2024-2025学年广东省佛山市南海区九年级（上）期末数学试卷

第1页（共1页）2024-2025学年广东省佛山市南海区九年级（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（3分）方程x2＝x的解是（）A．x＝1 B．x＝0 C．x1＝1，x2＝0 D．x1＝﹣1，x2＝02．（3分）若菱形ABCD的边AB的长为2cm，则菱形ABCD的周长为（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm3．（3分）如图所示的几何体的左视图是（）A． B． C． D．4．（3分）如题4图，△ABC与△A'B'C'位似，位似中心为点O，△A'B'C'的周长为6，则△ABC的周长为（）A．9 B．12 C． D．185．（3分）在一个不透明的箱子里有n个除颜色外完全相同的小球，其中白球只有6个，每次将球充分摇匀后，记下颜色后放回．通过大量的重复试验后发现，摸到白球的频率为0.4（）A．10 B．15 C．16 D．216．（3分）一元二次方程x2+5x+6＝0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定7．（3分）如图是小明所设计的花架侧面简易图，已知AD∥BE∥CF，AB＝30cm，DE＝36cm，则EF＝（）A．27cm B．42cm C．48cm D．52cm8．（3分）在▱ABCD中，AC、BD是它的两条对角线，添加下列其中一个条件就能使▱ABCD成为矩形（）A．AC＝BD B．AC⊥BD C．AB＝BC D．AC平分∠BAD9．（3分）一次函数y＝mx+m与反比例函数在同一坐标系中的图象可能是（）A． B． C． D．10．（3分）如果把周长为20、面积为8的矩形，周长和面积分别减半（简称为减半矩形），以下结论正确的是（）A．不存在这样的减半矩形 B．存在无数个这样的减半矩形 C．减半矩形的较长一边长为 D．减半矩形的较长一边长为4二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。11．（3分）已知2a﹣5b＝0，则＝．12．（3分）请写出一个关于x的一元二次方程，使该方程有一个正根和一个负根，那么这个方程可以是．13．（3分）某兴趣小组的同学在同一时刻测量了直立在太阳下的四根竹竿的影长，结果如下：竹竿高度/米0.91.51.62.1影长/米2.74.54.86.3小明在这一时刻测得一棵大树的影长为36米，则这棵大树的高度是米．14．（3分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，若CD＝3，则BC的长是．15．（3分）如图，AB∥EF∥CD，E为AD与BC的交点，若AB＝2，CD＝5．三、解答题：本大题共8小题，16～18题每题7分，19～21题每题9分，22题13分，23题14分，共75分。16．（7分）解方程：（x﹣2）（x+3）＝14．17．（7分）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，BD＝12，求AC的长．18．（7分）据统计，某企业2021年利润为1000万元，2023年利润为1440万元（1）求该企业利润的年平均增长率；（2）若2024年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2024年的利润能否超过2000万元？19．（9分）2024年国庆假期，佛山各旅游景区持续火热．小王和小李准备到祖庙、千灯湖、西樵山、南海影视城（分别记作A、B、C、D）参加公益讲解活动．（1）若小王在这4个景区中随机选择1个景区，则选中祖庙的概率是；（2）小王和小李在A、B、C三个景区中，各自随机选择1个景区，请用画树状图或列表的方法20．（9分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+n的图象与反比例函数（n，m），B（﹣m，﹣n）．（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）根据图象，直接写出关于x的不等式的解集；（3）连接OA、OB，求△OAB的面积．21．（9分）综合与实践【主题】测量旗杆AB的高度．