2024秋高中数学第三章导数及其应用3.4生活中的优化问题举例课堂演练含解析新人教A版选修1-1

PAGE1-第三章导数及其应用3.4生活中的优化问题举例A级基础巩固一、选择题1．炼油厂某分厂若要将原油精炼为汽油，则需对原油进行冷却和加热，假如第x小时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝eq\f(1,3)x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么，原油温度的瞬时改变率的最小值是()A．8 B.eq\f(20,3) C．－1 D．－8解析：原油温度的瞬时改变率为f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(0≤x≤5)，所以当x＝1时，原油温度的瞬时改变率取得最小值－1.答案：C2．设底为等边三角形的直三棱柱的体积为V，那么其表面积最小时底面边长为()A.eq\r(3,V) B.eq\r(3,2V) C.eq\r(3,4V) D．2eq\r(3,V)解析：设底面边长为x，则表面积S＝eq\f(\r(3),2)x2＋eq\f(4\r(3),x)V(x>0)．所以S′＝eq\f(\r(3),x2)(x3－4V)．令S′＝0，得x＝eq\r(3,4V).答案：C3．某工厂须要建一个面积为512m2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁．要使砌墙所用材料最省，则堆料场的长和宽各为()A．16m，16m B．32m，16mC．32m，8m D．16m，8m解析：如图所示，设场地一边长为xm，则另一边长为eq\f(512,x)m．因此新墙总长度L＝2x＋eq\f(512,x)(x>0)，L′＝2－eq\f(512,x2).令L′＝0，解得x＝16或x＝－16(舍去)．易得x＝16为微小值点．因为L在(0，＋∞)上只有一个极值点，所以它必是最小值点．当x＝16时，eq\f(512,x)＝32.故当堆料场的宽为16m，长为32m时，可使砌墙所用的材料最省．答案：B4．某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益r与年产量x的关系是r＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(400x－\f(1,2)x2，0≤x≤400，,80000，x>400，))则总利润最大时，年产量是()A．100 B．150 C．200 D．300解析：设年产量为x时，总利润为y，依题意，得y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(400x－\f(1,2)x2－20000－100x，0≤x≤400，,80000－20000－100x，x>400，))即y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(300x－\f(1,2)x2－20000，0≤x≤400，,60000－100x，x>400，))所以y′＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al(300－x，0≤x≤400，,－100，x>400)))由y′＝0，得x＝300.阅历证，当x＝300时，总利润最大．答案：D5．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则其高应为()A.eq\f(20\r(3),3)cm B．100cmC．20cm D.eq\f(20,3)cm解析：设高为xcm，则底面半径为eq\r(400－x2)cm，所以圆锥体积V＝eq\f(1,3)π·(400－x2)·x＝eq\f(π（400x－x3）,3)(cm3)，V′＝eq\f(π（400－3x2）,3)，令V′＝0，得x＝eq\f(20\r(3),3)或x＝eq\f(－20\r(3),3)(舍去)，经推断可得x＝eq\f(20\r(3),3)(cm)时，V最大．答案：A二、填空题6．用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，若该容器的底面一边比高长出0.5m，则当高为________m时，容器的容积最大．解析：设高为xm，则V＝x(x＋0.5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(14.8,4)－0.5－2x))＝－2x3＋2.2x2＋1.6x，x∈(0，1.6)，所以V′＝－6x2＋4.4x＋1.6.令V′＝0，解得x＝1或x＝－eq\f(4,15)(舍去)．当0<x<1时，V′>0，当1<x<1.6时，V′<0，所以当x＝1时，容器的容积取得最大值．答案：17．已知某矩形广场面积为4万平方米，则其周长至少为________米．解析：设广场的长为x米，则宽为eq\f(40000,x)米，于是其周长为y＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(40000,x)))(x＞0)，所以y′＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(40000,x2)))，令y′＝0，解得x＝200(x＝－200舍去)，这时y＝800.当0＜x＜200时，y′＜0；当x＞200时，y′＞0.所以当x＝200时，y取得最小值，故其周长至少为800米．答案：8008．轮船甲位于轮船乙的正东方向且距轮船乙75海里处，以每小时12海里的速度向西行驶，而轮船乙则以每小时6海里的速度向北行驶，假如两船同时起航，那么经过________小时两船相距最近．解析：设经过x小时两船相距y海里，y2＝36x2＋(75－12x)2，(y2)′＝72x－24(75－12x)，令(y2)′＝0，得x＝5，易知当x＝5时，y2取得最小值．