九年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪科版）-重难点专项突破04二次函数综合（5种题型）（原卷版）

重难点专项突破04二次函数综合（5种题型）【题型细目表】题型一：线段周长问题题型二：面积问题题型三：角度问题题型四：特殊三角形问题题型五：特殊四边形问题【考点剖析】题型一：线段周长问题一、填空题1．（2023·安徽阜阳·校联考模拟预测）平面直角坐标系中，将抛物线平移得到抛物线C，如图所示，且抛物线C经过点和，点P是抛物线C上第一象限内一动点，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，则的最大值为______．二、解答题2．（2023春·安徽六安·九年级校考阶段练习）如图，二次函数与一次函数的图象交于A，B两点，点A在y轴上，点B在x轴上，一次函数的图象与二次函数的对称轴交于点P．(1)点P的坐标为______；(2)点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，点C的坐标为，，求关于n的函数表达式和的最小值．3．（2023·安徽合肥·合肥寿春中学校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于、两点，点的横坐标为．(1)求直线和抛物线的解析式；(2)点是直线下方的抛物线上一动点不与点、重合，过点作轴的平行线，与直线交于点，连接，设点的横坐标为．①若点在轴上方，当为何值时，是等腰三角形；②若点在轴下方，设的周长为，求关于的函数关系式，当为何值时，的周长最大，最大值是多少？4．（2023·安徽宿州·统考一模）如图，抛物线（）与轴交于，两点，与轴交于点．(1)求，的值；(2)点是第四象限内抛物线上一点，连接，过点作的平行线，交轴于点，交轴于点，设点的横坐标为．①若直线的解析式为，试用含的代数式表示；②若点是线段的中点，试求点的坐标．5．（2023·安徽·校联考一模）如图，点在x轴上，点在y轴上，以为直角边作等腰直角，使，，且点C落在第一象限，二次函数的图象经过点B，C．(1)试确定二次函数的表达式；(2)已知点P是抛物线的对称轴上的一动点，且，求点P的坐标．6．（2023春·安徽蚌埠·九年级校联考期中）已知二次函数．(1)若，，且该二次函数的图象过点，求a的值；(2)如图所示，在平面直角坐标系中，该二次函数的图象与x轴相交于不同的两点，，其中，，且该二次函数的图象的顶点在矩形的边上，其对称轴与x轴，AC分别交于点M，N，与y轴相交于点E，且满足．①求关于x的一元二次方程根的判别式的值；②若，令，求T的最小值．7．（2023·安徽合肥·校考一模）已知抛物线与直线相交于A、B两点（点A在点B的左侧），点M为线段下方抛物线上一动点，过点M作∥轴交于点G．(1)当∥轴时，①求点A、B的坐标；②求的值；(2)当时，的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由；8．（2023·安徽马鞍山·校考一模）如图，二次函数的图象与轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），一次函数的图象经过点B和二次函数图象上另一点A．其中点A的坐标为（4，3）．（1）求二次函数和一次函数的解析式；（2）若抛物线上的点P在第四象限内，过点P作轴的垂线PQ，交直线AB于点Q，求线段PQ的最大值．9．（2023·安徽·九年级专题练习）已知如图，二次函数的图象交x轴于A，C两点，交y轴于点，此抛物线的对称轴交x轴于点D，点P为y轴上的一个动点，连接．(1)求a的值；(2)求的最小值．10．（2023·安徽合肥·统考二模）已知：抛物线与轴交于点A、B（点B在轴正半轴），顶点为C，且．(1)求a的值；(2)求的面积；(3)若点为抛物线上一点，轴交直线于点，求的最小值．11．（2023·安徽芜湖·一模）已知抛物线与直线交于点(1)若抛物线经过时，求抛物线解析式；(2)设P点的纵坐标为，当取最小值时，抛物线上有两点，，，比较与的大小；(3)若线段两端点坐标分别是，，当抛物线与线段有公共点时，求出m的取值范围．12．（2023春·安徽宿州·九年级统考期中）如图1，已知抛物线：与直线交于、两点（M在N的左侧）．(1)求抛物线的解析式；(2)在直线的上方的抛物线上有一点C，若，求点C的坐标；(3)如图2，将抛物线平移后得到新的抛物线，的顶点为原点，为抛物线第一象限内任意一点，直线与抛物线交于A、B两点，直线与y轴交于点G，分别与直线PA、PB交于E、F两点．若，求点P的横坐标．13．（2023·安徽淮北·淮北市第二中学校考二模）抛物线与轴交于点，，直线与抛物线交于，两点．(1)求抛物线的解析式．(2)在此抛物线的对称轴上是否存在一点，使得的周长最小？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．(3)若点为直线上方的抛物线上的一个动点（不与点，重合），将直线上方的抛物线部分关于直线对称形成爱心图案，动点关于直线对称的点为，求的取值范围．