＝－()24＋4＋1＝－24×＋1＝－【解析】【答案】（1）f(x)＝－()x＋1

（2）－24、略

【分析】

(I)

设等差数列的公差为d

由题意可得，{1(a1+d)(a1+2d)=83a1+3d=鈭�3

解方程可求a1d

进而可求通项。

(II)

由(I)

的通项可求满足条件a2a3a1

成等比的通项为an=3n鈭�7

则|an|=|3n鈭�7|={3n鈭�7,n鈮�3鈭�3n+7,n=1,2

根据等差数列的求和公式可求前n

项和。

本题主要考查了利用等差数列的基本量表示等差数列的通项，等差数列与等比数列的通项公式的综合应用及等差数列的求和公式的应用，要注意分类讨论思想的应用【解析】解：(I)

设等差数列的公差为d

则a2=a1+da3=a1+2d

由题意可得，{1(a1+d)(a1+2d)=83a1+3d=鈭�3

解得{d=鈭�3a1=2

或{d=3a1=鈭�4

由等差数列的通项公式可得；an=2鈭�3(n鈭�1)=鈭�3n+5

或an=鈭�4+3(n鈭�1)=3n鈭�7

(II)

当an=鈭�3n+5

时；a2a3a1

分别为鈭�1鈭�42

不成等比。

当an=3n鈭�7

时；a2a3a1

分别为鈭�12鈭�4

成等比数列，满足条件。

故|an|=|3n鈭�7|={3n鈭�7,n鈮�3鈭�3n+7,n=1,2

设数列{|an|}

的前n

项和为Sn

当n=1

时；S1=4

当n=2

时，S2=5

当n鈮�3

时；Sn=|a1|+|a2|++|an|=5+(3隆脕3鈭�7)+(3隆脕4鈭�7)++(3n鈭�7)

=5+(n鈭�2)[2+(3n鈭�7)]2=3n2鈭�11n+202

当n=2

时，满足此式。

综上可得sn={4,n=132n2鈭�112n+10,n>1

四、作图题(共4题，共40分)25、【解答】幂函数y={#mathml#}x32

{#/mathml#}的定义域是[0；+∞），图象在第一象限，过原点且单调递增，如图所示；

【分析】【分析】根据幂函数的图象与性质，分别画出题目中的函数图象即可．26、解：程序框图如下：

【分析】【分析】根据题目中的程序语言，得出该程序是顺序结构，利用构成程序框的图形符号及其作用，即可画出流程图．27、解：如图所示：

【分析】【分析】由几何体是圆柱上面放一个圆锥，从正面，左面，上面看几何体分别得到的图形分别是长方形上边加一个三角形，长方形上边加一个三角形，圆加一点．28、解：由题意作示意图如下；

【分析】【分析】由题意作示意图。五、证明题(共3题，共27分)29、略

【分析】【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E；根据正弦的定义可以表示出CE的长度，然后利用三角形的面积公式列式即可得解；

（2）根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根据正弦与余弦的定义分别把BD、AD、CD，AB，AC转化为三角形函数，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）过点C作CE⊥AB于点E；

则CE=AC•sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB•CE=c•bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根据题意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB•ACsin（α+β）=BD•AD+CD•AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．30、略

【分析】【分析】（1）关键在于圆心位置；考虑到平行四边形是中心对称图形，可让覆盖圆圆心与平行四边形对角线交点叠合．

（2）“曲“化“直“．对比（1），应取均分线圈的二点连线段中点作为覆盖圆圆心．【解析】【解答】

证明：（1）如图1；设ABCD的周长为2l，BD≤AC，AC；BD交于O，P为周界上任意一点，不妨设在AB上；

则∠1≤∠2≤∠3，有OP≤OA．又AC＜AB+BC=l，故OA＜．

因此周长为2l的平行四边形ABCD可被以O为圆心；半径为的圆所覆盖；命题得证．

（2）如图2，在线圈上分别取点R，Q，使R、Q将线圈分成等长两段，每段各长l．又设RQ中点为G，M为线圈上任意一点，连MR、MQ，则GM≤（MR+MQ）≤（MmR+MnQ）=

