2024-2025学年高中数学第三章基本初等函数Ⅰ3.1.2指数函数第1课时指数函数学案新人教B版必修1

PAGEPAGE1第1课时指数函数1．了解指数函数模型的实际背景．2．理解指数函数的概念及单调性．3．驾驭定义域、值域的求法及比较大小问题．1．指数函数的定义函数y＝ax(a>0且a≠1，x∈R)叫做指数函数，其中x是自变量，a为常数．2．指数函数的图象和性质a>10<a<1图象性质定义域R值域(0，＋∞)过定点过点(0，1)，即x＝0时，y＝1单调性是R上的增函数是R上的减函数1．函数y＝ax－1＋2017(a>0且a≠1)中，无论a取何值恒经过一个定点，则这个定点的坐标为________．答案：(1，2018)2．指数函数y＝ax与y＝(eq\f(1,a))x的图象关于________对称．解析：关于y轴对称．答案：y轴3．指出下列函数中，哪些是指数函数．(1)y＝(－4)x；(2)y＝x4；(3)y＝(a2＋2)－x；(4)y＝2·3x＋a(a≠0);(5)y＝4x2．解：(1)y＝(－4)x，底数－4<0，故它不是指数函数；(2)y＝x4，指数为4而不是x，故它不是指数函数；(3)y＝(a2＋2)－x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a2＋2)))eq\s\up12(x)，底数eq\f(1,a2＋2)∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，前面系数为1，指数为自变量x，故它是指数函数；(4)y＝2·3x＋a(a≠0)，3x前面系数为2≠1，故它不是指数函数；(5)y＝4x2，底数是自变量，且前面系数为4，故它不是指数函数．指数函数的定义下列函数中，哪些是指数函数？①y＝(－8)x；②y＝2x2－1；③y＝ax；④y＝(2a－1)xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a>\f(1,2)，且a≠1))；⑤y＝2×3x．【解】①中底数－8<0，所以不是指数函数．②中指数不是自变量x，而是x的函数，所以不是指数函数．③中底数a，只有规定a>0且a≠1时，才是指数函数；④因为a＞eq\f(1,2)且a≠1，所以2a－1＞0且2a－1≠1，所以y＝(2a－1)xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＞\f(1,2)，且a≠1))为指数函数．⑤中3x前的系数是2，而不是1，所以不是指数函数．eq\a\vs4\al()推断一个函数是否为指数函数的方法(1)底数的值是否符合要求；(2)ax前的系数是否为1；(3)指数是否符合要求．1．若函数y＝a2(2－a)x是指数函数，则()A．a＝1或－1 B．a＝1C．a＝－1 D．a＞0且a≠1解析：选C．因为函数y＝a2(2－a)x是指数函数，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝1,2－a＞0,2－a≠1))，即a＝－1．2．已知函数f(x)是指数函数，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＝eq\f(\r(5),25)，则f(3)＝________．解析：设f(x)＝ax，由feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＝eq\f(\r(5),25)得a－eq\f(3,2)＝eq\f(\r(5),25)＝eq\f(5\s\up6(\f(1,2)),52)＝5－eq\f(3,2)，所以a＝5，即f(x)＝5x，所以f(3)＝53＝125．答案：125指数函数的定义域和值域求下列函数的定义域、值域：(1)y＝2eq\s\up6(\f(1,x－4))；(2)y＝(eq\f(2,3))－|x|．【解】(1)由x－4≠0，得x≠4．所以定义域为{x|x∈R，且x≠4}．因为eq\f(1,x－4)≠0，所以2eq\s\up6(\f(1,x－4))≠1，所以y＝2eq\s\up6(\f(1,x－4))的值域为{y|y>0，且y≠1}．(2)定义域为R．因为|x|≥0，所以y＝(eq\f(2,3))－|x|的值域为{y|y≥1}．eq\a\vs4\al()函数y＝af(x)的定义域与值域的求法(1)形如y＝af(x)的函数的定义域就是f(x)的定义域．(2)形如y＝af(x)的值域，应先求出f(x)的值域，再由函数的单调性求出af(x)的值域．若a的取值范围不确定，则需对a进行分类探讨．(3)形如y＝f(ax)的值域，要先求出u＝ax的值域，再结合y＝f(u)确定出y＝f(ax)的值域．求下列函数的定义域、值域：(1)y＝5eq\r(1－x)；(2)y＝eq\r(1－（\f(1,2)）x)．解：(1)因为1－x≥0，所以x≤1．令t＝eq\r(1－x)，所以t≥0．由y＝5t的图象知，y≥1．所以y＝5eq\r(1－x)的定义域为{x|x≤1}．值域为{y|y≥1}．(2)因为1－(eq\f(1,2))x≥0，所以(eq\f(1,2))x≤1＝(eq\f(1,2))0．又因为y＝(eq\f(1,2))x在(－∞，＋∞)上是减函数，所以x≥0．