题型二：面积问题一、单选题1．（2023·安徽合肥·校考模拟预测）如图，垂直于x轴的直线AB分别与抛物线：（x≥0）和抛物线：（x≥0）交于A，B两点，过点A作CD∥x轴分别与y轴和抛物线C2交于点C，D，过点B作EF∥x轴分别与y轴和抛物线C1交于点E，F，则的值为（）A． B． C． D．2．（2023秋·安徽亳州·九年级统考期末）如图，抛物线与x轴交于点A，B两点，与y轴负半轴交于点C，其顶点为M，点D，E分别是的中点，若与的面积比为9∶10，则c的值为（）A． B． C． D．二、解答题3．（2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测）如图，将边长为的正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向平移，得到．设平移的距离为，两个三角形重叠部分(阴影四边形)的面积为(1)当时，求的值．(2)试写出与间的函数关系式，并求的最大值．(3)是否存在的值，使重叠部分的四边形的相邻两边之比为：？如果存在，请求出此时的平移距离；如果不存在，请说明理由．4．（2023春·安徽黄山·九年级校联考阶段练习）已知关于x的二次函数（m是常数）．(1)若该二次函数的图像经过点，①求m的值；②若该二次函数的图像与x轴交于点B，C（点B在点C的左侧），求的面积；(2)若该二次函数的图像与y轴交于点P，求点P纵坐标的最大值；5．（2023·安徽安庆·统考一模）如图1，在中，，，，点D在边上（不与点B重合），以为一边作正方形，连接．(1)如图2，当时，①求正方形的边长；②求证：；(2)当点D在上运动时，求面积的最大值．6．（2023·安徽池州·校联考二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x＋bx＋c的图象与坐标轴相交于A、B、C三点，其中点A坐标为（3，0），点B坐标为（－1，0），连接AC、BC，动点P从点A出发，在线段AC上以每秒个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从点B出发，在线段BA上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t秒．(1)求b、c的值；(2)在P、Q运动的过程中，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为多少？7．（2023·安徽·九年级专题练习）已知直线与x轴交于A点、与y轴交于B点，点P是线段AB上任意一点．(1)求A、B两点的坐标；(2)设P点的坐标为（m，n），且以P为顶点的抛物线W经过C（﹣2，0）和D（d，0），求m与n的函数关系式及△PCD面积的最大值．8．（2023秋·安徽宣城·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点两点，和y轴相交于点B，连接、．(1)求抛物线的解析式（关系式）；(2)在直线上方的抛物线上，找一点D，使，并求出此时点D的坐标．9．（2023·安徽·校联考一模）如图1，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．(1)求抛物线的顶点纵坐标的最小值；(2)若，点P为抛物线上一点，且在A、B两点之间运动．①是否存在点Р使得，若存在，求出点P坐标，若不存在，请说明理由；②如图2，连接，相交于点M，当的值最大时，求直线的表达式．10．（2023·安徽六安·校联考一模）已知抛物线：经过点，．(1)求抛物线的解析式．(2)将抛物线向上平移4个单位长度得到抛物线，抛物线与x轴交于，，两点（其中点在点的左侧），与y轴交于点，连接．为第一象限内抛物线上的一个动点．①当面积最大时，求点的坐标．②抛物线的对称轴交x轴于点，过点作于点，交x轴点于．当点在线段上时，求的取值范围．11．（2023·安徽合肥·合肥市第四十八中学校考一模）如图1，二次函数的图像与轴交于点，，与轴交于点．(1)求二次函数的解析式；(2)点为抛物线上一动点．①如图2，过点作轴的平行线与抛物线交于另一点，连接，．当时，求点的坐标；②如图3，若点在直线上方的抛物线上，连接与交于点，求的最大值．12．（2023·安徽亳州·统考二模）如图，经过点的抛物线与直线相交于点两点，并与边长为2的正方形相交于点．(1)试求抛物线和直线的函数解析式；(2)若抛物线在第一象限的图像上有一点，它的横坐标为．①请用含的式子表示的面积；②若点到直线的距离最远，请直接写出此时点的坐标．13．（2023·安徽宿州·统考二模）已知抛物线：经过点．(1)求抛物线的解析式．(2)将抛物线向上平移4个单位长度得到抛物线，与x轴交于A，B两点（其中点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接，D为第一象限内抛物线上的一个动点．①当面积最大时，求点D的坐标；②抛物线的对称轴交x轴于点G，过点D作于点E，交x轴于点F．当点F在线段上时，求的取值范围．14．（2023秋·安徽亳州·九年级统考期末）如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求二次函数的表达式；