因此，以G为圆心，长为半径的圆纸片可以覆盖住整个线圈．31、略

【分析】【分析】（1）求出∠BAD=∠CAD，根据角平分线性质推出=；代入求出即可；

（2）作BF⊥AC于F；求出AB=BC，根据等腰三角形性质求出AF=CF，根据三角函数的定义求出即可；

（3）BF过圆心O，作OM⊥BC于M，求出BF，根据锐角三角函数的定义求出即可．【解析】【解答】解：（1）∵弧BD=弧DC；

∴∠BAD=∠CAD；

∴；

∴．

答：EC：CB的值是．

（2）作BF⊥AC于F；

∵=，=；

∴BA=BC；

∴F为AC中点；

∴cosC==．

答：cosC的值是．

（3）BF过圆心O；作OM⊥BC于M；

由勾股定理得：BF==CF；

∴tan．

答：tan的值是．六、综合题(共4题，共8分)32、略

【分析】【分析】（1）设△ABC的边AB上的高为h，由三角形的面积公式即可得出=，=，再由点D为边AB的黄金分割点可得出=；故可得出结论；

（2）由DF∥CE可知△DEC和△FCE的公共边CE上的高也相等，故S△DEC=S△FCE，设直线EF与CD交于点G，由同底等高的三角形的面积相等可知S△DEG=S△FEG，故可得出S△ADC=S四边形AFGD+S△FCG=S△AEF，再由S△BDC=S四边形BEFC，再由=可知=，故直线EF也是△ABC的黄金分割线．【解析】【解答】解：（1）直线CD是△ABC的黄金分割线．理由如下：

设△ABC的边AB上的高为h．

∵S△ADC=AD•h，S△BDC=BD•h，S△ABC=AB•h；

∴=，=；

又∵点D为边AB的黄金分割点；

∴=；

∴=；

∴直线CD是△ABC的黄金分割线；

（2）∵DF∥CE；

∴△DEC和△FCE的公共边CE上的高也相等；

∴S△DEC=S△FCE；

设直线EF与CD交于点G；

∴S△DEG=S△FCG；

∴S△ADC=S四边形AFGD+S△FCG=S四边形AFGD+S△DGE=S△AEF；

S△BDC=S四边形BEFC；．

又∵=；

∴=；

∴直线EF也是△ABC的黄金分割线．33、略

【分析】【分析】（1）根据若方程为一元一次方程；求出m的值即可，再根据若方程为一元二次方程，利用根的判别式求出即可；

（2）分别从当m-2=0，以及当m-2≠0时分析，得出若方程有两个不等的实根，以及若方程有两个相等的实根，利用根的判别式以及方程的根得出答案．【解析】【解答】解：（1）若方程为一元一次方程；则m-2=0，即m=2；

若方程为一元二次方程；则m-2≠0；

∵关于x的方程（m-2）x2+2x+1=0有实数根；

又∵a=m-2，b=2；c=1；

∴b2-4ac=22-4（m-2）≥0；

解得：m≤3；

∵m-2≠0；

∴m≠2；

∴m≤3且m≠2；

综上所述；m≤3；

（2）设方程①所对应的函数记为y=f（x）=（m-2）x2+2x+1；

①当m-2=0，即m=2时，y=f（x）=（m-2）x2+2x+1；

即为y=2x+1；

y=0，x=-；即此时函数y=2x+1的图象与线段AB没有交点；

②当m-2≠0；即m≠2，函数为二次函数，依题意有；

a．若方程有两个不等的实根；

此时二次函数与x轴两个交点，根据函数y=（m-2）x2+2x+1的图象与线段AB只有一个交点；

得出x=1和2时对应y的值异号；

则f（