2024-2025学年高中数学第一章统计1.7相关性学案含解析北师大版必修3VIP

PAGE§7相关性学问点一变量间的相关关系[填一填]变量与变量之间的关系常见的有两类：一类是确定性的函数关系；另一类是变量间的确存在关系，但又不具备函数关系所要求的确定性，它们的关系是带有随机性的，称这两个变量具有相关关系．[答一答]1．相关关系与函数关系(确定性关系)的异同点是什么？提示：①相同点：两者均是两个变量之间的关系．②不同点：函数关系是一种确定性关系．而相关关系是一种非确定性关系；函数关系是自变量与函数值之间的关系，这种关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量或随机变量与随机变量之间的关系；函数关系是一种因果关系，而相关关系不肯定是因果关系，也可能是伴随关系．例如，有人发觉，对于在校儿童，鞋的大小与阅读实力之间有很强的相关关系，然而学会新词并不能使脚变大，而是涉及第三个因素——年龄，当儿童长大一些，他的阅读实力会提高，而且由于长大，脚也会变大．学问点二两个变量的线性相关[填一填]两个变量的线性相关(1)散点图：将样本中n个数据点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)描在平面直角坐标系中得到的图形．(2)正相关与负相关正相关：假如一个变量的值由小变大时，另一个变量的值也由小变大，这种相关称为正相关．负相关：假如一个变量的值由小变大时，另一个变量的值由大变小，这种相关称为负相关．[答一答]2．怎样正确理解散点图？提示：散点图形象地反映了各对数据的密集程度．依据散点图中点的分布趋势分析两个变量之间的关系，可直观地推断并得出结论．(1)假如散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域内，即一个变量的值由小变大时，另一个变量的值也由小变大，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关，如图①.(2)假如散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域内，即一个变量的值由小变大时，另一个变量的值由大变小，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为负相关，如图②.相关关系与函数关系(1)相同点：两者均是指两个变量的关系．(2)不同点：①函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系．②函数关系是一种因果关系，而相关关系不肯定是因果关系，也可能是伴随关系．类型一相关关系与函数关系的区分与联系【例1】有下列关系：①人的年龄与他(她)拥有的财宝之间的关系；②曲线上的点与该点关于原点的对称点的坐标之间的关系；③苹果的产量与气候之间的关系；④森林中的同一种树木，其横断面直径与高度之间的关系．其中，具有相关关系的是________．【思路探究】分清函数关系与相关关系的关键是函数关系是一种确定关系，对于一个变量的一个确定的值，另一个变量有唯一确定的值与它对应．【解析】利用相关关系的概念进行推断，②中两变量的关系是一种确定性关系．【答案】③④规律方法相关关系与函数关系的区分在于是否具有确定性．在区分二者时，假如一个变量每取一个值，另一个变量总有唯一确定的值与之对应，那么这两个变量就是函数关系，不是相关关系；假如一个变量每取一个值，另一个变量的取值带有肯定的随机性，并且从总体上来看有关系，但不是确定性关系，那么这两个变量之间就是相关关系，不是函数关系．确定相关关系时有时要依靠生活阅历大致确定．(1)对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散点图①；对变量u，v有观测数据(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散点图②.由这两个散点图可以推断(C)A．变量x与y正相关，u与v正相关B．变量x与y正相关，u与v负相关C．变量x与y负相关，u与v正相关D．变量x与y负相关，u与v负相关(2)某公司2013～2024年的年利润x(单位：百万元)与年广告支出y(单位：百万元)的统计资料如下表所示：年份201320242024202420242024利润x12.214.6161820.422.3支出y0.620.740.810.8911.11则下列说法正确的是(C)A．利润中位数是16，x与y有正线性相关关系B．利润中位数是18，x与y有负线性相关关系C．利润中位数是17，x与y有正线性相关关系D．利润中位数是17，x与y有负线性相关关系解析：(1)由图像知，变量x与y呈负相关关系；u与v呈正相关关系．