2025年北师大版高二数学下册阶段测试试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年北师大版高二数学下册阶段测试试卷773考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共7题，共14分)1、某校共有学生名，各年级男、女生人数如下表．已知在全校学生中随机抽取名，抽到二年级女生的概率是．现用分层抽样的方法在全校抽取名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（）A．B．C．D．2、【题文】在△ABC中，c＝则bcosA＋acosB等于()A.1B.C.2D.43、【题文】已知等比数列{an},a4=7,a6=21,则a8等于（）A.35B.63C.21D.±214、5位老师去听同时上的4节课，每位老师可以任选其中的一节课，不同的听法有（）A.54B.5×4×3×2C.45D.4×3×2×15、首项为-24的等差数列从第10项起开始为正数，则公差d的取值范围是（）A.B.C.D.6、如图，当σ取三个不同的值σ1，σ2，σ3的三种正态曲线N（0，σ2）的图象，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是（）A.σ1＞1＞σ2＞σ3＞0B.0＜σ1＜σ2＜1＜σ3C.σ1＞σ2＞1＞σ3＞0D.0＜σ1＜σ2=1＜σ37、下列每对向量垂直的有(

)

对。

(1)(3,4,0)(0,0,5)

(2)(3,1,3)(1,0,鈭�1)

(3)(鈭�2,1,3)(6,鈭�5,7)

(4)(6,0,12)(6,鈭�5,7)

A.1

B.2

C.3

D.4

评卷人得分二、填空题(共5题，共10分)8、曲线在点（1，1）处的切线方程为；9、已知数列满足则____10、【题文】在△ABC中，＝c，＝b.若点D满足＝2则＝________．(用b、c表示)11、【题文】下面的程序运行后第三个输出的数是________

i＝1x＝1

Do

输出x

i＝i＋1

x＝x＋

LoopWhilei≤512、直线l1的斜率为2，l1∥l2，直线l2过点（﹣1，1）且与y轴交于点P，则P点坐标为____评卷人得分三、作图题(共8题，共16分)13、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

14、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）15、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）16、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

17、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）18、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）19、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、解答题(共1题，共2分)20、（本小题满分15分）已知函数（Ⅰ）求函数的极值；（Ⅱ）对于曲线上的不同两点如果存在曲线上的点且使得曲线在点处的切线∥则称为弦的伴随切线。特别地，当时，又称为的λ——伴随切线。（ⅰ）求证：曲线的任意一条弦均有伴随切线，并且伴随切线是唯一的；（ⅱ）是否存在曲线C，使得曲线C的任意一条弦均有伴随切线？若存在，给出一条这样的曲线，并证明你的结论；若不存在，说明理由。评卷人得分五、计算题(共4题，共8分)21、如图，正三角形ABC的边长为2，M是BC边上的中点，P是AC边上的一个动点，求PB+PM的最小值．22、如图，正三角形ABC的边长为2，M是BC边上的中点，P是AC边上的一个动点，求PB+PM的最小值．23、1.（本小题满分12分）分别是椭圆的左右焦点,直线与C相交于A,B两点（1）直线斜率为1且过点若成等差数列，求值（2）若直线且求值.24、求证：ac+bd≤•．参考答案一、选择题(共7题，共14分)1、B【分析】【解析】

依题意我们知道二年级的女生有380人，那么三年级的学生的人数应该是500，即总体中各个年级的人数比例为3：3：2，故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为64×2/8=16．故选B【解析】【答案】B2、C【分析】【解析】本题考查余弦定理的应用.

根据余弦定理得：

故选C【解析】【答案】C3、B【分析】【解析】∵a6=a4q2,

∴q2==3.∴a8=a6q2=21×3=63.【解析】【答案】B4、C【分析】【解答】解：5位老师去听同时上的4节课，每位老师都有4种选择，故不同的听法有45；故选C．

【分析】5位老师去听同时上的4节课，每位老师都有4种选择，利用乘法原理可得结论．5、D【分析】【分析】首项为的等差数列的通项公式为=24+（n-1)d，它从第项起开始为正数，所以解得故选D。

【点评】具有一定综合性，重在理解等差数列的概念及通项公式，细心解不等式组。6、D【分析】解：由正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；可知：

当0＜σ＜1时，它与y轴交点的纵坐标大于f（0）=

当σ＞1时，它与y轴交点的纵坐标小于f（0）．结合图象可知选D．

故选：D．

由正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；可得结论．

本题考查正态曲线的性质，比较基础．【解析】【答案】D7、B【分析】解：在(1)

中；(3,4,0)?(0,0,5)=0

故向量(3,4,0)

和向量(0,0,5)

垂直，故(1)

成立；

在(2)

中；(3,1,3)?(1,0,鈭�1)=0

故向量(3,1,3)