【工具】伸缩杆，平面镜，卷尺．【步骤】步骤1：小明在旗杆AB前的C处放置了一根垂直于地面的伸缩杆CD，将伸缩杆的高度调整为2米，这时地面上的点E、伸缩杆的顶端D和旗杆的顶端B正好在同一直线上；步骤2：小明从点E出发沿着EG方向前进9米，到达点F；步骤3：小明在点F处放置一平面镜，小亮站在G处时，恰好在平面镜中看到旗杆的顶端B的像，GF＝3米．【问题解决】已知点C、E、F、G与旗杆的底端A在同一直线上，AB⊥AG，CD⊥AG，请你根据以上测量过程与数据（平面镜大小忽略不计）．（1）求证：△ABE∽△DCE；（2）求该旗杆AB的高度．22．（13分）如图，在正方形ABCD中，点E为对角线AC上一动点（点E不与A、C重合），过点E作EF⊥BE交直线CD于F，将线段BE绕点B顺时针旋转90°得到线段BG，GC，GF．（1）求证：△ABE≌△CBG；（2）试探究CE+CG与BC的数量关系，并说明理由．（3）若正方形ABCD的边长为2，求GA+GB的最小值．23．（14分）如图，F为正方形OABC的边AB的中点，反比例函数，连接OE、OF、DF，BE＝1，．（1）求k的值；（2）求证：OF⊥DF；（3）猜想∠AOF与∠COE的数量关系，并证明．

2024-2025学年广东省佛山市南海区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析题号12345678910答案CDDABBCACD一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（3分）方程x2＝x的解是（）A．x＝1 B．x＝0 C．x1＝1，x2＝0 D．x1＝﹣1，x2＝0【解答】解：方程移项得：x2﹣x＝0，分解因式得：x（x﹣3）＝0，可得x＝0或x﹣8＝0，解得：x1＝8，x2＝0．故选：C．2．（3分）若菱形ABCD的边AB的长为2cm，则菱形ABCD的周长为（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm【解答】解：∵菱形ABCD的边AB的长为2cm，∴AB＝BC＝CD＝AD＝2cm，∴菱形ABCD的周长为7×2＝8（cm），故选：D．3．（3分）如图所示的几何体的左视图是（）A． B． C． D．【解答】解：根据简单组合体的三视图的画法可知，其左视图是中间有一道横虚线的长方形，因此选项D的图形比较符合题意，故选：D．4．（3分）如题4图，△ABC与△A'B'C'位似，位似中心为点O，△A'B'C'的周长为6，则△ABC的周长为（）A．9 B．12 C． D．18【解答】解：∵OC′：C′C＝2：1，∴OC′：CO＝2：3，∵△ABC与△A'B'C'位似，∴△ABC∽△A'B'C'，A′C′∥AC，∴△AOC∽△A'OC'，∴＝＝，∴△A'B'C'的周长：△ABC的周长＝2：3，∵△A'B'C'的周长为3，∴△ABC的周长为9，故选：A．5．（3分）在一个不透明的箱子里有n个除颜色外完全相同的小球，其中白球只有6个，每次将球充分摇匀后，记下颜色后放回．通过大量的重复试验后发现，摸到白球的频率为0.4（）A．10 B．15 C．16 D．21【解答】解：∵通过大量的重复试验后发现，摸到白球的频率为0.4，∴＝0.4，∴n约为15，故选：B．6．（3分）一元二次方程x2+5x+6＝0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定【解答】解：一元二次方程x2+5x+7＝0，∵Δ＝58﹣4×1×2＝1＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：B．7．（3分）如图是小明所设计的花架侧面简易图，已知AD∥BE∥CF，AB＝30cm，DE＝36cm，则EF＝（）A．27cm B．42cm C．48cm D．52cm【解答】解：∵AB∥EF∥CD，∴＝，∵AB＝30cm，BC＝40cm，∴＝，∴EF＝48（cm）．故选：C．8．（3分）在▱ABCD中，AC、BD是它的两条对角线，添加下列其中一个条件就能使▱ABCD成为矩形（）A．AC＝BD B．AC⊥BD C．AB＝BC D．AC平分∠BAD【解答】解：A、由AC＝BD能判定▱ABCD为菱形；B、由AC⊥BD，故此选项不符合题意；C、由AB＝BC能判定▱ABCD为菱形；D、AC平分∠BAD，故此选项不符合题意；故选：A．