2024-2025学年新教材高中数学第二章一元二次函数方程和不等式2.2基本不等式第1课时基本不等式学案含解析新人教A版必修第一册

PAGE1-2.2基本不等式【素养目标】1．了解基本不等式的代数和几何背景．(数学抽象)2．理解并驾驭基本不等式及其变形．(逻辑推理)3．会用基本不等式解决简洁的最大(小)值问题．(数学运算)4．会用基本不等式进行代数式大小的比较及证明不等式．(逻辑推理)5．会用基本不等式求最值问题和解决简洁的实际问题．(数学运算)【学法解读】1．本节学习时，学生先复习完全平方公式(a－b)2＝a2－2ab＋b2，由(a－b)2≥0可得a2－2ab＋b2≥0，即a2＋b2≥2ab.然后以eq\r(a)，eq\r(b)分别代替a，b推得基本不等式，从代数观点相识基本不等式．2．借助教材“探究”中的问题，使学生从几何角度相识基本不等式．3．重点驾驭应用基本不等式求最值的前提条件，通过详细实例强化公式的应用技巧．第1课时基本不等式必备学问·探新知基础学问学问点1重要不等式与基本不等式思索1：(1)基本不等式中的a，b只能是详细的某个数吗？(2)基本不等式成立的条件“a，b>0”能省略吗？请举例说明．提示：(1)a，b既可以是详细的某个数，也可以是代数式．(2)不能，如eq\f(－3＋－4,2)≥eq\r(－3×－4)是不成立的．学问点2基本不等式与最值已知x，y都为正数，则(1)若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值__eq\f(s2,4)__.(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值__2eq\r(p)__.思索2：应用基本不等式求最值的关键是什么？提示：依定值去探求最值，探求的过程中常需依详细的问题进行合理的拆、凑、配等变换．基础自测1．推断正误(对的打“√”，错的打“×”)(1)两个不等式a2＋b2≥2ab与eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)成立的条件是相同的．(×)(2)当a>0，b>0时，a＋b≥2eq\r(ab).(√)(3)当a>0，b>0时，ab≤(eq\f(a＋b,2))2.(√)(4)函数y＝x＋eq\f(1,x)的最小值是2.(×)[解析](1)不等式a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R；不等式eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)成立的条件是a>0，b>0.(2)基本不等式的变形公式．(3)基本不等式的变形公式．(4)当x<0时，x＋eq\f(1,x)是负数．2．下列不等式正确的是(C)A．a＋eq\f(1,a)≥2 B．(－a)＋(－eq\f(1,a))≤－2C．a2＋eq\f(1,a2)≥2 D．(－a)2＋(－eq\f(1,a))2≤－23．不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是__a＝1__.4．已知x>0，求x＋eq\f(1,x)的最小值．[解析]因为x>0，所以x＋eq\f(1,x)≥2eq\r(x·\f(1,x))＝2，当且仅当x＝eq\f(1,x)，即x2＝1，x＝1时，等号成立，因此所求的最小值为2.关键实力·攻重难题型探究题型一利用基本不等式推断命题真假例1下列不等式肯定成立的是(C)A．eq\r(x2＋\f(1,4))>eq\r(x)(x>0) B．x＋eq\f(1,x)≥2(x≠0)C．x2＋1≥2|x|(x∈R) D．eq\f(1,x2＋1)>1(x∈R)[解析]选项A中，x2＋eq\f(1,4)≥x(当且仅当x＝eq\f(1,2)时，x2＋eq\f(1,4)＝x)，故选项A不正确；选项B中，x＋eq\f(1,x)≥2(x>0)，x＋eq\f(1,x)≤－2(x<0)，故选项B不正确；选项C中，x2－2|x|＋1＝(|x|－1)2≥0(x∈R)，故选项C正确；选项D中，x2＋1≥1，则0<eq\f(1,x2＋1)≤1，故选项D不正确．例2假如正数a，b，c，d满意a＋b＝cd＝4，那么下列命题中是真命题的是(A)A．ab≤c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值唯一B．ab≥c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值唯一C．ab≤c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值不唯一D．ab≥c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值不唯一[解析]∵正数a，b，c，d满意a＋b＝cd＝4，∴4＝a＋b≥2eq\r(ab)，即ab≤4，当且仅当a＝b＝2时，等号成立．又4＝cd≤(eq\f(c＋d,2))2，∴c＋d≥4，当且仅当c＝d＝2时，等号成立．综上，ab≤c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值都为2.[归纳提升]利用基本不等式推断命题真假的步骤第一步：检查是否满意应用基本不等式的条件．其次步：应用基本不等式．第三步：检验等号是否成立．【对点练习】❶若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是(D)A．a2＋b2>2ab B．a＋b≥2eq\r(ab)C．eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)>eq\f(2,\r(ab)) D．eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2[解析]对于A，若a＝b时，a2＋b2＝2ab，则A中的不等式不恒成立．当a<0，b<0时，选项B，C不成立，故选D．题型二利用基本不等式求最值例3(1)已知x<3，求f(x)＝eq\f(4,x－3)＋x的最大值；(2)已知x，y是正实数，且x＋y＝4，求eq\f(1,x)＋eq\f(3,y)的最小值．[分析](1)将所求代数式变形，构造出基本不等式所满意的结构条件，从而运用基本不等式求最值．(2)利用“1”的代换，结合不等式求解．[解析](1)因为x<3，所以x－3<0，所以f(x)＝eq\f(4,x－3)＋x＝eq\f(4,x－3)＋(x－3)＋3＝－[eq\f(4,3－x)＋(3－x)]＋3≤－2eq\r(\f(4,3－x)·3－x)＋3＝－1，当且仅当eq\f(4,3－x)＝3－x，即x＝1时取等号，所以f(x)的最大值为－1.(2)因为x，y是正实数，所以(x＋y)(eq\f(1,x)＋eq\f(3,y))＝4＋(eq\f(y,x)＋eq\f(3x,y))≥4＋2eq\r(3).当且仅当eq\f(y,x)＝eq\f(3x,y)，即x＝2(eq\r(3)－1)，y＝2(3－eq\r(3))时取等号．又x＋y＝4，所以eq\f(1,x)＋eq\f(3,y)≥1＋eq\f(\r(3),2)，故eq\f(1,x)＋eq\f(3,y)的最小值为1＋eq\f(\r(3),2).[归纳提升]利用基本不等式求最值的方法及留意点(1)知和求积的最值：求解此类问题的关键：明确“和为定值，积有最大值”．但应留意以下两点：①具备条件——正数；②验证等号成立．(2)知积求和的最值：明确“积为定值，和有最小值”，干脆应用基本不等式求解，但要留意利用基本不等式求最值的条件．(3)构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采纳“变量替换”或“常数1”的替换，构造不等式求解．(4)利用基本不等式求最值时应留意：①非零的各数(或式)均为正；②和或积为定值；③等号能否成立，即“一正、二定、三相等”，这三个条件缺一不行．【对点练习】❷(1)若0<x<1，则eq\r(x3－2x)的取值范围是__(0，eq\f(3\r(2),4)]__；(2)已知a>0，b>0，eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝4，则a＋b的最小值为__1__.[解析](1)由0<x<1知3－2x>0，故eq\r(x3－2x)＝eq\f(1,\r(2))·eq\r(2x3－2x)≤eq\f(1,\r(2))·eq\f(2x＋3－2x,2)＝eq\f(3\r(2),4)，当且仅当x＝eq\f(3,4)时，上式等号成立．所以0<eq\r(x3－2x)≤eq\f(3\r(2),4).(2)由eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝4，得eq\f(1,4a)＋eq\f(1,4b)＝1.所以a＋b＝(eq\f(1,4a)＋eq\f(1,4b))(a＋b)＝eq\f(1,2)＋eq\f(b,4a)＋eq\f(a,4b)≥eq\f(1,2)＋2eq\r(\f(b,4a)×\f(a,4b))＝1.当且仅当a＝b＝eq\f(1,2)时取等号．题型三利用基本不等式证明不等式例4已知a>b，ab＝1，求证：a2＋b2≥2eq\r(2)(a－b)．[分析]这是个条件不等式，因此要用好a>b，ab＝1这两个条件．留意到不等式左、右两边的次数特征，因此要向模型ax＋eq\f(b,x)≥2eq\r(ab)进行思索．[证明]∵a>b，∴a－b>0.又ab＝1，∴eq\f(a2＋b2,a－b)＝eq\f(a2＋b2＋2ab－2ab,a－b)＝eq\f(a－b2＋2ab,a－b)＝a－b＋eq\f(2,a－b)≥2eq\r(a－b·\f(2,a－b))＝2eq\r(2)，即eq\f(a2＋b2,a－b)≥2eq\r(2)，即a2＋b2≥2eq\r(2)(a－b)，当且仅当a－b＝eq\f(2,a－b)，即a－b＝eq\r(2)时取等号．[归纳提升]利用基本不等式证明不等式的思路利用基本不等式证明不等式时，要先视察题中要证明的不等式的结构特征，若不能干脆运用基本不等式证明，则考虑对代数式进行拆项、变形、配凑等，使之转化为能运用基本不等式的形式；若题目中还有已知条件，则先视察已知条件和所证不等式之间的联系，当已知条件中含有“1”时，要留意“1”的代换，另外，解题时要时刻留意等号能否取到．【对点练习】❸已知x，y，z都是正数，求证：(x＋y)(y＋z)(z＋x)≥8xyz.[证明]∵x，y，z是正数，x＋y≥2eq\r(xy)，y＋z≥2eq\r(yz)，x＋z≥2eq\r(xz)，∴(x＋y)(y＋z)(z＋x)≥8xyz.课堂检测·固双基1．若x2＋y2＝4，则xy的最大值是(C)A．eq\f(1,2) B．1C．2 D．4[解析]x2＋y2＝4≥2xy，∴xy≤2，∴xy的最大值为2，故选C．2．设a>b>0，则下列不等式中肯定成立的是(C)A．a－b<0 B．0<eq\f(a,b)<1C．eq\r(ab)<eq\f(a＋b,2) D．ab>a＋b[解析]由基本不等式知eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)，∵a>b>0，∴eq\r(ab)<eq\f(a＋b,2)，故选C．3．对于随意正数a，b，A是a，b的算术平均数，G是a，b的几何平均数，则A与G的大小关系是__A≥G__.4．已知x>0