（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标；

（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．15．（2023·安徽·模拟预测）如图，直线交轴于点，交轴于点，抛物线经过点，点，且交轴于另一点．(1)求抛物线的解析式；(2)在直线上方的抛物线上有一点，求四边形面积的最大值及此时点的坐标．16．（2023·安徽合肥·合肥寿春中学校考一模）如图，抛物线过点，，且与y轴交于点C，点E是抛物线对称轴与直线的交点(1)求抛物线的解析式；(2)求证：；(3)若点P是第四象限内抛物线上的一动点，设点P的横坐标为x，以点B、E、P为顶点的的面积为S，求S关于x的函数关系式，并求S的最大值．17．（2023·安徽合肥·统考一模）如图，抛物线与轴正半轴交于点，与轴交于点，且经过点，抛物线的对称轴为直线．(1)求抛物线的解析式．(2)若是抛物线上位于第四象限上的点，求点到直线距离的最大值．(3)已知，，线段以每秒1个单位长度的速度向右平移，同时抛物线以每秒1个单位长度的速度向上平移，秒后，若抛物线与线段有两个交点，求的取值范围．18．（2023·安徽黄山·统考二模）已知二次函数，其中．

(1)当该函数的图像经过原点，求此时函数图像的顶点A的坐标；(2)求证：二次函数的顶点在第三象限；(3)如图，在（1）的条件下，若平移该二次函数的图像，使其顶点在直线上运动，平移后所得函数的图像与y轴的负半轴的交点为B，求面积的最大值．题型三：角度问题一、解答题1．（2023·安徽宣城·校联考一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点D的坐标为，并与x轴交于点A，点．(1)求抛物线的解析式；(2)点P是抛物线上一点（不与点D重合），直线将的面积分成两部分，求点P的坐标；(3)点Q从点C出发，以每秒2个单位的速度在y轴运动，运动时间为t秒，当时，求t的值．2．（2022秋·安徽合肥·九年级校考阶段练习）如图，已知抛物线的顶点M（0，4），与x轴交于A（－2，0）、B两点，(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点C（0，2），P为抛物线上一点，过点P作PQy轴交直线BC于Q（P在Q上方），再过点P作PRx轴交直线BC于点R，若△PQR的面积为2，求P点坐标；(3)如图2，在抛物线上是否存在一点D，使∠MAD＝45°，若存在，求出D点坐标，若不存在，请说明理由．3．（2022·安徽合肥·统考一模）如图，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，已知．（1）求m的值和直线对应的函数表达式；（2）P为抛物线上一点，若，请直接写出点P的坐标；（3）Q为抛物线上一点，若，求点Q的坐标．二、填空题4．（2022·安徽合肥·校联考三模）如图，抛物线交x轴于点A、B，交y轴于点，其中点B坐标为，同时抛物线还经过点．（1）抛物线的解析式为_____________；（2）设抛物线的对称轴与抛物线交于点E，与x轴交于点H，连接，将抛物线向下平移n个单位，当平分时，则n的值为_____________．题型四：特殊三角形问题一、单选题1．（2022秋·安徽合肥·九年级校考阶段练习）如图，点A是抛物线与y轴的交点，轴交抛物线另一点于B，点C为该抛物线的顶点，若为等边三角形，则a值为（

）A． B． C． D．1二、填空题2．（2022秋·安徽合肥·九年级校联考期末）抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点M（x1，0），N（x2，0），且经过点A（0，1），其中0＜x1＜x2．过点A的直线l与x轴交于点C，与抛物线交于点B（异于点A），满足△CAN是等腰直角三角形，且S△BMN＝S△AMN．求该抛物线的解析式_____________．三、解答题3．（2022秋·安徽滁州·九年级校考阶段练习）如图，抛物线的对称轴为，抛物线与x轴相交于A、B两点与y轴交于点C，其中点A的坐标为(1)求点B的坐标；(2)若点P在AC下方的抛物线上，且，求点P的坐标；(3)在抛物线的对称轴上是否存在点G，使△ACG是直角三角形？若存在，求出符合条件的G点坐标；若不存在，请说明理由．4．（2022秋·安徽亳州·九年级校考阶段练习）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．(1)求A点和点B的坐标；(2)判断的形状，证明你的结论；5．（2022秋·安徽合肥·九年级合肥市庐阳中学校考期中）如图1的平面直角坐标系中，等腰直角三角形的斜边落在y轴的正半轴上，，点A与原点O重合．二次函数的图象恰好经过．