和向量(1,0,鈭�1)

垂直，故(2)

成立；

在(3)

中；(鈭�2,1,3)?(6,鈭�5,7)=鈭�12鈭�5+21=4

故向量(鈭�2,1,3)

和向量(6,鈭�5,7)

不垂直，故(3)

不成立；

在(4)

中；(6,0,12)?(6,鈭�5,7)=36+0+84=120

故向量(6,0,12)

和向量(6,鈭�5,7)

不垂直，故(4)

不成立．

故选：B

．

利用a鈫�鈰�b鈫�=0?a鈫�隆脥b鈫�

直接求解．

本小题主要考查空间向量等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查函数与方程思想等，是基础题．【解析】B

二、填空题(共5题，共10分)8、略

【分析】试题分析：将点代入曲线方程成立，则点即为切点。因为由导数的几何意义可知所求切线的斜率为所以所求切线方程为即考点：1导数的几何意义；2直线方程。【解析】【答案】9、略

【分析】因为得到验证当n=1也适合上式。【解析】【答案】10、略

【分析】【解析】因为＝2所以－＝2(－)，即3＝＋2＝c＋2b，故＝b＋c.【解析】【答案】b＋c11、略

【分析】【解析】输出第一个数为1,输出第二个数为输出第三个数为2.【解析】【答案】212、（0，3）【分析】【解答】解：因为直线l1的斜率为2，l1∥l2；

所以直线l2的斜率也等于2；

又直线l2过点（﹣1；1）；

所以直线l2的方程为y﹣1=2×（x+1）；

即y=2x+3；取x=0；

得到直线l2与y轴交于点P为（0；3）．

故答案为：（0；3）．

【分析】由两直线l1∥l2，它们的斜率相等得到直线l2的斜率，又l2过点（﹣1，1），写出l2的点斜式方程，取x=0可得y=3，所以P点坐标可求．三、作图题(共8题，共16分)13、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

14、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．15、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．16、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

17、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．18、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．19、解：画三棱锥可分三步完成。

第一步：画底面﹣﹣画一个三角形；

第二步：确定顶点﹣﹣在底面外任一点；

第三步：画侧棱﹣﹣连接顶点与底面三角形各顶点．

画四棱可分三步完成。

第一步：画一个四棱锥；

第二步：在四棱锥一条侧棱上取一点；从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段；

第三步：将多余线段擦去．

【分析】【分析】画三棱锥和画四棱台都是需要先画底面，再确定平面外一点连接这点与底面上的顶点，得到锥体，在画四棱台时，在四棱锥一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段，将多余线段擦去，得到图形．四、解答题(共1题，共2分)20、略

【分析】（Ⅰ）当函数在内是增函数，∴函数没有极值。当时，令得当变化时，与变化情况如下表：。＋0－单调递增极大值单调递减∴当时，取得极大值综上，当时，没有极值；当时，的极大值为没有极小值。（Ⅱ）（ⅰ）设是曲线上的任意两点，要证明有伴随切线，只需证明存在点使得且点不在上。∵即证存在使得即成立，且点不在上。8分以下证明方程在内有解。记则令∴∴在内是减函数，∴取则即9分同理可证∴∴函数在内有零点。即方程在内有解又对于函数取则可知即点Q不在上。是增函数，∴的零点是唯一的，即方程在内有唯一解。综上，曲线上任意一条弦均有伴随切线，并且伴随切线是唯一的。（ⅱ）取曲线C：则曲线的任意一条弦均有伴随切线。证明如下：设是曲线C上任意两点则又即曲线C：的任意一条弦均有伴随切线。注：只要考生给出一条满足条件的曲线，并给出正确证明，均给满分。若只给曲线，没有给出正确的证明，请酌情给分。解法二：（Ⅰ）同解法一。（Ⅱ）（ⅰ）设是曲线上的任意两点，要证明有伴随切线，只需证明存在点使得且点不在上。∵即证存在使得即成立，且点不在上。8分以下证明方程在内有解。设则记∴∴在内是增函数，∴同理∴方程在内有解又对于函数∵可知即点Q不在上。又在内是增函数，∴方程在内有唯一解。综上，曲线上任意一条弦均有伴随切线，并且伴随切线是唯一的。（ⅱ）同解法一。【解析】【答案】（Ⅰ）当时，没有极值；当时，的极大值为没有极小值。（Ⅱ）见解析五、计算题(共4题，共8分)21、略

【分析】【分析】作点B关于AC的对称点E，连接EP、EB、EM、EC，则PB+PM=PE+PM，因此EM的长就是PB+PM的最小值．【解析】【解答】解：如图；作点B关于AC的对称点E，连接EP；EB、EM、EC；

则PB+PM=PE+PM；

因此EM的长就是PB+PM的最小