2025年北师大版高二数学上册阶段测试试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年北师大版高二数学上册阶段测试试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共8题，共16分)1、已知数列满足且前n项和为则满足不等式的最小整数n是（）A.5B.6C.7D.82、若展开式的二项式系数之和为64；则展开式共有多少项？（）

A.5

B.6

C.7

D.64

3、已知函数f（x）的定义域为其导函数f＇（x）的图象如图所示，则对于任意下列结论正确的是()①恒成立；②③④>⑤<．A.①③B.①③④C.②④D.②⑤4、已知椭圆A是椭圆长轴的一个端点,B是椭圆短轴的一个端点,F为椭圆的一个焦点.若则该椭圆的离心率为（）A.B.C.D.5、不等式x+3y-1<0表示的平面区域在直线x+3y-1=0的（）A.右上方B.右下方C.左下方D.左上方6、设M={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，由M到M上的一一映射中，有7个数字和自身对应的映射个数是（）A.120B.240C.107D.3607、一个正方体的顶点都在球面上，此球与正方体的表面积之比是（）A.B.C.D.π8、关于函数f(x)=x3鈭�3x2+6x

的单调性是(

)

A.增函数B.先增后减C.先减后增D.减函数评卷人得分二、填空题(共8题，共16分)9、已知等差数列{an}的首项a1及公差d都是实数，且满足则d的取值范围是____．10、集合A={},B={x},且AB，实数k的取值范围是____。11、下列图形中，不一定是平面图形的是________．(填序号)①三角形；②菱形；③梯形；④四边相等的四边形.12、【题文】在等差数列中，已知=____13、【题文】在空间直角坐标系O-xyz中，（其中i；j、k分别为X轴、y轴、z轴正方向上的单位向量).有下列命题：

①若且则的最小值为

②设若向量与k共线且则动点P的轨迹是抛物线；

③若则平面MQR内的任意一点A(x,y，z)的坐标必然满足关系式

④设若向量与j共线且则动点P的轨迹是双曲线的一部分.其中你认为正确的所有命题的序号为._______14、【题文】若直线y=2与曲线有两个交点，则的取值范围是____15、点P（-1，3）关于直线x-y=0的对称点Q的坐标为______．16、已知a+b+c=0，则ab+bc+ca的值______0．（选填“＞，＜，≥，≤”）．评卷人得分三、作图题(共6题，共12分)17、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

18、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）19、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）20、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

21、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）22、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、解答题(共2题，共16分)23、（本小题满分10分）已知函数求：（I）函数处的切线方程；（II）函数的单调区间。24、设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c且A=60°，c=3b求：

（1）的值。

（2）值．

评卷人得分五、计算题(共1题，共6分)25、如图，正三角形ABC的边长为2，M是BC边上的中点，P是AC边上的一个动点，求PB+PM的最小值．参考答案一、选择题(共8题，共16分)1、C【分析】试题分析：所以数列是首项为公比为的等比数列.所以则所以则即因为且在上是增函数,所以满足的最小整数为7.故C正确.考点：1构造法求数列的通项公式;2等比数列的定义,前项和.【解析】【答案】C2、C【分析】

展开式的二项式系数之和为64；

即2n=64；

所以n=6；

展开式的二项式系数之和为64；则展开式共有7项．

故选C．

【解析】【答案】利用二项式定理系数的性质；求出n的值，即可得到展开式的项数．

3、D【分析】【解析】试题分析：由导函数的图象可知，导函数f′（x）的图象在x轴下方，即f′（x）＜0，故原函数为减函数，并且是递减的速度是先快后慢，所以函数的图像称下凸形状。f（x）＜0恒成立，没有依据，故①不正确；②表示（x1-x2）与[f（x1）-f（x2）]异号，即f（x）为减函数．故②正确；③表示（x1-x2）与[f（x1）-f（x2）]同号，即f（x）为增函数．故③不正确，④⑤左边边的式子意义为x1，x2中点对应的函数值，右边式子代表的是函数值得平均值，因为图像为下凸的，显然有左边小于右边，故④不正确，⑤正确，综上，正确的结论为②⑤．故选D．考点：利用导数研究函数的单调性；导数的几何意义。【解析】【答案】D4、B【分析】【分析】因为所以由射影定理得b2=ac，所以a2-c2=ac即1-e2=e，因为0<1所以5、C【分析】【解答】取坐标原点；可知原点在直线x+3y-1=0的左下方。

