2024-2025学年新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.4.1充分条件与必要条件课时素养评价含解析新人教A版必修第一册

PAGE5-充分条件与必要条件(15分钟30分)1.“a+b是偶数”是“a和b都是偶数”的 ()A.充分条件B.必要条件C.既是充分条件也是必要条件D.既不是充分条件也不是必要条件【解析】选B.因为当a+b为偶数时，a，b都可以为奇数.所以“a+b是偶数”“a和b都是偶数”，明显“a和b都是偶数”⇒“a+b是偶数”.所以“a+b是偶数”是“a和b都是偶数”的必要条件.2.有以下说法，其中正确的个数为 ()(1)“m是自然数”是“m是整数”的充分条件.(2)“两个三角形对应角相等”是“这两个三角形全等”的必要条件.(3)“(a+b)·(a-b)=0”是“a=b”的必要条件A.0个 B.1个 C.2个 D.3个【解析】选D.(1)由于“m是自然数”⇒“m是整数”，因此“m是自然数”是“m是整数”的充分条件.(2)由三角形全等可推出这两个三角形对应角相等，所以“两个三角形对应角相等”是“这两个三角形全等”的必要条件.(3)由(a+b)·(a-b)=0，得：|a|=|b|，推不出a=b，由a=b，能推出|a|=|b|，故“(a+b)·(a-b)=0”是“a=b”3.已知集合A={1，a}，B={1，2，3}，则“a=3”是“A⊆B”的A.充分条件B.必要条件C.既是充分条件也是必要条件D.既不是充分条件也不是必要条件【解析】选A.当a=3时，A={1，3}，故A⊆B，若A⊆B⇒a=2或a=3，不肯定有a=3，故“a=3”是“A⊆B”的充分条件.4.从“充分条件”“必要条件”中选出适当的一种填空：(1)“ax2+bx+c=0QUOTE有实根”是“ac<0”的_______.

(2)“△ABC≌△A′B′C′”是“△ABC∽△A′B′C′”的_______.

【解析】(1)因为ax2+bx+c=0QUOTE有实根，所以Δ=b2-4ac≥0，ac<0不肯定成立；但ac<0时，Δ=b2-4ac≥0肯定成立，所以“ax2+bx+c=0QUOTE有实根”是“ac<0”的必要条件.(2)△ABC≌△A′B′C′⇒△ABC∽△A′B′C′，△ABC∽△A′B′C′△ABC≌△A′B′C′，所以“△ABC≌△A′B′C′”是“△ABC∽△A′B′C′”的充分条件.答案：(1)必要条件(2)充分条件【补偿训练】用“充分”或“必要”填空：(1)“x≠3”是“|x|≠3”的_____(2)“个位数字是5的自然数”是“这个自然数能被5整除”的_____条件.

【解析】(1)因为|x|≠3时，x≠±3，所以“x≠3”“|x|≠3”，“|x|≠3”⇒“x≠3”，所以“x≠3”是“|x|≠3(2)因为个位数字是5或0的自然数都能被5整除，所以“个位数字是5的自然数”⇒“这个自然数能被5整除”；“这个自然数能被5整除”“个位数字是5的自然数”，所以“个位数字是5的自然数”是“这个自然数能被5整除”的充分条件.答案：(1)必要(2)充分5.下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？哪些命题中的p是q的必要条件？(1)p：数a能被6整除，q：数a能被3整除.(2)p：x>1，q：x2>1.(3)p：b2=ac，q：QUOTE=QUOTE.(4)p：A∩B=A，q：UB⊆UA.【解析】(1)数a能被6整除，则肯定能被3整除，反之不肯定成立.即p⇒q，qp，所以p是q的充分条件，但p不是q的必要条件.(2)因为x2>1⇒x>1或x<-1，所以p⇒q，且qp.所以p是q的充分条件，但p不是q的必要条件.(3)b2=acQUOTE=QUOTE，如b=0，c=0时，b2=ac，而QUOTE，QUOTE无意义.但QUOTE=QUOTE⇒b2=ac，所以p是q的必要条件，但p不是q的充分条件.(4)画出Venn图(如图).结合图形可知，A∩B=A⇒AB⇒UBUA，反之也成立，所以p是q的充分条件，且p是q的必要条件.(20分钟40分)一、单选题(每小题5分，共15分)1.若非空集合A，B，C满意A∪B=C，且B不是A的子集，则 ()A.“x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要条件B.“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件C.“x∈C”是“x∈A”的充分条件也是“x∈A”的必要条件D.“x∈C”既不是“x∈A”的充分条件也不是“x∈A”的必要条件【解析】选B.x∈A必有x∈C，但反之不肯定成立，所以“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件.2.已知P={x|a-4<x<a+4}，Q={x|1<x<3}，“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，则实数a的取值范围是 ()A.-1≤a≤5 B.-1<a≤5C.-2≤a≤3 D.-2≤a<3【解析】选A.因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，所以Q⊆P，所以QUOTE即QUOTE所以-1≤a≤5.3.“b=c=0”是“二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)经过原点”的A.充分条件B.必要条件C.既是充分条件也是必要条件D.既不是充分条件也不是必要条件【解析】选A.b=c=0⇒y=ax2，二次函数肯定经过原点；二次函数y=ax2+bx+c经过原点⇒c=0，b不肯定等于0.【误区警示】解答本题简单忽视对二次函数y=ax2+bx+c经过原点的含义(即c=0)理解错误.二、多选题(共5分，其中全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)4.下列条件中是“a+b>0”的充分条件的是A.a>0，b>0B.a<0，b<0C.a=3，b=-2D.a>0，b<0且|a|>|b|【解析】选ACD.问题是“谁”是“a+b>0”的充分条件；因为“a>0，b>0”⇒“a+b>“a<0，b<0”“a+b>0”，“a=3，b=-2”⇒“a+b>“a>0，b<0且|a|>|b|”⇒“a+b>0”，所以A，C，D中的条件均是“a+b>0”的充分条件，B中的条件不是“a+b>0三、填空题(每小题5分，共10分)5.下列不等式：①x<1；②0<x<1；③-1<x<0；④-1<x<1.其中，可以是QUOTE<1的一个充分条件的全部序号为_______，可以是QUOTE<1的一个必要条件的全部序号为_______.

【解析】由于QUOTE<1，即-1<x<1，①-1<x<1⇒x<1；②0<x<1⇒-1<x<1；③-1<x<0⇒-1<x<1；④-1<x<1⇒-1<x<1，所以②③④是QUOTE<1的一个充分条件，①④是QUOTE<1的一个必要条件.答案：②③④①④6.设p：QUOTE≤x≤1；q：a≤x≤a+1，若p是q的充分条件，则实数a的取值范围是_______.

【解析】因为q：a≤x≤a+1，p是q的充分条件，所以QUOTE解得0≤a≤QUOTE.答案：QUOTE四、解答题7.(10分)已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么：(1)s是q的什么条件？(2)r是q的什么条件？(3)p是q的什么条件？【解题指南