9．（3分）一次函数y＝mx+m与反比例函数在同一坐标系中的图象可能是（）A． B． C． D．【解答】解：A、由函数y＝mx+m的增减性可知m＞0，相矛盾；B、由函数y＝mx+m的增减性可知m＜0，相矛盾；C、由函数y＝mx+m的图象可知m＜6的图象可知m＜0；D、由函数y＝mx+m的图象可知m＜0的图象可知m＞8，故D错误；故选：C．10．（3分）如果把周长为20、面积为8的矩形，周长和面积分别减半（简称为减半矩形），以下结论正确的是（）A．不存在这样的减半矩形 B．存在无数个这样的减半矩形 C．减半矩形的较长一边长为 D．减半矩形的较长一边长为4【解答】解：设矩形的长为x，宽为y，则2（x+y）＝20，xy＝8，∴x+y＝10，设减半矩形的长为a，宽为b，由题意得：，解得：或（不符合题意，∴减半矩形的两邻边长分别为4、4，即减半矩形的较长一边长为4，∴A、B、C选项不合题意，故选：D．二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。11．（3分）已知2a﹣5b＝0，则＝．【解答】解：∵2a﹣5b＝2，∴2a＝5b，∴＝．故答案为：．12．（3分）请写出一个关于x的一元二次方程，使该方程有一个正根和一个负根，那么这个方程可以是x2﹣1＝0（答案不唯一）．【解答】解：一个关于x的一元二次方程，使其一根为1，则这个方程是x2﹣2＝0，故答案为：x2﹣2＝0（答案不唯一）．13．（3分）某兴趣小组的同学在同一时刻测量了直立在太阳下的四根竹竿的影长，结果如下：竹竿高度/米0.91.51.62.1影长/米2.74.54.86.3小明在这一时刻测得一棵大树的影长为36米，则这棵大树的高度是12米．【解答】解：观察可知，竹竿的影长是高度的三倍，∴这棵大树的影长是高度的三倍，∵棵大树的影长为36米，∴这棵大树的高度是36÷3＝12（米）．故答案为：12．14．（3分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，若CD＝3，则BC的长是3．【解答】解：如图：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD＝3，∴AB＝2CD＝8，∵∠A＝60°，∴∠B＝90°﹣∠A＝30°，∴AC＝AB＝6，∴BC＝＝＝3，故答案为：8．15．（3分）如图，AB∥EF∥CD，E为AD与BC的交点，若AB＝2，CD＝5．【解答】解：∵EF∥AB，∴△DEF∽△DAB，∴＝，∵EF∥CD，∴△BEF∽△BCD，∴＝，∴+＝+＝＝1，∴AB＝2，CD＝8，∴+＝4，∴EF＝，故答案为：．三、解答题：本大题共8小题，16～18题每题7分，19～21题每题9分，22题13分，23题14分，共75分。16．（7分）解方程：（x﹣2）（x+3）＝14．【解答】解：（x﹣2）（x+3）＝14，x4+x﹣6＝14，x2+x﹣20＝6，（x+5）（x﹣4）＝8，x+5＝0或x﹣6＝0，∴x1＝﹣6，x2＝4．17．（7分）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，BD＝12，求AC的长．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD＝BD＝3，∵AB＝AD，∴AO⊥BD，∴AO＝＝＝8，∴AC＝5AO＝16．18．（7分）据统计，某企业2021年利润为1000万元，2023年利润为1440万元（1）求该企业利润的年平均增长率；（2）若2024年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2024年的利润能否超过2000万元？【解答】解：（1）设该企业的年平均增长率为x，由题意得：1000（1+x）2＝1440，解得：x8＝0.2＝20%，x3＝﹣2.2（不合题意，舍去），答：该企业的年平均增长率为20%；（2）由题意可知，该企业2024年的利润为：1440×（8+20%）＝1728（万元），∵1728＜2000，∴该企业2024年的利润不能超过2000万元．19．（9分）2024年国庆假期，佛山各旅游景区持续火热．