2024-2025学年新教材高中数学第7章概率1随机现象与随机事件1.3随机事件1.4随机事件的运算学案含解析北师大版必修第一册

PAGE7-1.3随机事务1.4随机事务的运算学习目标核心素养1.理解随机事务与样本点的关系．(重点)2．了解随机事务的交、并与互斥的含义，能结合实例进行随机事务的交、并运算．(难点、易混点)1．通过对随机、必定、不行能事务等概念的学习，培育数学抽象素养．2．通过学习事务的运算法则，培育数学建模素养．1．三种事务的定义事务随机事务一般地，把试验E的样本空间Ω的子集称为E的随机事务，简称事务，常用A，B，C等表示．在每次试验中，当这一事务发生时，这一子集中的样本点必出现其中一个；反之，当这一子集中的一个样本点出现时，这一事务必定发生必定事务样本空间Ω是其自身的子集，因此Ω也是一个事务；又因为它包含全部的样本点，每次试验无论哪个样本点ω出现，Ω都必定发生，因此称Ω为必定事务不行能事务空集∅也是Ω的一个子集，可以看作一个事务；由于它不包含任何样本点，它在每次试验中都不会发生，故称∅为不行能事务2.随机事务的运算事务的运算定义图形表示符号表示交事务一般地，由事务A与事务B都发生所构成的事务，称为事务A与事务B的交事务(或积事务)A∩B(或AB)并事务一般地，由事务A与事务B至少有一个发生所构成的事务，称为事务A与事务B的并事务(或和事务)A∪B(或A＋B)3.互斥事务与对立事务事务的运算定义图形表示符号表示互斥事务一般地，不能同时发生的两个事务A与B(A∩B＝∅)称为互斥事务．它可以理解为A，B同时发生这一事务是不行能事务A∩B＝∅对立事务若A与B互斥(A∩B＝∅)，且A∪B＝Ω，则称事务A与事务B互为对立事务，事务A的对立事务记作eq\x\to(A)A∩B＝∅且A∪B＝Ω思索：1.一颗骰子投掷一次，记事务A＝{出现的点数为2}，事务C＝{出现的点数为偶数}，事务D＝{出现的点数小于3}，则事务A，C，D有什么关系？提示：A＝C∩D.2．命题“事务A与B为互斥事务”与命题“事务A与B为对立事务”之间是什么关系？(指充分性与必要性)提示：依据互斥事务和对立事务的概念可知，“事务A与B为互斥事务”是“事务A与B为对立事务”的必要不充分条件．1．从装有3个红球和4个白球的口袋中任取3个小球，则下列选项中两个事务是互斥事务的为()A．“都是红球”与“至少一个红球”B．“恰有两个红球”与“至少一个白球”C．“至少一个白球”与“至多一个红球”D．“两个红球，一个白球”与“两个白球，一个红球”D[A，B，C中两个事务都可以同时发生，只有D项，两个事务不行能同时发生，是互斥事务．]2．抛掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事务A，“向上的点数是2或3”为事务B，则()A．A⊆BB．A＝BC．A＋B表示向上的点数是1或2或3D．AB表示向上的点数是1或2或3C[设A＝{1，2}，B＝{2，3}，A∩B＝{2}，A∪B＝{1，2，3}，∴A＋B表示向上的点数为1或2或3.]3．在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，则下列事务：①在这200件产品中随意选9件，全部是一级品；②在这200件产品中随意选9件，全部都是二级品；③在这200件产品中随意选9件，不全是一级品．其中_______是随机事务；_______是不行能事务．(填序号)①③②[因为二级品只有8件，故9件产品不行能全是二级品，所以②是不行能事务．]事务类型的推断【例1】指出下列事务是必定事务、不行能事务还是随机事务．(1)某人购买福利彩票一注，中奖500万元；(2)三角形的内角和为180°；(3)没有空气和水，人类可以生存下去；(4)同时抛掷两枚硬币一次，都出现正面对上；(5)从分别标有1，2，3，4的四张标签中任取一张，抽到1号标签；(6)科学技术达到肯定水平后，不需任何能量的“永动机”将会出现．[解](1)购买一注彩票，可能中奖，也可能不中奖，所以是随机事务．