故选C.(2)由表知，利润中位数是eq\f(1,2)(16＋18)＝17，且y随x的增大而增大，故选C.类型二散点图的画法及应用【例2】两对变量A和B、C和D的取值分别对应表1和表2，画出散点图，推断它们是否有相关关系；若具有相关关系，说出它们相关关系的区分．表1A261813104－1B202434385064表2C05101520253035D541.67602.66672.09704.99806.71908.59975.421034.75【思路探究】eq\x(画出散点图)→eq\x(\a\al(视察各点,的分布))→eq\x(\a\al(推断是否具,有相关关系))【解】散点图分别如图(1)，(2)．从图中可以看出两图中的点都分布在一条直线旁边，因此两图中的变量都具有相关关系．图(1)中A的值由大变小时，B的值却是由小变大，即A与B具有负相关关系；图(2)中C的值由小变大时，D的值也是由小变大，即C与D具有正相关关系．规律方法在探讨两个变量之间是否存在某种关系时，必需从散点图入手．对于散点图，可以作出如下推断：(1)假如全部的样本点都落在某一函数曲线上，就用该函数来描述变量之间的关系，即变量之间具有函数关系．(2)假如全部的样本点都落在某一函数曲线旁边，变量之间就有相关关系．(3)假如全部的样本点都落在某始终线旁边，变量之间就有线性相关关系．已知5名学生的数学和物理成果如下表：画出散点图，并推断他们的数学和物理成果是否具有相关关系．解：以x轴表示数学成果，y轴表示物理成果，可得相应的散点图(如图)．由散点图可知，两者之间具有相关关系．——思想方法——三种推断相关关系的方法【例3】下面是随机抽取的9名15岁男生的身高、体重表：编号123456789身高/cm165157155175168157178160163体重/kg524445555447625053推断所给的两个变量是否存在相关关系．【思路点拨】推断相关关系有三种方法：一是靠阅历，二是依据两变量取值，三是画出散点图．【解】方法一：依据阅历可知，人的身高和体重之间存在相关关系．方法二：视察表格数据可知，人的体重随着身高的增高而增加，因此人的身高和体重之间存在相关关系．方法三：以x轴表示身高，以y轴表示体重，得到相应的散点图如图所示．我们会发觉，随着身高的增长，体重基本上呈增加的趋势．所以体重与身高之间存在相关关系，并且是正相关．【点评】散点图在分析两个变量之间的相关关系时，具有较强的劝服力．在如图的各图中，其中两个变量具有相关关系的是(D)A．①②B．①③C．②④D．②③解析：依据散点图与相关关系的概念进行选择．依据图像可知①是函数关系；④中的点分布分散，不具有相关关系；②③中的点分布较好，具有相关关系．一、选择题1．下列两个变量之间的关系是相关关系的是(D)A．正方体的棱长和体积B．单位圆中角的度数和所对弧长C．单产为常数时，土地面积和总产量D．日照时间与水稻的亩产量解析：函数关系是一个变量与另一个变量之间有确定性的关系，选项A、B、C均为函数关系，日照时间与水稻的产量带有肯定的随机性，故选项D正确．2．下列变量之间的关系是函数关系的是(B)A．光照时间与大棚内蔬菜的产量B．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，其中a、c是常数，b为自变量，因变量是这个函数的判别式Δ＝b2－4C．每亩施肥量与粮食亩产量之间的关系D．人的身高与所穿鞋子的号码之间的关系解析：应用变量相关关系的定义加以推断．A项，光照时间与大棚内蔬菜的产量是相关关系．B项，判别式Δ＝b2－4ac与b人的身高与所穿鞋子的号码是相关关系，故选B.3．2024年夏季，我国部分地区发生了手足口病疫情，党和政府实行坚决措施，使疫情得到限制．下表是某同学记录的某地方在4.1～4.8日的发病人数，并给出了散点图(如下图).日期4.14.24.34.44.54.64.74.8人数49151928313438下列说法：①据此散点图，可以推断日期与发病人数具有线性相关关系；②据此散点图，可以推断日期与发病人数具有一次函数关系．其中正确的是(A)A．①B．②C．①②D．都不正确解析：由散点图我们可以看到，各点位于某条直线旁边，但不同在一条直线上，因此可以推断日期与发病人数具有线性相关关系，而不是一次函数关系．二、填空题4．下列变量之间的关系是相关关系的是②④.①球的体积与其半径的关系；②动物大脑容量的百分比与智力水平的关系；③人的年龄与体重之间的关系；④降雨量与农作物产量之间的关系．解析：依据两个变量间关系的类型可知正确答案为②④.5．有下列关系：①炼钢时钢水的含碳量与冶炼时间的关系；②曲线上的点与该点的坐标之间的关系；③柑橘的产量与气温之间的关系；其中具有相关关系的是①③.解析：①炼钢的过程就是一个降低含碳量进行氧化还原的过程，除了与冶炼时