第10讲 角（教师版）

第10讲角（教师版）一、解答题1.如图，图中共有多少个角?【答案】解:从图中可以看出，最大的角么∠A1OA7，被五条射线OA2，OA3，OA4，OA5，OA6分成6个部分．在数角的个数时，要注意不重复不遗漏．我们可以从左至右，先数以OA1，为左边的角，有∠A1OA2，∠A1OA3，∠A1OA4，∠A1OA5，∠A1OA6，∠A1OA7，共6个．再数以OA2为左边的角，有∠A2OA3，∠A2OA4，∠A2OA5，∠A2OA6，∠A2OA7，共5个．依此类推，以OA3，OA4，OA5，OA6为左边的角，分别有4，3，2，1个．所以图中共有角6+5+4+3+2+1=21(个)．【解析】【分析】数图中角的个数，和数线段一样，要不重不漏．因此，必须按照一定的规律去数，我们可以从左至右，先数以OA为左边的角，再数以OA2为左边的角，依此类推数出，以OA3，OA4，OA5，OA6为左边的角，再求和即可得出答案。2.一个角，它的余角的2倍，与它的补角的互补．求这个角的度数。【答案】解:设这个角为x°，则它的余角为90°-x°，补角为180°-x°。，由题意，得

解得X=36

所以，这个角是36°．【解析】【分析】设这个角为x°，则它的余角为90°-x°，补角为180°-x°，根据它的余角的2倍，与它的补角的

互补即可列出方程，求解得出答案。3.如图，从点O引出6条射线OA、OB、OC、OD、OE、OF，且∠AOB=100°，OF平分∠BOC，∠AOE=∠DOE，∠EOF=140°．求∠COD的度数．【答案】解:∠EOF+∠BOF+∠AOE+∠AOB=360°，而∠EOF=140°，∠AOB=100°，因此∠BOF+∠AOE=360°-140°-100°=120°．由已知条件，∠BOF=∠COF，∠AOE=∠DOE，所以∠EOD+∠COF=∠BOF+∠AOE=120°．从而∠COD=140°-(∠EOD+∠COF)=140°-120°=20°．答：∠COD的度数为20°．【解析】【分析】本题把∠EOD+∠COF作为一个整体来看，它的值可求，从而问题得到解决（注意：∠EOD和∠COF的度数是无法求出的），在求解时，注意利用隐含的条件：∠EOF，∠BOF，∠AOE，∠AOB的和恰好为一个周角，即360°。4.已知∠AOB=40°,自O点引射线OC，∠AOC：∠COB=2：3．求OC与∠AOB的平分线所成的角的度数．【答案】解:分OC在∠AOB的内部和外部两种情形(如图所示，其中OD是∠AOB的平分线)讨论．(1)OC在∠AOB内部．如图（1）因为∠AOC：∠COB=2：3，∠AOB=40°，所以∠AOC=40°因为OD平分∠AOB，所以∠AOD=×40°=20°．∠COD=∠AOD-∠AOC=20°-16°=4°．(2)OC在∠AOB外部．如图（2）因为∠AOC：∠COB=2：3，∠AOB=40°，所以∠COA=40°÷(3-2)×2=80°．因为∠AOD=20°，所以∠COD=∠COA+∠AOD=80°+20°=100°．【解析】【分析】分OC在∠AOB的内部和外部两种情形(如图所示，其中OD是么AOB的平分线)讨论，(1)OC在∠AOB内部．如图（1），由∠AOC：∠COB=2：3即可得出∠AOC的度数，根据角平分线的定义得出∠AOD，然后由∠COD=∠AOD-∠AOC即可算出答案；(2)OC在∠AOB外部．如图（2），由∠AOC：∠COB=2：3即可得出∠AOC的度数，根据角平分线的定义得出∠AOD，然后由∠COD=∠AOD+∠AOC即可算出答案。5.已知都是钝角．甲、乙、丙、丁四人计算的结果依次为28°、48°、88°、60°，其中只有一个结果是正确的·请你想一想到底谁的结果是正确的．【答案】解：因为a、β都是钝角，所以

90°<<180°，90°<<180°，

从而

180°<<360°，30°<<60°·

的值应在30°与60°之间(不包括30°和60°)对照甲、乙、丙、丁四人的结果，只有乙的结果在此范围之间，从而只有乙的结果才是正确的·【解析】【分析】根据钝角的定义知：90°<α<180°，90°<β<180°，根据不等式的性质得出：

180°<α+β<360°，30°<(α+β)<60°，对照甲、乙、丙、丁四人的结果即可得出答案。6.如图，∠A1OA11是一个平角，射线OA2，OA3，…，OA10都在这个平角内(依顺时针顺序)，并且∠A3OA2-∠A2OA1=∠A4OA3-∠A3OA2=∠A5OA4-∠A4OA3=…=∠A11OA10一∠A10OA9=2°，求∠A10OA11的大小．【答案】解：设∠A1OA2：∠A2OA3，…，∠A10OA11的度数分别为则

①并且……将它们代入①得即∠A10OA11=27°【解析】【分析】本题的∠A1OA2：∠A2OA3，…，∠A10OA11的度数的数值构成等差数列，公差为2．设∠A1OA2：∠A2OA3，…，∠A10OA11的度数分别为α1，α2⋯α10,则α1+α2+⋯+α10=180∘,并且α9=α10−2∘,，利用整体代入即可得到关于a10的方程，求解得到答案。7.两个角成对顶角，它们的平分线在一条直线上吗?为什么?【答案】解：在一条直线上．如图，直线AB、CD相交于O，∠AOC与∠BOD成对顶角．设OE、OF分别为∠AOC和∠BOD的平分线．下面证明OE、OF在一条直线上．因为∠AOE=∠AOC，∠BOF=∠BOD，且∠AOC=∠BOD，所以∠AOE=∠BOF．又因为

∠BOF+∠FOD+∠DOA=180°，所以

∠AOE+∠FOD+∠DOA=180°．即

∠EOF=180°．所以OE和OF在同一直线上．【解析】【分析】证明端点相同的两条射线OE、OF形成一条直线，方法是证明∠EOF=180°，且∠EOF是平角，这一点需要经过计算与论证来完成，不能单凭眼睛看，根据角平分线的定义及对顶角相等得出∠AOE=∠BOF．根据邻补角的定义得出∠BOF+∠FOD+∠DOA=180°，由等量代换得出∠AOE+∠FOD+∠DOA=180°，即∠EOF=180°，根据平角的定义即可得出结论：OE和OF在同一直线上。8.钟面上从2点到4点有几次时针与分针夹成60°的角?分别是几点几分?【答案】解：共有四次时针与分针所夹的角为60°．(1)第一次正好是两点整．显然，这时时针与分针成60°角．(因为钟面上每两个相邻的字之间的度数是30°，即5个小格相当于30°)．(2)第二次时针与分针的夹角为60°，如图．

设为2点x分．这时分针行x分，即x小格．而时针行小格(分针行1周，即60个小格，时针只行5个小格，所以时针速度是分钟的)．分针不但超过时针，而且在时针前10个小格(形成60°)，所以解得，即2点分时，时针与分针的夹角为60°．(3)第三次时针与分针的夹角为60°，如图．

设为3点y分．则解得，即3点分时，时针与分针的夹角为60°．(4)第四次时针与分针的夹角为60°，如图．

设为3点z分，则解得，即3点分时，时针与分针的夹角为60°．【解析】【分析】因为钟面上每两个相邻的字之间的度数是30°，即5个小格相当于30°,分针行1周，即60个小格，时针只行5个小格，所以时针速度是分钟的,此题有4中情况：)第一次