所以函数的定义域为{x|x≥0}．又因为0≤1－(eq\f(1,2))x<1，所以0≤y＝eq\r(1－（\f(1,2)）x)<1，函数的值域为[0，1)．指数函数性质的应用比较大小：(1)1．82．2，1．83；(2)0．7－0．3，0．7－0．4；(3)1．90．4，0．92．4；(4)(eq\f(4,5))eq\s\up6(\f(1,2))，(eq\f(9,10))eq\s\up6(\f(1,3))．【解】(1)因为1．82．2，1．83可看作函数y＝1．8x的两个函数值，因为1．8>1，所以y＝1．8x在R上为增函数，所以1．82．2<1．83．(2)因为y＝0．7x在R上为减函数，又因为－0．3>－0．4，所以0．7－0．3<0．7－0．4．(3)因为1．90．4>1．90＝1，0．92．4<0．90＝1，所以1．90．4>0．92．4．(4)因为eq\f(（\f(4,5)）\s\up6(\f(1,2)),（\f(9,10)）\s\up6(\f(1,2)))＝(eq\f(8,9))eq\s\up6(\f(1,2))<(eq\f(8,9))0＝1，所以(eq\f(4,5))eq\s\up6(\f(1,2))<(eq\f(9,10))eq\s\up6(\f(1,2))，因为y＝(eq\f(9,10))x在R上为减函数，又eq\f(1,2)>eq\f(1,3)，所以(eq\f(9,10))eq\s\up6(\f(1,2))<(eq\f(9,10))eq\s\up6(\f(1,3))，所以(eq\f(4,5))eq\s\up6(\f(1,2))<(eq\f(9,10))eq\s\up6(\f(1,3))．eq\a\vs4\al()比较幂值大小的三种类型及处理方法比较大小：(1)1．72．5，1．73； (2)0．8－0．1，1．250．2；(3)1．70．3，0．93．1; (4)0．30．2，0．20．3．解：(1)因为函数y＝1．7x在R上是增函数，又因为2．5＜3，所以1．72．5＜1．73．(2)因为0．8－0．1＝(eq\f(1,0.8))0．1＝1．250．1，又因为1．250．1＜1．250．2，所以(0．8)－0．1＜1．250．2．(3)因为1．70．3＞1．70＝1，0．93．1＜0．90＝1，所以1．70．3＞0．93．1．(4)eq\f(0.30.2,0.20.2)＝(eq\f(0.3,0.2))0．2＝(eq\f(3,2))0．2＞1，所以0．30．2＞0．20．2，又因为0．20．2＞0．20．3，所以0．30．2＞0．20．3．1．指数函数的结构特征推断一个函数是否是指数函数，关键是看解析是否符合y＝ax(a>0，a≠1，x∈R)这一结构形式．指数函数具有以下特征：(1)底数a为大于0且不等于1的常数，不含有自变量x；(2)指数位置是自变量x，且x的系数是1；(3)ax的系数是1．2．在指数函数y＝ax中规定a＞0且a≠1的缘由假如a＝0，当x＞0时，ax恒等于0；当x≤0时，ax无意义．假如a＜0，如y＝(－4)x，当x取eq\f(1,4)，eq\f(1,2)等数时，在实数范围内函数值不存在．假如a＝1，那么对于任何x∈R，y＝1x＝1是一个常数，对它就没有探讨的必要．求函数的值域时肯定要考虑定义域，否则易出错.1．下列函数是指数函数的是()A．y＝(－3)x B．y＝－3xC．y＝3x D．y＝2x＋1答案：C2．函数f(x)＝eq\r(1－2x)的定义域是()A．(－∞，0] B．[0，＋∞)C．(－∞，0) D．(－∞，＋∞)解析：选A．要使函数有意义，则1－2x≥0，即2x≤20，可知x≤0．3．若aπ＜a3．1，则a的取值范围是________．答案：0＜a＜14．求函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)(x≤0)的值域．解：因为x≤0，eq\f(1,2)<1，所以y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(0)＝1，即函数的值域为[1，＋∞)．[A基础达标]1．下列函数中，指数函数的个数为()①y＝xeq\s\up6(\f(2,3))；②y＝－4x；③y＝5·x－1；④y＝πx．A．0 B．1C．2 D．3解析：选B．只有④为指数函数．①不是指数函数，自变量不在指数上；②4x的系数为－1；③自变量不在指数上．2．已知集合A＝{y|y＝31－x，x∈R}，B＝{x|1≤x≤4}，则()A．A∩B＝∅ B．A∩B＝[1，3]C．A∪B＝(0，＋∞) D．A∩B＝(0，4]解析：选C．由题意知，A＝(0，＋∞)，又B＝[1，4]，所以A∩B＝[1，4]，A∪B＝(0，＋∞)．3．若a＝40．9，b＝80．48，c＝0．5－1．5则()A．a>b>c B．b>c>aC．c>a>b D．a>c>b解析：选D．a＝40．9＝21．8，b＝21．44，c＝21．5，又y＝2x在R上是增函数，所以a>c>b，故选D．4．函数y＝(eq\f(1,2))eq\r(x2－1)的值域是()A．(－∞，0) B．(0，1]C．[1，＋∞) D．(－∞，1]解析：选B．由于eq\r(x2－1)≥0，且y＝(eq\f(1,2))x是减函数，故值域为(0，1]．5．