2024秋高中数学第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法与分析法课时作业含解析新人教A版选修2-2

PAGE1-其次章2.22.2.1请同学们仔细完成练案[16]A级基础巩固一、选择题1．用分析法证明不等式：欲证①A>B，只需证②C<D，这里①是②的(D)A．既不充分也不必要条件B．充要条件C．充分条件D．必要条件[解析]∵②⇒①，但①不肯定推出②，故选D．2．下图是解决数学问题的思维过程的流程图：在此流程图中，①、②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法匹配正确的是(C)A．①综合法，②反证法 B．①分析法，②反证法C．①综合法，②分析法 D．①分析法，②综合法[解析]由已知到可知，进而得到结论的应为综合法；由未知到需知，进而找到与已知的关系为分析法，故选C．3．(2024·德州高二检测)在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满意x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为(BA．(0,2) B．(－2,1)C．(－1,2) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)[解析]由定义得x(x－2)＋2x＋x－2<0，即x2＋x－2<0，∴－2<x<1.故选B．4．若两个正实数x、y满意eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)＝1，且不等式x＋eq\f(y,4)<m2－3m有解，则实数m的取值范围是(B)A．(－1,4) B．(－∞，－1)∪(4，＋∞)C．(－4,1) D．(－∞，0)∪(3，＋∞)[解析]∵x>0，y>0，eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)＝1，∴x＋eq\f(y,4)＝(x＋eq\f(y,4))(eq\f(1,x)＋eq\f(4,y))＝2＋eq\f(y,4x)＋eq\f(4x,y)≥2＋2eq\r(\f(y,4x)·\f(4x,y))＝4，等号在y＝4x，即x＝2，y＝8时成立，∴x＋eq\f(y,4)的最小值为4，要使不等式m2－3m>x＋eq\f(y,4)有解，应有m2－3m>4，∴m<－1或m>4，故选5．已知y>x>0，且x＋y＝1，那么(D)A．x<eq\f(x＋y,2)<y<2xy B．2xy<x<eq\f(x＋y,2)<yC．x<eq\f(x＋y,2)<2xy<y D．x<2xy<eq\f(x＋y,2)<y[解析]∵y>x>0，且x＋y＝1，∴设y＝eq\f(3,4)，x＝eq\f(1,4)，则eq\f(x＋y,2)＝eq\f(1,2)，2xy＝eq\f(3,8).所以有x<2xy<eq\f(x＋y,2)<y，故解除A、B、C，选D．6．已知函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，a、b∈R＋，A＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))，B＝f(eq\r(ab))，C＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2ab,a＋b)))，则A、B、C的大小关系为(A)A．A≤B≤C B．A≤C≤BC．B≤C≤A D．C≤B≤A[解析]eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)≥eq\f(2ab,a＋b)，又函数f(x)＝(eq\f(1,2))x在(－∞，＋∞)上是单调减函数，∴f(eq\f(a＋b,2))≤f(eq\r(ab))≤f(eq\f(2ab,a＋b))．二、填空题7．假如aeq\r(a)＋beq\r(b)>aeq\r(b)＋beq\r(a)，则实数a、b应满意的条件是__a≠b且a≥0，b≥0__.[解析]aeq\r(a)＋beq\r(b)>aeq\r(b)＋beq\r(a)⇔aeq\r(a)＋beq\r(b)－aeq\r(b)－beq\r(a)>0⇔a(eq\r(a)－eq\r(b))＋b(eq\r(b)－eq\r(a))>0⇔(a－b)(eq\r(a)－eq\r(b))>0⇔(eq\r(a)＋eq\r(b))(eq\r(a)－eq\r(b))2>0只需a≠b且a，b都不小于零即可．8．已知x1是方程x＋2x＝4的根，x2是方程x＋log2x＝4的根，则x1＋x2的值是__4__.[解析]∵x＋2x＝4，∴2x＝4－x，∴x1是y＝2x与y＝4－x交点的横坐标．又∵x＋log2x＝4，∴log2x＝4－x，∴x2是y＝log2x与y＝4－x交点的横坐标．