∵（0；0)代入，使得x+3y-1＜0

∴不等式x+3y-1<0表示的平面区域在直线x+2y-1=0的左下方；故选C。．

【分析】通常以直线定界，特殊点定区域，属于基础题。6、B【分析】解：∵M={1；2，3，4，5，6，7，8，9，10}有10个元素；

则由M到M上的一一映射中，有7个数字和自身对应的映射个数是•2=240种；

故选：B

有7个数字和自身对应；要先从10个数字中选取7个，然后让剩余的三个数字均不能与自身对应，进而可得答案．

本题考查了映射的概念，考查了排列组合公式，是基础的概念题【解析】【答案】B7、C【分析】解：设正方体的棱长是a，正方体的对角线的长为：a；

它的顶点都在球面上；正方体的对角线的长度，就是外接球的直径；

这个球的表面积是：4πR2=4π×（a）2=3πa2．

又正方体的表面积是6a2；

∴球与正方体的表面积之比是=．

故选C．

通过正方体的体积；求出正方体的对角线的长度，就是外接球的直径，然后求出球的表面积，最后求出它们的表面积之比．

本题考查球内接多面体的应用，球的体积和表面积的求法，考查计算能力．【解析】【答案】C8、A【分析】解：函数的导数为f隆盲(x)=3x2鈭�6x+6=3(x2鈭�2x+2)=3(x鈭�1)2+3>0

恒成立；

即函数f(x)

在定义域上为增函数；

故选：A

．

求函数的导数；利用函数单调性和导数之间的关系进行判断即可．

本题主要考查函数单调性的判断，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．【解析】A

二、填空题(共8题，共16分)9、略

【分析】

∵由等差数列的前n项公式得（2a1+d）（2a1+3d）+（a1+d）2=-2；

展开并化简整理得5a12+10a1d+4d2+2=0，将此式看作关于a1的一元二次方程；d为系数．

∵a1、d为实数，∴△=100d2-4×5×（4d2+2）≥0．化简整理得d2-2≥0；

∴d∈（-∞，-]∪[+∞）

故答案为：（-∞，-]∪[+∞）

【解析】【答案】首先根据等差数列的前n项和公式化简得（2a1+d）（2a1+3d）+（a1+d）2=-2，将此式看作关于a1的一元二次方程；利用△≥0去求d的取值范围．

10、略

【分析】【解析】试题分析：因为AB，且所以考点：集合关系中的参数取值问题．【解析】【答案】11、略

【分析】试题分析：①三角形根据不在同一条直线的三点确定一个平面；②菱形与③梯形根据两条平行线确定一个平面和一条直线上有两个点在一个平面内则这条直线也在这个平面内；④四边相等的四边形，可举反例把一个菱形沿其对角线折叠.考点：公理1，公理3及推论【解析】【答案】④12、略

【分析】【解析】

试题分析：根据题意，在等差数列中，已知构成等差数列，那么根据等差数列的性质可知，故可知=876；故答案为876。

考点：等差数列。

点评：解决的关键是理解等差数列的求和公式的运用，等差数列的性质的综合运用，属于基础题。【解析】【答案】87613、略

【分析】【解析】本题考查空间几何与平面向量的交汇。在①中正实数于是。

在2中向量与k共线且知道并且点P到Q的距离（也就是Q所在直线距离）与P到点O距离相等，定义知P即是在yoz平面表示以定点O为焦点，定直线Q所在直线为准线的抛物线，故正确；在3中平面MQR在坐标面xoy、yoz、zox平面上的直线分别是故正确；在4中向量与j共线及点P在XOY坐标平面，得出点N在X轴上，点M在YOZ坐标平面的直线Z=1上且与点P的y坐标等，再坐标化可以知道故正确【解析】【答案】23414、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】15、略

【分析】解：设M（-1，3）关于直线y=x的对称点为M0（x0，y0）；

则MM0的中点为（）；

则（）在直线y=x上；

∴=①

再由直线MM0与直线y=x垂直，得=-1②

联立①②解得：x0=3，y0=-1．

∴点P（-1；3）关于直线y=x的对称点的坐标是（3，-1）．

故答案为：（3；-1）．

设出M（-1，3）关于直线y=x的对称点的坐标M0（x0，y0）；由两点的中点在直线y=x上，且两点连线与直线y=x垂直联立方程组得答案．

本题考查了点关于点的对称点的求法，体现了数学转化思想方法，属中档题．【解析】（3，-1）16、略

【分析】解：因为a+b+c=0；

所以（a+b+c）2=0．

展开得ab+bc+ca=-

所以ab+bc+ca≤0．

故答案为：≤．

先把a+b+c=0两边分别平方，得：（a+b+c）2=0；然后展开移项即可得到答案．

此题主要考查综合法，有一定的灵活性，计算量小属于基础题目．【解析】≤三、作图题(共6题，共12分)17、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

18、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．19、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．20、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

21、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．22、解：画三棱锥可分三步完成。

第一步：画底面﹣﹣画一个三角形；

第二步：确定顶点﹣﹣在底面外任一点；

第三步：画侧棱﹣﹣连接顶点与底面三角形各顶点．

画四棱可分三步完成。

第一步：画一个四棱锥；

第二步：在四棱锥一条侧棱上取一点；从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段；

第三步：将多余线段擦去．

【分析】【分析】画三棱锥和画四棱台都是需要先画底面，再确定平面外一点连接这点与底面上的顶点，得到锥体，在画四棱台时，在四棱锥一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段，将多余线段擦去，得到图形．四、解答题(共2题，共16分)23、略

【分析】

（Ⅰ）∴2分∴函数的图象在处的切线的斜率4分因为所以切点为（0，1），故