若函数y＝(1－2a)x是实数集R上的增函数，则实数a的取值范围为()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)) B．(－∞，0)C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))解析：选B．由题意知，此函数为指数函数，且为实数集R上的增函数，所以底数1－2a>1，解得a<0．6．若指数函数y＝(m2＋m＋1)(eq\f(1,5))x，则m的值是______．解析：由题意知，m2＋m＋1＝1，则m2＋m＝0，所以m＝0或m＝－1．答案：0或－17．f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)在[1，2]上的最大值与最小值之和为6，则a＝________．解析：由于f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)在[1，2]上是单调函数，故其最大值与最小值之和为a2＋a＝6，解得a＝－3(舍去)，或a＝2，所以a＝2．答案：28．已知函数f(x)满意：对随意实数x1<x2，有f(x1)<f(x2)，且f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)，写出满意这些条件的一个函数为________．解析：由题意知，f(x)为增函数且满意指数幂的运算性质，所以此函数可认为是指数函数y＝ax(a>1)．答案：f(x)＝2x(答案不唯一)9．已知指数函数的图象过点M(3，8)，求f(4)、f(－4)的值．解：设指数函数是y＝ax(a>0，a≠1)，则有8＝a3，所以a＝2，所以y＝2x．从而f(4)＝24＝16，f(－4)＝2－4＝eq\f(1,16)．10．设a>0，且a≠1，函数y＝a2x＋2ax－1在[－1，1]上的最大值是14，求a的值．解：令t＝ax(a>0且a≠1)，则原函数可化为y＝(t＋1)2－2(t>0)．令y＝f(t)，则函数f(t)＝(t＋1)2－2的图象的对称轴为直线t＝－1，开口向上．①当0<a<1时，x∈[－1，1]，t＝ax∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a，\f(1,a)))，此时，f(t)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a，\f(1,a)))上为增函数，所以f(t)max＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋1))eq\s\up12(2)－2＝14．所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋1))eq\s\up12(2)＝16，所以a＝－eq\f(1,5)或a＝eq\f(1,3)．又因为a>0，所以a＝eq\f(1,3)．②当a>1时，x∈[－1，1]，t＝ax∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，a))，此时f(t)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，a))上是增函数，所以f(t)max＝f(a)＝(a＋1)2－2＝14．解得a＝3(a＝－5舍去)．所以a＝eq\f(1,3)或a＝3．[B实力提升]11．已知f(x)＝3x－b(2≤x≤4，b为常数)的图象经过点(2，1)，则f(x)的值域为()A．[9，81] B．[3，9]C．[1，9] D．[1，＋∞)解析：选C．因为函数f(x)＝3x－b的图象经过点(2，1)，所以32－b＝1，所以2－b＝0，b＝2，所以f(x)＝3x－2．由2≤x≤4得0≤x－2≤2，所以30≤3x－2≤32，即1≤3x－2≤9，所以函数f(x)的值域是[1，9]．12．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝2x＋ax，且2f(3)＝4f(2)＋f(－1)，则a＝________．解析：因为f(x)是R上的奇函数，且x>0时，f(x)＝2x＋ax，所以x<0时，f(x)＝－2－x＋ax，f(0)＝0．再由2f(3)＝4f(2)＋f(－1)，得2×(23＋3a)＝4×(22＋2a)＋(－2－a)，解得a＝2．答案：213．求函数f(x)＝(eq\f(1,4))x－(eq\f(1,2))x＋1，x∈[－3，2]的值域．解：f(x)＝[(eq\f(1,2))x]2－(eq\f(1,2))x＋1．因为x∈[－3，2]，所以(eq\f(1,2))2≤(eq\f(1,2))x≤(eq\f(1,2))－3．即eq\f(1,4)≤(eq\f(1,2))x≤8．设t＝(eq\f(1,2))x，则eq\f(1,4)≤t≤8．原函数可化为f(t)＝t2－t＋1，t∈[eq\f(1,4)，8]．因为f(t)＝(t－eq\f(1,2))2＋eq\f(3,4)，所以f(eq\f(1,2))≤f(t)≤f(8)．所以eq\f(3,4)≤f(t)≤57，故函数的值域为[eq\f(3,4)，57]．14．(选做题)