导数几何意义与导数运算（三）：高考数学一轮复习基础必刷题

导数几何意义与运算(三)：高考数学一轮复习基础必刷题

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一、单选题

I.已知函数/(X)=X8SX,则f0二()

A.0B.1C.—D.

22

2.曲线/(力=，一12在点(OJ(O))处的切线方程为()

A.y=x+\B.y=2x+lC.y=-^x+\D.y=-x+1

3.已知函数/(X)在X=/处的导数为r(%),则1"5+词-〃/)=()

人_*02Ax

A.2/伍)B.-2,伉)

c.gr(x0)D.-gr(%o)

4.若函数/(x)=f-裙在区间[2刁上的平均变化率为5,则才等于()

A.75B.2C.3D.1

5.科学家经过长期监测，发现在某一段时间内，某物种的种群数量。可以近似看作时

间，的函数，记作Q。)，其瞬时变化率。⑺和Q。)的关系为=其中々为

常数.在下列选项所给函数中，。(，)可能是()

A.e(/)=e-°2/B.0(O=O.2sinr

C.Q(f)=21n(r+2)D.。(。=6(，+1尸

6.曲线y=f(用在x=l处的切线如图所示，贝1]/'(1)一/(1)=()

A.0D.[

7.已知一次函数/(4)=加+—+。,设g(x)=e7./(x),若函数g(x)的导函数

g'(x)的图像如图所示，则(

C.—>1,b-cD.—<1,b—c

aa

8.己知函数〃力二丁一9孙过点A(l,机)(机工—8)可作曲线y=f(x)的三条切线，则实

数机的取值范围是()

A.(0,8)B.(-8,8)

C.(-00,-8)D.(-9,-8)

二、填空题

9.已知函数f(x)=r(l)f-ex.则61)=.

10.设函数/(x)=——.若//(1)=4»则«=.

11.曲线y=1nx+x+l的一条切线的斜率为2,则该切线的方程为.

三、解答题

12.求下列函数的导数.

(1)y=(2f+3)(31)；

(3)y=InJl+2x.

3

13.设函数/(X)=-;x+d+(/?/一1卜，其中m>Q

(1)当，〃=1时，求曲线丁=〃力在点处的切线斜率；

(2)求函数“X)的单调区间.

14.已知函数/(引二^一/+公+6,若曲线y=/(x)在(0,/(0))处的切线方程为

y=-x+\.

(1)求b的值;

(2)求函数y=〃力在［-2,2］上的最小值.

15.(1)求与直线)，=-5'+1叁直，且与曲线y=lnx相切的直线方程;

(2)求过原点，且与曲线y=F相切的直线方程.

参考答案:

I.D

【解析】

【分析】

求导之后，代导函数表达式即可求解

【详解】

/(x)=xcosx=>/z(x)=cosx+x(-sinx)

故选：D

2.A

【解析】

【分析】

分别求出切点及斜率，再用点斜式即可求切线方程.

【详解】

因为=,所以/(力=^一2八

又/(0)=1，/(0)=1,故所求切线方程为y=%+i.

故选：A

3.C

【解析】

【分析】

利用导数的定义即可求出.

【详解】

/(x0+Ar)-/(x0)^l/(x0+Ar)-/(x0)_1

lim&+©).%—2"。)

AvfO2At2a

故选：C.

4.C

【解析】

【分析】

利用平均变化率的定义直接求解.

答案第1页，共8页

【详解】

因为函数/(八)=人2->在区间［2,1］上的平均变化率为5,

所以包="立"£)=5,解得：1=3或Z=2.

Art-2

因为区间［2刁，所以/>2,所以，=3.

故选：C

5.A

【解析】

【分析】

根据题意，结合导数的计算公式，逐项计算，即可求解.

【详解】

由题意，瞬时变化率。⑺和Q⑺的关系为。⑺=kQ{t},

对于A中，函数Q(f)=/2,可得。(。=-0.2/z,所以0(/)=-0.2。。)，符合题意;

对于B中，函数Q(1)=0.2sin/,可得0(/)=O.2cosr,不符合题意：

对于C中，函数。«)=21n(z+2),可得。(/)=自，不符合题意；

对于D中，函数。(，)=6«+1尸，可得0(。=-6。+1)-2,不符合题意.

故选：A.

6.C

【解析】

由图示求出直线方程，然后求出〃1)=-；，r(i)=|,即可求解.

【详解】

由直线经过(0M),(2,0),可求出直线方程为：x-2y-2=0

••・丁=73)在工=1处的切线

"⑴号x-2=$11八1)=；

⑴

故选：C

答案第2页，共8页

【点睛】

用导数求切线方程常见类型：

(1)在尸(与,为)出的切线：尸(与,九)为切点，直接写出切线方程：

(2)过P*o，%)出的切线：口题,叫)不是切点，先设切点，联立方程组.求出切点坐标

f

(知片)，再写出切线方程：y-y=f(xl)(x-xl).