(2)全部三角形的内角和均为180°，所以是必定事务．(3)空气和水是人类生存的必要条件，没有空气和水，人类无法生存，所以是不行能事务．(4)同时抛掷两枚硬币一次，不肯定都是正面对上，所以是随机事务．(5)随意抽取，可能得到1，2，3，4号标签中的任一张，所以是随机事务．(6)由能量守恒定律可知，不需任何能量的“永动机”不会出现，所以是不行能事务．推断一个事务是哪类事务的方法推断一个事务是哪类事务要看两点：一看条件，因为三种事务都是相对于肯定条件而言的；二看结果是否发生，肯定发生的是必定事务，不肯定发生的是随机事务，肯定不发生的是不行能事务．eq\a\vs4\al([跟进训练])1．下列事务不是随机事务的是()A．东边日出西边雨B．下雪不冷化雪冷C．清明季节雨纷纷D．梅子黄时日日晴B[B是必定事务，其余都是随机事务．]事务关系的推断【例2】某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参与演讲竞赛，推断下列每对事务是不是互斥事务，假如是，再推断它们是不是对立事务．(1)“恰有1名男生”与“恰有2名男生”；(2)“至少有1名男生”与“全是男生”；(3)“至少有1名男生”与“全是女生”；(4)“至少有1名男生”与“至少有1名女生”．[解]从3名男生和2名女生中任选2人有如下三种结果：2名男生，2名女生，1男1女．(1)“恰有一名男生”指1男1女，与“恰有2名男生”不能同时发生，它们是互斥事务；但是当选取的结果是2名女生时，两个事务都不发生，所以它们不是对立事务．(2)“至少一名男生”包括2名男生和1男1女两种结果，与事务“全是男生”可能同时发生，所以它们不是互斥事务．(3)“至少一名男生”与“全是女生”不行能同时发生，所以它们互斥，由于它们必有一个发生，所以它们是对立事务．(4)“至少有一名女生”包括1男1女与2名女生两种结果，当选出的是1男1女时，“至少有一名男生”与“至少有一名女生”同时发生，所以它们不是互斥事务．推断事务间关系的方法(1)要考虑试验的前提条件，无论是包含、相等，还是互斥、对立，其发生的条件都是一样的．(2)考虑事务间的结果是否有交事务，可考虑利用Venn图分析，对较难推断关系的，也可列出全部结果，再进行分析．eq\a\vs4\al([跟进训练])2．从一堆产品(其中正品与次品都多于2件)中任取2件，视察正品件数与次品件数，推断下列每个事务是不是互斥事务，假如是，再推断它们是不是对立事务．(1)“恰好有1件次品”和“恰好有2件次品”；(2)“至少有1件次品”和“全是次品”；(3)“至少有1件正品”和“至少有1件次品”．[解]依据互斥事务的定义，即事务A与事务B在一次试验中不会同时发生可知：(1)中恰好有1件次品和恰好有2件次品不行能同时发生，因此它们是互斥事务，又因为它们的和事务不是必定事务，所以它们不是对立事务；同理可以推断(2)中的2个事务不是互斥事务，从而也不是对立事务；(3)中的2个事务不是互斥事务，从而也不是对立事务．事务的运算[探究问题]1．事务的运算与集合的运算有什么对应关系？[提示]由事务A与事务B都发生所构成的事务，称为事务A与事务B的交事务，对应集合A与集合B的公共元素构成的集合为A∩B；由事务A与事务B至少有一个发生所构成的事务，称为事务A与事务B的并事务，对应由集合A或集合B中的元素组成的集合为A∪B.2．进行事务的运算，有哪些方法？[提示](1)利用事务间运算的定义．列出同一条件下的试验全部可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事务间的运算．(2)利用Venn图．借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验全部可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算．