又y＝2x与y＝log2x互为反函数，其图象关于y＝x对称，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝4－x，,y＝x))得x＝2，∴eq\f(x1＋x2,2)＝2，∴x1＋x2＝4.三、解答题9．已知n∈N*，且n≥2，求证：eq\f(1,\r(n))>eq\r(n)－eq\r(n－1).[证明]要证eq\f(1,\r(n))>eq\r(n)－eq\r(n－1)，即证1>n－eq\r(nn－1)，只需证eq\r(nn－1)>n－1，∵n≥2，∴只需证n(n－1)>(n－1)2，只需证n>n－1，只需证0>－1，最终一个不等式明显成立，故原结论成立．10．已知a，b，c表示△ABC的三边长，m＞0，求证：eq\f(a,a＋m)＋eq\f(b,b＋m)＞eq\f(c,c＋m).[证明]要证明eq\f(a,a＋m)＋eq\f(b,b＋m)＞eq\f(c,c＋m)，只需证明eq\f(a,a＋m)＋eq\f(b,b＋m)－eq\f(c,c＋m)＞0即可．∵eq\f(a,a＋m)＋eq\f(b,b＋m)－eq\f(c,c＋m)＝eq\f(ab＋mc＋m＋ba＋mc＋m－ca＋mb＋m,a＋mb＋mc＋m)，∵a＞0，b＞0，c＞0，m＞0，∴(a＋m)(b＋m)(c＋m)＞0，∵a(b＋m)(c＋m)＋b(a＋m)(c＋m)－c(a＋m)(b＋m)＝abc＋abm＋acm＋am2＋abc＋abm＋bcm＋bm2－abc－bcm－acm－cm2＝2abm＋am2＋abc＋bm2－cm2＝2abm＋abc＋(a＋b－c)m2，∵△ABC中随意两边之和大于第三边，∴a＋b－c＞0，∴(a＋b－c)m2＞0，∴2abm＋abc＋(a＋b－c)m2＞0，∴eq\f(a,a＋m)＋eq\f(b,b＋m)＞eq\f(c,c＋m).B级素养提升一、选择题1．(多选题)关于综合法和分析法说法正确的是(ABC)A．综合法和分析法是干脆证明中最基本的两种证明方法B．综合法又叫顺推证法或由因导果法C．分析法又叫逆推证法或执果索因法D．综合法和分析法都是因果分别互推的两头凑法[解析]选项A成立，选项B和C是综合法的思路就是由因导果法，和分析法的概念，是执果索因法，正确．选项D不符合定义，解除D选项．故选ABC．2．(多选题)在f(m，n)中，m、n、f(m，n)∈N*，且对随意m、n都有：(1)f(1,1)＝1，(2)f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2，(3)f(m＋1,1)＝2f(m,1)；给出下列三个结论①f(1,5)＝9；②f(5,1)＝16；③f(5,6)＝26.其中结论正确的是(ABC)A．① B．②C．③ D．都不正确[解析]∵f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2，∴f(m，n)组成首项为f(m,1)，公差为2的等差数列，∴f(m，n)＝f(m,1)＋2(n－1)．又f(1,1)＝1，∴f(1,5)＝f(1,1)＋2×(5－1)＝9，又∵f(m＋1,1)＝2f(m,1)，∴f(m,1)构成首项为f(1,1)，公比为2的等比数列，∴f(m,1)＝f(1,1)·2m－1＝2m－1，∴f(5,1)＝25－1＝16，∴f(5,6)＝f(5,1)＋2×(6－1)＝16＋10＝26，二、填空题3．若sinα＋sinβ＋sinγ＝0，cosα＋cosβ＋cosγ＝0，则cos(α－β)＝__－eq\f(1,2)__.[解析]由题意sinα＋sinβ＝－sinγ，①cosα＋cosβ＝－cosγ，②①，②两边同时平方相加得，2＋2sinαsinβ＋2cosαcosβ＝1，2cos(α－β)＝－1，cos(α－β)＝－eq\f(1,2).4．我国唐代天文学家、数学家张逐曾以“李白喝酒”为题编写了如下一道题：“李白街上走，提壶去买酒，遇店加一倍，见花喝一斗(计量单位)，三遇店和花，喝光壶中酒．”问最终一次遇花时有酒__1__斗，原有酒__eq\f(7,8)__斗．[解析]因为最终一次喝光酒，且见花喝一斗，所以最终一次遇花时有酒1斗，设原有酒x斗，由他三遇店和花，遇店加一倍，见花喝一斗得：第一次见店又见花后酒有2x－1斗，其次次见店又见花后酒有2(2x－1)－1斗，第三次见店又见花后酒有2[2(2x－1)－1]－1斗，因为最终一次喝光酒，所以2[2(2x－1)－1]－1＝0，解得x＝eq\f(7,8).三、解答题5．用分析法证明eq\r(6)＋eq\r(10)＞2eq\r(3)＋2.[解析]要证eq\r(6)＋eq\r(10)＞2eq\r(3)＋2，只要证(eq\r(6)＋eq\r(10))2＞(2eq\r(3)＋2)2，即证16＋2eq\r(60)＞16＋8eq\r(3)，即证240＞192，因为240＞192明显成立，所以原不等式成立．6．已知a、b是不等正数，且a3－b3＝a2－b2，求证：1<a＋b<eq\f(4,3).[证明]∵a3－b3＝a2－b2且a≠b，∴a2＋ab＋b2＝a＋b，由(a＋b)2＝a2