答案：5三、解答题9.某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x，y(单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8m2，问x，y分别为多少(精确到0.001)时用料最少？解：依题意，有xy＋eq\f(1,2)·eq\f(x2,2)＝8，所以y＝eq\f(8－\f(x2,4),x)＝eq\f(8,x)－eq\f(x,4)(0<x<4eq\r(2))，于是框架用料长度为l＝2x＋2y＋2·eq\f(\r(2)x,2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)＋\r(2)))x＋eq\f(16,x).l′＝eq\f(3,2)＋eq\r(2)－eq\f(16,x2).令l′＝0，即eq\f(3,2)＋eq\r(2)－eq\f(16,x2)＝0，解得x1＝8－4eq\r(2)，x2＝4eq\r(2)－8(舍去)．当0<x<8－4eq\r(2)时，l′<0；当8－4eq\r(2)<x<4eq\r(2)时，l′>0，所以，当x＝8－4eq\r(2)时，l取得最小值．此时，x＝8－4eq\r(2)≈2.343，y≈2.828.即当x约为2.343，y约为2.828时，用料最省．10．甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v千米/时的平方成正比，比例系数为b(b>0)；固定部分为a元．(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域；(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？解：(1)依题意汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间为eq\f(s,v)，全程运输成本为y＝a·eq\f(s,v)＋bv2·eq\f(s,v)＝seq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,v)＋bv))，所以所求函数及其定义域为y＝seq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,v)＋bv))，v∈(0，c]．(2)由题意知s，a，b，v均为正数．令y′＝seq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－\f(a,v2)))＝0得v＝eq\r(\f(a,b))，v∈(0，c]．①若eq\r(\f(a,b))≤c，则当v＝eq\r(\f(a,b))时，全程运输成本y最小；②若eq\r(\f(a,b))>c，则v∈(0，c]，此时y′<0，即y在(0，c]上为减函数．所以当v＝c时，y最小．综上可知，为使全程运输成本y最小，当eq\r(\f(a,b))≤c时，行驶速度v＝eq\r(\f(a,b))；当eq\r(\f(a,b))>c时，行驶速度v＝c.B级实力提升1．某银行打算新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k>0)．已知贷款的利率为0.0486，且假设银行汲取的存款能全部放贷出去．设存款利率为x，x∈(0，0.0486)，若使银行获得最大效益，则x的取值为()A．0.0162B．0.0324C．0.0243D．0.0486解析：依题意，存款量是kx2，银行支付的利息是kx3，贷款的收益是0.0486kx2，其中x∈(0，0.0486)．所以银行的收益是y＝0.0486kx2－kx3(0<x<0.0486)，则y′＝0.0972kx－3kx2.令y′＝0，得x＝0.0324或x＝0(舍去)．当0<x<0.0324时，y′>0；当0.0324<x<0.0486时，y′<0.所以当x＝0.0324时，y取得最大值，即当存款利率为0.0324时，银行获得最大收益．答案：B2．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1(万元)与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2(万元)与仓库到车站的距离成正比．假如在距离车站10千米处建仓库，y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．解析：依题意可设每月土地占用费y1＝eq\f(k1,x)，每月库存货物的运费y2＝k2x，其中x是仓库到车站的距离，k1，k2是比例系数．于是由2＝eq\f(k1,10)，得k1＝20；由8＝10k2，得k2＝eq\f(4,5).因此，两项费用之和为y＝eq\f(20,x)＋eq\f(4x,5)(x＞0)，y′＝－eq\f(20,x2)＋eq\f(4,5)，令y′＝0，得x＝5或x＝－5(舍去)．当0＜x＜5时，y′＜0；当x＞5时，y′＞0.因此，当x＝5时，y取得微小值，也是最小值．故当仓库建在离车站5千米处时，两项费用之和最小．答案：53．某公司生产某种产品的固定成本为20000元，每生产1吨该产品需增加投入100元，已知总收益满意函数R(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(400x－\f(1,2)x2（0≤x≤400），,80000（x＞400），))其中x是该产品的月产量(单位：吨)．(1)将利润表示为月产量的函数f(x)；(2)当月产量为何值时，该公司所获利润最大？最大利润为多少元？解：(1)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x2＋300x－20000（0≤x≤400），,60000－100x（x＞400）.))(2)当0