小王和小李准备到祖庙、千灯湖、西樵山、南海影视城（分别记作A、B、C、D）参加公益讲解活动．（1）若小王在这4个景区中随机选择1个景区，则选中祖庙的概率是；（2）小王和小李在A、B、C三个景区中，各自随机选择1个景区，请用画树状图或列表的方法【解答】解：（1）小王在这4个景区中随机选择1个景区，则选中祖庙的概率是．故答案为：；（2）列表如下：ABCAAAABACBBABBBCCCACBCC共有9种等可能结果，其中小王和小李选到相同景区的结果有3种，∴小王和小李选到相同景区的概率为．20．（9分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+n的图象与反比例函数（n，m），B（﹣m，﹣n）．（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）根据图象，直接写出关于x的不等式的解集；（3）连接OA、OB，求△OAB的面积．【解答】解：（1）把A（n，m）代入一次函数y＝x+n的图象与反比例函数，解得，∴一次函数解析式为y＝x+1，反比例函数解析式为y＝；（2）∵m＝6，n＝1，∴A（1，7），﹣1），∴关于x的不等式的解集为：x≤﹣2或4＜x≤1；（3）当x＝0时，y＝x+2＝1，∴直线与y轴的交点坐标为（0，2），∴△OAB的面积为＝．21．（9分）综合与实践【主题】测量旗杆AB的高度．【工具】伸缩杆，平面镜，卷尺．【步骤】步骤1：小明在旗杆AB前的C处放置了一根垂直于地面的伸缩杆CD，将伸缩杆的高度调整为2米，这时地面上的点E、伸缩杆的顶端D和旗杆的顶端B正好在同一直线上；步骤2：小明从点E出发沿着EG方向前进9米，到达点F；步骤3：小明在点F处放置一平面镜，小亮站在G处时，恰好在平面镜中看到旗杆的顶端B的像，GF＝3米．【问题解决】已知点C、E、F、G与旗杆的底端A在同一直线上，AB⊥AG，CD⊥AG，请你根据以上测量过程与数据（平面镜大小忽略不计）．（1）求证：△ABE∽△DCE；（2）求该旗杆AB的高度．【解答】（1）证明：∵AB⊥AE，DC⊥AE，∴CD∥AB，∴△ABE∽△DCE；（2）解：∵EF＝9米，∴AF＝（EA+9）米，∵AB⊥AG，CD⊥AG，∴AB∥CD，∴△ECD∽△EAB，∴＝，∵EC＝5米，CD＝2米，∴EA＝AB，∵AB⊥AG，GH⊥AG，∴∠BAF＝∠HGF＝90°，又∵∠BFA＝∠HFG，∴△BFA∽△HFG，∴＝，即＝，∴＝，解得：AB＝18，∴该旗杆AB的高度为18米．22．（13分）如图，在正方形ABCD中，点E为对角线AC上一动点（点E不与A、C重合），过点E作EF⊥BE交直线CD于F，将线段BE绕点B顺时针旋转90°得到线段BG，GC，GF．（1）求证：△ABE≌△CBG；（2）试探究CE+CG与BC的数量关系，并说明理由．（3）若正方形ABCD的边长为2，求GA+GB的最小值．【解答】（1）证明：过E作EM⊥BC于点M，作EN⊥CD于点N，连接BG，∵四边形ABCD是正方形，AC平分∠BCD，∴EM＝EN，∵∠EMC＝∠MCN＝∠ENC＝90°，∴∠MEN＝90°，∵EF⊥BE，∴∠BEM+∠MEF＝∠FEN+∠MEF＝90°，∴∠BEM＝∠FEN，∵∠EMB＝∠ENF＝90°，EM＝EN，∴△BEM≌△FEN（ASA），∴BE＝EF，∵∠BEF＝∠EBG＝90°，BE＝BG，∴EF＝BG，EF∥BG，∴四边形BEFG是平行四边形，∵∠BEF＝90°，BE＝EF，∴四边形BEFG是正方形，∴∠EBG＝90°，BE＝BG，∵∠ABC＝90°，∴∠ABE+∠EBC＝∠EBC+∠CBG＝90°，∴∠ABE＝∠CBG，∵AB＝BC，BE＝BG，∴△ABE≌△CBG（SAS）；（2）解：CG+CE＝BC由（1）知：△ABE≌△CBG，∴∠BAE＝∠BCG＝45°，AE＝CG，∴∠BAE+∠BCA＝90°，∴∠BCA+∠BCG＝90°，即∠ACG＝90°，∴AC⊥GC，∵AE＝CG，∴CG+CE＝AE+CE＝AC，∵∠ACB＝45°，∴AC＝BC，∴CG+CE＝BC；（3）解：如图，延长DC至H，连接BG，∵∠BCG＝45°，∠BCH＝90°，∴∠BCG＝∠GCH＝45°，又∵BC＝CH，CG＝CG，∴△BCG≌△HCG（SAS），∴BG＝GH，∴AG+BG＝AG+GH，∴当点G，点A，AG+GH有最小值，∴AH＝