(1)求二次函数的解析式；(2)在y轴的正半轴依次取点，，，…，，使得以，，，…，，为斜边的等腰直角三角形，，，…，的顶点，，，…，分别落在二次函数的图象上（如图2）．完成下列填空：______，______；(3)根据（2）观察分析得到的规律，试写出的长：______（用n的代数式表示）．6．（2022秋·安徽蚌埠·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像交坐标轴于A（-1，0）、B（4，0）、C（0，-4）三点，点P是直线BC下方抛物线上的一动点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）是否存在点P，使△POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；（3）动点P运动到什么位置时，四边形PBOC面积最大？求出此时点P坐标和四边形PBOC的最大面积．7．（2023春·安徽安庆·九年级校联考阶段练习）抛物线与x轴交于A，B两点（OA＜OB），与y轴交于点C．(1)求点A，B，C的坐标；(2)点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点E也从点O出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，设点P的运动时间为t秒（0＜t＜2）．①过点E作x轴的平行线，与BC相交于点D（如图所示），当t为何值时，的值最小，求出这个最小值并写出此时点E，P的坐标；②在满足①的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点F，使△EFP为直角三角形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．8．（2023秋·安徽蚌埠·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）是否存在点P，使△POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；（3）动点P运动到什么位置时，△PBC面积最大，求出此时P点坐标和△PBC的最大面积．9．（2023·安徽六安·校考二模）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与坐标轴交于点A（0，﹣3）、B（﹣1，0）、E（3，0），点P为抛物线上动点，设点P的横坐标为t．(1)若点C与点A关于抛物线的对称轴对称，求C点的坐标及抛物线的解析式；(2)若点P在第四象限，连接PA、PE及AE，当t为何值时，△PAE的面积最大？最大面积是多少？(3)是否存在点P，使△PAE为以AE为直角边的直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．10．（2022·安徽·统考二模）如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，经过B、C两点的抛物线y＝x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P．（1）求该抛物线的解析式；（2）当0＜x＜3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值；（3）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C、P、M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请写出所符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．11．（2022秋·安徽宿州·九年级统考期末）如图，已知抛物线经过A、B（-3，0）、C（0，3）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使点M到点O和点C的距离之和最小，求出此时点M的坐标；（3）设点P为抛物线的对称轴上的一个动点，直接写出使△BPC为直角三角形时点P的坐标．12．（2022·安徽合肥·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c交x轴于点A（﹣3，0）、B（1，0），在y轴上有一点E（0，1），连接AE．（1）求二次函数的表达式；（2）若点D为抛物线在x轴负半轴下方的一个动点，求△ADE面积的最大值；（3）抛物线对称轴上是否存在点P，使△AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标；若不存在，请说明理由．13．（2023·安徽·模拟预测）已知，如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，，点P为x轴下方的抛物线上一点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)连接