7.D

【解析】

【分析】

求出函数g'(x),再根据给定图象与x轴交点横坐标即可计算判断作答.

【详解】

依题意，(x)=e-v(ax2+bx+c),Wg'M=-e-x(ar2+bx+c)+e~x(2cix+b)

=-e-v[ar2-(2a-b)x+c-b],

观察g'(x)的图像得：g'(O)=c-6=O,即b=c,g'(x)的另一个零点为若a=2-，>1,

a

所以有2<1,b=c.

a

故选：D

8.D

【解析】

【分析】

设切点为卜。,与3-9%)，求导,得到切线斜率k=3x；-9,再根据切线过点

A(l,〃?)(〃?工一8),得到49&一阳=3年-9有3个根求解.

【详解】

解：设切点为(天田3-9%),

则r(x)=3f-9,

答案第3页，共8页

所以切线的斜率为k=3/2一9,

又因为切线过点A(l,〃z)(〃?*-8),

所以一6=3.2-9,即2/3—3%?+机+9=0,

令〃(力=2/-3/+6+9,

M/Z(X)=6X2-6X,令力'(X)=0,得X=0或X=1,

当x<0或X>1时，〃(x)>0,当Ovxvl时，〃(x)<0,

所以当x=0时，〃(力取得极大值〃(0)=m+9,

当％=1时,〃(力取得极大小值妆1)=加+8,

因为过点A(l,回(〃--8)可作曲线y=/(x)的三条切线，

所以方程2/3-+小+9=0有3个解，

则〈。八，解得一9</”一8,

阳+8<0

故选：D

9.0

【解析】

【分析】

根据导数的运算法则即可计算.

【详解】

Vf(x)=2f(l)x-e,・・・r(l)=2r(l)—e=r(l)=e,

.\/(x)=er2-e\/./(1)=0,

故答案为：0.

10.1

【解析】

【分析】

由题意首先求得导函数的解析式，然后得到关于实数。的方程，解方程即可确定实数4的

答案第4页，共8页

值

【详解】

/〃\ex(x+a)-e'cex(x-¥a-\\

由函数的解析式可得：/(%)=~——L，

(x+a)(x+a)

Jx(l+a-l)ae,aee

则：/°=1(l+a)1'1(aF+1T)，据此可得：(a+1)4

整理可得：6f2—2^+1=0,解得：a=\.

故答案为：1.

【点睛】

本题主要考查导数的运算法则，导数的计算，方程的数学思想等知识，属于中等题.

11.y=2x

【解析】

【分析】

设切线的切点坐标为(%,%),对函数求导，利用y'\=2,求出/,代入曲线方程求出

%,得到切线的点斜式方程，化简即可.

【详解】

设切线的切点坐标为(X。,y),y=lnx+x+1,/=-+1,

0x

yi^=—+1=2,.%=1,%=2,所以切点坐标为(1,2),

所求的切线方程为y-2=2(x7),即y=2儿

故答案为：y=2x.

【点睛】

本题考查导数的几何意义，属于基础题.

/,、，c，“c/八q，(\sinx-xcosx-1…、I

12.(1)y=18x--4x+9；(2)f(x)=------：-------；(3)y=-----

x\+2x

【解析】

【分析】

(1)利用导数的运算法则可求得原函数的导数；

(2)利用导数的运算法则可求得原函数的导数：

(3)利用复合函数的求导法则可求得原函数的导数.

答案第5页，共8页

【详解】

(1),/y=(2x2+3)(3x-1)=6x3-2x2+9A-3,

/.y=(6X3-2X2+9X-3)=18X2-4X+9：

/c、\-xcosx-(l-sinx)sinx-xcosx-l

⑵f(x)=--------f-------=-------5------；

Xx~

.____1i21

(3)vj=InV1+2x=-In(2x+1),所以，y'=------=----.

22l+2x2x+l

13.(1)1；(2)答案见解析.

【解析】

【分析】

(1)由题设得ra)=2x-/,求出/⑴即可知切线斜率；

(2)由题意r(x)=(r+，〃+l)(x+m—l),讨论/<彳)的符号，即可求单调区间.

【详解】

(1)由题设，f(x)=-；d+J,贝jr(x)=2x—f,

・・・广(1)=1,故点(1,/。))处的切线斜率为1.

(2)由题设，f\x)=-x2+2x+(m2-i),XA=4+4(W2-1)=W>0,

f(x)=(-x+m+\)(x+m-1)t且1一mvm+l,

当时，/(%)单调递增；

当户")<0时，x<\m或〃x)单调递减；

・・・〃力在(1-孙加+1)上递增，在(-co/-⑼、(m+l,g)上递减.

14.(l)a=-l；b=\

(2)-9

【解析】

【分析】

(1)根据函数的切线方程即可求得参数值；

(2)判断函数在［-2,2］上单调性，进而可得最值.

(1)

答案第6页，共8页

由已知可得f(o)=8=1.

又/z(x)=3x2-2x+a,

所以广(0)=〃