【例3】在投掷骰子试验中，依据向上的点数可以定义很多事务，如：A＝{出现1点}，B＝{出现3点或4点}，C＝{出现的点数是奇数}，D＝{出现的点数是偶数}．(1)说明以上4个事务的关系；(2)求A∩B，A∪B，A∪D，B∩D，B∪C.[思路点拨](1)eq\x(分析事务所包含的样本点)→eq\x(推断事务的关系)(2)eq\x(样本点表示各事务)→eq\x(进行事务的运算)[解]在投掷骰子的试验中，依据向上出现的点数有6种基本领件，记作Ai＝{出现的点数为i}(其中i＝1，2，…，6).则A＝A1，B＝A3∪A4，C＝A1∪A3∪A5，D＝A2∪A4∪A6.(1)事务A与事务B互斥，但不对立，事务A包含于事务C，事务A与D互斥，但不对立；事务B与C不是互斥事务，事务B与D也不是互斥事务；事务C与D是互斥事务，也是对立事务．(2)A∩B＝∅，A∪B＝A1∪A3∪A4＝{出现点数1，3或4}，A∪D＝A1∪A2∪A4∪A6＝{出现点数1，2，4或6}．B∩D＝A4＝{出现点数4}．B∪C＝A1∪A3∪A4∪A5＝{出现点数1，3，4或5}．1．在例3的条件下，求A∩C，A∪C，B∩C.[解]A∩C＝A＝{出现1点}，A∪C＝C＝{出现点数1，3或5}，B∩C＝A3＝{出现点数3}．2．用事务Ai＝{出现的点数为i}(其中i＝1，2，…，6)表示下列事务：(1)B∪D；(2)C∪D.[解](1)B∪D＝{出现点数2，3，4或6}＝A2∪A3∪A4∪A6.(2)C∪D＝{出现点数1，2，3，4，5，6}＝A1∪A2∪A3∪A4∪A5∪A6.进行事务运算应留意的问题(1)进行事务的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析．(2)在一些比较简洁的题目中，须要推断事务之间的关系时，可以依据常识来推断．但假如遇到比较困难的题目，就得严格依据事务之间关系的定义来推理．1．辨析随机事务、必定事务、不行能事务时要留意看清条件，在给定的条件下推断是肯定发生(必定事务)，还是不肯定发生(随机事务)，还是肯定不发生(不行能事务).2．互斥事务和对立事务都是针对两个事务而言的，它们两者之间既有区分又有联系．在一次试验中，两个互斥事务有可能都不发生，也可能有一个发生，但不行能两个都发生；而两个对立事务必有一个发生，但是不行能两个事务同时发生，也不行能两个事务都不发生．所以两个事务互斥，它们未必对立；反之，两个事务对立，它们肯定互斥．1．思索辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)若两个事务是互斥事务，则这两个事务是对立事务． ()(2)若事务A和B是互斥事务，则A∩B是不行能事务． ()(3)事务A∪B是必定事务，则事务A和B是对立事务． ()[提示](1)错误．对立事务是互斥事务，但互斥事务不肯定是对立事务．(2)正确．因为事务A和B是互斥事务，所以A∩B为空集，所以A∩B是不行能事务．(3)错误．反例：抛掷一枚骰子，事务A为：向上的点数小于5，事务B为：向上的点数大于2，则事务A∪B是必定事务，但事务A和B不是对立事务．[答案](1)×(2)√(3)×2．从1，2，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个数都是奇数；③至少有一个奇数和两个数都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述事务中，为对立事务的是()A．①B．②④C．③D．①③C[从1，2，…，9中任取两数，包括一奇一偶、两奇、两偶，共三种互斥事务，所以只有③中的两个事务才是对立事务．]3．从100个同类产品中(其中有2个次品)任取3个．①三个正品；②两个正品，一个次品；③一个正品，两个次品；④三个次品；⑤至少一个次品；⑥至少一个正品．其中必定事务是________，不行能事务是________，随机事务是________．⑥④①②③⑤[从100个产品(其中2个次品)中取3个可能结果是．“三个全是正品”“